传播问题与变化率问题 (课件) 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册25.3.2传播问题与变化率问题第25章

一元二次方程25.3.2传播问题与变化率问题

同步练习题一、核心知识点梳理1.病毒/传播倍增模型：初始数量为1，每轮平均1人传播$$x$$人，经过两轮传播后总数量公式：$$(1+x)^2$$。多轮传播呈指数增长，是考试必考基础模型，适用于病毒传播、短信转发、传染扩散等场景。2.增长率问题模型：基数为$$a$$，平均增长率为$$x$$，连续增长两次后总量：$$a(1+x)^2$$；连续下降两次后总量：$$a(1-x)^2$$。适用于产量、销量、存款增长、降价、减产等实际问题。3.标准解题步骤：①找准初始基数、变化率、变化次数；②套用对应公式列出一元二次方程；③准确解方程；④检验取值，增长率、人数均为正数，且需符合实际场景。4.高频易错点：传播问题切勿算成$$1+x+x^2$$（总感染人数易错公式），教材标准公式为$$(1+x)^2$$；变化率问题必须区分增长与降低，公式符号不可混淆，同时舍去负数解。二、基础练习题（一）填空题1.某种病毒传播，一人每轮传染$$x$$人，经过两轮传染后共有81人患病，可列方程________。2.某工厂产品年产量为100件，年均增长率为$$x$$，两年后总产量为144件，列方程________。（二）基础解答题3.某种流感病毒传播，一人患病，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均一人传染几人？三、提升练习题（三）拔高解答题4.某品牌手机销量逐年增长，今年销量为5000台，计划两年后销量达到7200台，求年均增长率。5.某药店口罩库存积压，连续两次降价销售，原价每包25元，两次降价后售价为16元，若两次降价百分率相同，求每次降价的百分率。四、参考答案与解析1.$$(1+x)^2=81$$解析：两轮传播标准模型，初始1人，每轮传染$$x$$人，两轮后总人数为$$(1+x)^2$$。2.$$100(1+x)^2=144$$解析：基数100，增长率$$x$$，连续两年增长，套用增长公式列方程。3.解：设每轮平均一人传染$$x$$人。根据题意得：$$(1+x)^2=121$$，开方得$$1+x=\pm11$$，解得$$x_1=10$$，$$x_2=-12$$（人数不能为负，舍去）。答：每轮平均一人传染10人。4.解：设年均增长率为$$x$$。列方程：$$5000(1+x)^2=7200$$，化简得$$(1+x)^2=1.44$$，解得$$1+x=\pm1.2$$，$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去）。答：年均增长率为20%。5.解：设每次降价百分率为$$x$$。列方程：$$25(1-x)^2=16$$，化简得$$(1-x)^2=0.64$$，解得$$1-x=\pm0.8$$，$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=1.8$$（降价率不能大于1，舍去）。答：每次降价的百分率为20%。总结：传播与变化率问题核心为平方模型，两轮变化统一用平方公式。传播问题记$$(1+x)^2$$，增长问题记$$a(1+x)^2$$，下降问题记$$a(1-x)^2$$，所有负值、不符合实际的解必须舍去，是中考高频基础应用题。学习目标1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.(重点)2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(难点)

3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.点击视频播放→观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？

某种传染病的送染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人?【合作探究1】探究点1：一元二次方程解决传播问题动手操作：请画出传染示意图(设传染

x

轮).传染原一轮二轮A12x...12x...12x...12x...A12x...探究点1：一元二次方程解决传播问题根据示意图，填写下列表格并作答.传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2x1=

，x2=

解方程，得答：因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人.10−12(不合题意,舍去).解：设每轮传染中平均一个人传染了

x个人.(1+x)2=121.列方程探究点1：一元二次方程解决传播问题【思考】(1)如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数(1+x)1(1+x)2(1+x)3分析

3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331(人).(2)n

轮传染后有多少人患流感?(1+x)+…+x(1+x)n=

(1+x)n人探究点1：一元二次方程解决传播问题x1

=

11，x2

=−12(不合题意，舍去).例1

某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是

133，每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解：设每个支干长出

x个小分支，则

1+x+x2=133，即

x2+x−132=

0.解得答：每个支干长出11个小分支.探究点1：一元二次方程解决传播问题1.在分析引例和例1

中的数量关系时它们有何区别？每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.

解决这类传播问题有什么经验和方法？（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.【交流讨论】探究点1：一元二次方程解决传播问题【练一练】1.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出

x个有益菌.探究点1：一元二次方程解决传播问题有益菌的初始数目本轮分裂出的有益菌数目本轮结束有益菌总数第一轮第二轮第三轮6060x60(1+x)60(1+x)60(1+x)x解：(1)设每个有益菌一次分裂出

x

个有益菌，则60(1+x)2

=24000.∴x1=19，x2=−21(舍去).∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.(2)三轮后有益菌总数为

60×(1+19)3=480000(个).60(1+x)2x60(1+x)260(1+x)360(1+x)2探究点1：一元二次方程解决传播问题【合作探究2】

两年前生产1t甲种食品的成本是

10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是

6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元.

哪种食品成本的年平均下降率较大？探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题问题1

甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？甲：(10000-

6000)÷2＝2000(元)；乙：(12000-7200)÷2＝2400(元).问题2

甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降率相同吗？下降率

=下降前的量−下降后的量下降前的量×100%探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题请自己动手写出分析过程并尝试解答.下降下降现在成本一年前成本两年前成本

成本价

成本价(1-下降率)

一年前成本(1-下降率)甲乙1000012000设甲下降率

x，设乙下降率

y.10000(1-

x)12000(1-

y)10000(1-

x)(1-

x)12000(1-

y)(1-

y)探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题设甲种食品成本的年平均下降率为

x，则一年后甲种食品成本为10000(1－x)元，两年后甲种食品成本为

10000(1－x²)元，于是有10000(1－x²)＝6000

解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%.请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率.探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题

设乙种食品成本的年平均下降率为

y，则一年后乙种食品成本为12000(1−y)元，两年后乙种食品成本为12000(1−y)2元，于是有

解方程，得

根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%.

y1≈0.225，

y2≈1.775.12000(1−y)2＝7200探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题问题3经过计算，你能得出什么结论呢?经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________.不一定较大降前及降后的价格一般下降率不可为负，且不大于

1.探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题例2

某市政府工作报告：某年全市生产总值为1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到2180

亿元，求某市的平均每年增长率.

某年一年后二年后

1585增长x增长x

1585(1+x)

1585(1+x)(1+x)探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题解：设某市的平均每年增长率为

x.由题意，得1585(1+x)2=2180解得

x1≈0.172，x2≈-2.172(不符合题意，舍).答：某市的平均每年增长率约为17.2%.总结：增长率不可为负，但可以超过

1.探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题总结平均变化率：平均增长(或降低)百分率为

x增长(或降低)n

次前的量是

a

增长(或降低)n

次后的量是

b探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题【练一练】2.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为

200万元，一月、二月、三月的营业额共

950

万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为

x.根据题意，得答：这个增长率为

50%.200+200(1

+

x)+200(1

+

x)2=950，整理方程，得4x2+12x-7=0.解得x1=−3.5(舍去)，x2=0.5=50%.探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题知识点1

传播问题

D

2.

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