几何图形的最大面积 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册26.4.1几何图形的最大面积第二十六章

二次函数26.4.1几何图形的最大面积

同步练习题一、核心知识点梳理1.解题核心原理几何图形最大面积问题，是二次函数最值的经典实际应用。核心思路：根据几何边长、周长关系，建立面积关于边长的二次函数解析式，利用二次函数顶点最值，求解图形的最大（最小）面积，同时必须结合实际限定自变量取值范围。2.通用解题步骤（必考答题模板）①

设未知数：设图形的一条关键边长为$$x$$；②

表示边长：用含$$x$$的代数式表示出图形的其他边长；③

列函数式：根据几何面积公式，列出面积$$S$$与$$x$$的二次函数解析式；④

定取值范围：根据边长为正数、图形存在条件，确定$$x$$的取值范围；⑤

求最值：利用顶点坐标求最值，若顶点横坐标在取值范围内，顶点处取最值；若不在，在区间端点取最值。3.高频经典模型（矩形面积最值）模型1：固定周长的矩形，正方形时面积最大；模型2：一边靠墙，用固定长度围栏围矩形，平行于墙的边长为围栏总长的一半时，矩形面积最大；4.最值判定规则二次函数$$S=ax^2+bx+c$$，$$a<0$$开口向下，图象顶点为最高点，存在最大面积；$$a>0$$开口向上，无最大面积，仅有最小面积（面积应用题几乎均为$$a<0$$）。二、基础巩固习题（一）填空题1.用总长为40cm的铁丝围成矩形，矩形的最大面积是________cm²。2.矩形的一边长为$$x$$，另一边长为$$10-x$$，则矩形面积$$S$$与$$x$$的函数解析式为________。（二）基础解答题3.已知一个矩形的周长为36m，设矩形的一边长为$$x$$m，求矩形面积的最大值。三、综合提升习题（三）拔高解答题（靠墙围栏模型）4.用总长为60m的围栏，一边靠墙（墙足够长）围成一个矩形菜园，求菜园的最大面积。5.如图，在△ABC中，底边BC=12cm，高AD=8cm，截取一个内接矩形EFGH，矩形一边在BC上，设矩形的高为$$x$$cm，求矩形的最大面积。四、参考答案与详细解析1.100解析：周长固定，正方形面积最大，边长$$40\div4=10$$cm，面积$$10\times10=100$$cm²。2.$$S=-x^2+10x(0<x<10)$$解析：矩形面积=长×宽，结合边长大于0确定自变量范围。3.解：设一边长为$$x$$m，则另一边长为$$(18-x)$$m，面积$$S=x(18-x)=-x^2+18x$$。$$a=-1<0$$，抛物线开口向下，顶点处取最大值。对称轴$$x=9$$，在取值范围内。当$$x=9$$时，$$S_{max}=-81+162=81$$。答：矩形最大面积为81m²。4.解：设垂直于墙的边长为$$x$$m，则平行于墙的边长为$$(60-2x)$$m。面积$$S=x(60-2x)=-2x^2+60x(0<x<30)$$。$$a=-2<0$$，对称轴$$x=15$$，此时$$S_{max}=-2\times225+900=450$$。答：菜园最大面积为450m²。5.解：设矩形高为$$x$$cm，则剩余三角形的高为$$(8-x)$$cm。由相似三角形得：矩形底边长$$=12-\dfrac{3}{2}x$$。面积$$S=x\left(12-\dfrac{3}{2}x\right)=-\dfrac{3}{2}x^2+12x(0<x<8)$$。对称轴$$x=4$$，代入得$$S_{max}=-\dfrac{3}{2}\times16+48=24$$。答：矩形最大面积为24cm²。五、本节易错点总结1.遗漏自变量取值范围：几何边长必须大于0，不判定范围直接求最值，极易扣分；2.靠墙模型边长表示错误：垂直墙、平行墙的边长代数式混淆，导致解析式出错；3.误区：所有最值都在顶点，若顶点横坐标不在取值区间内，最值取区间端点；4.相似三角形模型易错：内接矩形需利用相似求底边长度，不能直接套用固定公式。学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点）2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；

3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）

探究点1：求二次函数的最大（或最小）值

例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度

h(单位：m)与起跳后的时间

t

(单位：s)之间的关系式是

h=-4.9t2+2.8t+11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位)追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？

运动员的重心相对于水面的高度

h与起跳后的时间

t之间的关系引例：

h=-4.9t2+2.8t+11．追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点？

画出二次函数图象.h=-4.9t2+2.8t+11探究点1：求二次函数的最大（或最小）值追问3：根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？

追问4：小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？

顶点.顶点的纵坐标.引例：

h=-4.9t2+2.8t+11.h=-4.9t2+2.8t+11探究点1：求二次函数的最大（或最小）值解：对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11，当时，h

有最大值因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为

11.4m.追问5

如何求出小球的最大高度？

h=-4.9t2+2.8t+11探究点1：求二次函数的最大（或最小）值函数

h=-4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？h=-4.9t2+2.8t+11探究点1：求二次函数的最大（或最小）值【想一想】思考1

二次函数

y=ax2+bx+c

的最值由什么决定？最小值最大值

二次函数

y=ax2+bx+c

的最值由

a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.xyOxyO探究点1：求二次函数的最大（或最小）值思考2当自变量

x为全体实数时，二次函数

y=ax2+bx+c

的最值是多少？探究点1：求二次函数的最大（或最小）值思考3

当自变量

x

限定范围时，二次函数

y=ax2+bx+c

的最值如何确定？先判断

是否在限定范围内，若在，则二次函数在

x=时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.探究点1：求二次函数的最大（或最小）值例1

求下列函数的最大值与最小值：xOy解：-31（1）∴

当时，有当时，有探究点1：求二次函数的最大（或最小）值解：Oxy1-3（2）∴当

x=-3时，有∴当-3≤x≤1时y

随着

x的增大而减小.当

x=1

时，有探究点1：求二次函数的最大（或最小）值例2

如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？思考

这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？矩形面积与一边长的关系.探究点2：二次函数与几何图形面积的最值20-

2xxx①

设未知数，用含未知数的代数式表示相关量解：设垂直于墙的一边长为

x

m，则平行于墙的边长为

(20−

2x)m，矩形菜园的面积

S

=x(20−

2x)，②

根据题意，求出自变量的取值范围∴0＜x＜10.x＞020−2x＞0即

S

=−2x2+20x(0＜x＜10).探究点2：二次函数与几何图形面积的最值③

结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值.因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m².20-

2xxx当时，S

有最大值探究点2：二次函数与几何图形面积的最值变式：如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.当墙长

18m

时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？60-

2xxx解：设垂直于墙的一边长为

xm，由(1)知

S=−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x

−15)2+450.∴21≤x＜30.60−2x≤18，x＞060−2x＞0是否依然在

x=15

时，S

取得最大值？探究点2：二次函数与几何图形面积的最值Oxy3021∵15＜21，x=

15∴当21≤

x＜30时，S随

x的增大而减小，故当x=21时，S取得最大值，此时

S最大值

=−2×(21−15)2+450=378(m2).探究点2：二次函数与几何图形面积的最值二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值；3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值.

探究点2：二次函数与几何图形面积的最值【链接中考】1.如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长

15

m

的墙，想用长为

40

m

的网绳围成一个矩形

ABCD

给奶奶养鸡，怎样使矩形

ABCD

的面积最大呢?

同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设

BC

的边长为

x

m.

矩形

ABCD

的面积为

S

m2不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)

求

S

与

x

的函数关系式.

直接写出

x

的取值范围；(2)

x

为何值时，矩形

ABCD

的面积最大?ABCD15m探究点2：二次函数与几何图形面积的最值解：