2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第20讲等差数列及其前n项和(知识清单+7题型讲解练+好题必刷)(学生版+解析)

第20讲等差数列及其前n项和内容预览内容预览知识清单知识点01.等差数列的有关概念知识点02.等差数列的有关公式知识点03.等差数列的常用性质知识点04.等差数列前n项和的常用性质知识点05等差数列的常用结论题型讲解【题型一】等差数列及其通项公式【题型二】等差数列的性质【题型三】等差数列的函数特性【题型四】等差数列的前n项和【题型五】等差数列中an与Sn的关系【题型六】等差数列前n项和的性质【题型七】等差数列前n项和的函数特性好题必刷知识清单知识清单知识点01.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*).(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.知识点02.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n(n−1)2d或S知识点03.等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*).(2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn(6)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则an(7)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).知识点04.等差数列前n项和的常用性质(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝d2n2＋a1−d2(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.知识点05等差数列的常用结论若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，S奇若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)S奇题型方法题型方法【题型一】等差数列及其通项公式【例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（

）A． B．C． D．【变式1】（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M：第1行

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9999…………将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（

）A．B．C．是等差数列D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数）【变式2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等差数列；(2)求的通项；(3)求的最大值．【变式3】（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)若无穷的非常数数列同时满足两个性质:①对于中任意两项，在中都存在一项，使得;②对于中任意一项，在中都存在两项，使得.则称数列为数列.(i)判断数列是否为数列，并说明理由；(ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列.【题型二】等差数列的性质【例2】（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【变式1】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·广东·模拟预测）方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为.【变式3】（2025·江西南昌·二模）对于共项的等差数列（公差不为0）各项重新排列得到新数列，若中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列是等差数列的“无均数列”.(1)若，写出等差数列（公差不为0）的4个不同的“无均数列”；(2)若，写出等差数列（公差不为0）的一个“无均数列”；(3)若，判断等差数列（公差不为0）的“无均数列”是否存在，并证明你的结论.【题型三】等差数列的函数特性【例3】（多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（

）A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是递增数列 D．数列是递增数列【变式1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为.【变式2】（2023·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为．【变式3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.1．若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;2．若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;3．已知数列，求证:.【题型四】等差数列的前n项和【例4】（2025·山东德州·三模）已知为等差数列的前项和，，则（

）A．2 B．8 C．16 D．32【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（

）A．80 B．208 C．680 D．780【变式2】（2025·河北邢台·二模）已知数列的前n项和为，且，，则．【变式3】数列中，，前n项和满足．（1）证明：为等差数列；（2）求．【变式4】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．(1)求数列的通项公式．(2)若，求数列的前n项和．【题型五】等差数列中an与Sn的关系【例5】已知数列的前项和，则是（

）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列【变式1】（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（

）A．27 B．28 C．54 D．55【变式2】设为数列的前项和，.(1)求；(2)证明是等差数列.【变式3】设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，，c为常数）.(1)若，，求的通项公式；(2)若，证明为等差数列.【题型六】等差数列前n项和的性质【例6】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（

）A．20 B．64 C．45 D．50【变式1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．7 C．6 D．5【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则．【变式3】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则．【变式4】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和.(1)证明：是等差数列；(2)设为数列的前项和，若，求.【题型七】等差数列前n项和的函数特性【例7】（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若>0，，则时，n的最大值为（

）A．14 B．13 C．11 D．7【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为．【变式2】（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知．(1)若，求的通项公式；(2)若对于任意，都有，求公差的取值范围．【变式3】（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（

）A． B． C．1 D．23．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（

）A．49 B．50 C．51 D．524．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（

）A．40 B．41 C．42 D．435．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（

）A．1013 B．1014 C．2026 D．20286．（2025·江苏·模拟预测）函数满足：，且．设，则的前项的和为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．8．（2025·山西·三模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．在的所有前项和中，前五项和最小C．在的所有前项积中，前五项积最小 D．在的所有前项积中，前四项积最大9．（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（

）A． B．是等差数列C．为偶数 D．三、填空题10．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则．11．（2025·广东广州·三模）已知等差数列的前n项和为，则．12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数列满足，，且，令，则数列的前项和为．13．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则.14．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为．15．（2025·甘肃白银·三模）若数列是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列是“项优待数列”.若等差数列是“项优待数列”，，则.四、解答题16．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．(1)求；(2)设，求数列的前21项和．17．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和．18．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列．(1)求d；(2)若，（i）求数列的通项公式；（ii）若，数列满足的前n项和，证明：．第20讲等差数列及其前n项和内容预览内容预览知识清单知识点01.等差数列的有关概念知识点02.等差数列的有关公式知识点03.等差数列的常用性质知识点04.等差数列前n项和的常用性质知识点05等差数列的常用结论题型讲解【题型一】等差数列及其通项公式【题型二】等差数列的性质【题型三】等差数列的函数特性【题型四】等差数列的前n项和【题型五】等差数列中an与Sn的关系【题型六】等差数列前n项和的性质【题型七】等差数列前n项和的函数特性好题必刷知识清单知识清单知识点01.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*).(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.知识点02.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n(n−1)2d或S知识点03.等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*).(2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn(6)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则an(7)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).知识点04.等差数列前n项和的常用性质(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝d2n2＋a1−d2(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.知识点05等差数列的常用结论若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，S奇若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)S奇题型方法题型方法【题型一】等差数列及其通项公式【例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的定义求解即可.【详解】设的公差为，则，，故.故选：B.【变式1】（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M：第1行

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9999…………将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（

）A．B．C．是等差数列D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数）【答案】ABD【分析】对于A，根据数阵M的排列规律，易得；对于B，根据排列规律，分成个位数字不等于2和个位数字等于2两类情况，利用分类加法计数原理，推理即得；对于C，利用分别计算数列的前三项检验即可排除；对于D，求出，易于判断.【详解】对于A，因第2行的正整数有个，依题意去掉，即得，故A正确；对于B，当时，显然．当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉，故当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：百位和十位分别为12，此时有10个符合，十位和个位分别为12个符合，此时有9个，故．当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类：①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个；②个位数字等于2时，前面位数有种取法，但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉．故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有个．综上，由分类加法计数原理知．B正确；对于C，由前面分析，可得，，，，记，则，，，则，故不是等差数列，即C错误；对于D，因数列展开为：，而数列展开为：，依题意可知则，位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数），故D正确.故选：ABD.【变式2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等差数列；(2)求的通项；(3)求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)3.【分析】（1）利用的关系，将转化，整理即可得证；（2）根据（1）中结论，求出的通项，结合已知可得所求；（3）根据通项公式即可得解.【详解】（1）因为，所以，故，又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列．（2）由（1）知，当时，，而时，不满足上式，所以.（3）由（2）知，当时，，又，所以的最大值为.【变式3】（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)若无穷的非常数数列同时满足两个性质:①对于中任意两项，在中都存在一项，使得;②对于中任意一项，在中都存在两项，使得.则称数列为数列.(i)判断数列是否为数列，并说明理由；(ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列.【答案】(1)；(2)（i）是数列；（ii）证明见解析.【分析】（1）变形得，再利用累乘法得，最后降次作差即可；（2）（i）计算得，则其满足性质①，再分析其满足性质②即可；（ii）首先利用性质②：取，则得到即成等差数列，再利用性质①，取，得到数列中必然存在一项的值为．最后证明即可.【详解】（1）由得，即，，累乘得：，，又符合式子，所以，当时，，又符合上式，所以．（2）（i）因为，，所以具有性质①，因为，具有性质②．数列是数列．（ii）是单调递增数列．首先利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知，，故，此时必有，即，即成等差数列，不妨设．利用性质①：取，则，即数列中必然存在一项的值为．下面证明，若，则由数列的单调性可知．在性质②中，取，则，从而，则．若，则，与假设矛盾；若，则，与假设矛盾；若，则，与数列的单调性矛盾．故不存在满足题意的正整数，，可见不成立，从而，同理可得为等差数列．【题型二】等差数列的性质【例2】（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根据给定条件，求出公差及，进而求出.【详解】在等差数列中，由，得公差，又，即，解得，所以.故选：A【变式1】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同余的定义式，分别求出集合中元素满足的式子，进而得到集合，再利用同余的定义式检验ABD选项，最后取特殊值，检验C选项.【详解】因，则，因，则，又，，则又，则，故A正确；，则，故B正确；，则，故D正确；不妨取，不满足，故C错误.故选：C.【变式2】（2025·广东·模拟预测）方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为.【答案】4【分析】解法一：根据等式求解出方程的根，再根据等差数列性质列式求解即可；解法二：根据等差数列性质及绝对值等式的对称性设出四个解，再代入等式求解即可.【详解】解法一：直接解方程解得这四个解分别是：，，，由等差关系，可知：，解得.解法二：利用对称性可知，这四个解分别是：，，，，计算可得，解得即：.故答案为：.【变式3】（2025·江西南昌·二模）对于共项的等差数列（公差不为0）各项重新排列得到新数列，若中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列是等差数列的“无均数列”.(1)若，写出等差数列（公差不为0）的4个不同的“无均数列”；(2)若，写出等差数列（公差不为0）的一个“无均数列”；(3)若，判断等差数列（公差不为0）的“无均数列”是否存在，并证明你的结论.【答案】(1)答案见解析(2)(3)存在，证明见解析【分析】（1）根据“无均数列”的定义，列举得出满足“无均数列”的数列个数，即可得到答案；（2）根据“无均数列”的定义，列举法的其中的一个“无均数列”，即可得到答案；（3）利用数学归纳法，先证明对时，数列，都存在“无均数列”，再将将项去掉，即可得到时，等差数列存在“无均数列”.结合每一组是一共8项的等差数列，令，把其分为4组这样排列就能构成“无均”数列，反复执行上述操作，即可得到答案.【详解】（1）解：根据“无均数列”的定义得：当时，存在以下“无均数列”：；；；；；；；；；，总共10种（写出其中的4个即可）.（2）解：当时，存在“无均数列”：.（3）解：存在，先证明对时，存在，①当时，由①知存在“无均数列”，②假设时，存在“无均数列”，则时，数列分成2组，两组分别有次项，且从这两组中各任取一项，得到的两项的等差中项不是的项，由假设，数列存在“无均数列”，设为，数列存在“无均数列”，设为，构造数列：，观察，每组之间的任意两个数的平均数均不在两数位置之间，故只需要考虑每组内部重新排成“无均数列”，因此数列：，中任意两项的等差中项均不在这两项中间，即时，数列存在“无均数列”，由①②可知，时，都存在“无均数列”，所以令，即时，存在“无均数列”，接下来我们只需要将项去掉，便可得到时，等差数列存在“无均数列”.同样注意到此时每一组是一共8项的等差数列，令，故由第二问知道，此时只需要把其分为4组这样排列就能构成“无均”数列，因此反复执行上述操作能把2048项的等差数列重新排列成一个“无均”数列，所以当时也能重新排列成一个“无均”数列.【题型三】等差数列的函数特性【例3】（多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（

）A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是递增数列 D．数列是递增数列【答案】ABD【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可.【详解】设等差数列的首项为，所以，对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确；对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确；对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确；对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确；故选：ABD【变式1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为.【答案】/【分析】根据题意整理出，求出，；由此判断出为递增的等差数列，进而求解即可.【详解】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，得，两式相减得，所以，由时，由，得；由时，由，得；又由，结合，，所以成首项为，公差为的等差数列，所以，且此等差数列为递增数列，所以的中位数为：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是判断出为递增的等差数列，从而得解.【变式2】（2023·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则，令，解得，则数列的最大项为，所以该数列最大项和最小项之和为．故答案为：196.【变式3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.1．若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;2．若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;3．已知数列，求证:.【答案】1．.2．证明见解析；3．证明见解析【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；（2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得充分性成立；再由是递减数列，得到，结合互不相等，得到，得到必要性成立，即可得证；（3）根据题意，得到，得出，得到，不妨设，则，推得为奇数，矛盾，进而得证.1．解：由题意，数列，可得，所以集合，所以.2．证明：充分性：若为等差数列，且是递减数列，则的公差为，当时，，所以，则，故充分性成立.

必要性:若是递减数列，，则为等差数列，因为是递减数列，所以，所以，且互不相等，所以，又因为，所以且互不相等，所以，所以，所以为等差数列，必要性成立.所以若是递减数列，“”的充要条件是“为等差数列”.3．证明：由题意集合中的元素个数最多为个，即，对于数列，此时，若存在，则，其中，故，

若，不妨设，则，而，故为偶数，为奇数，矛盾，故，故，故由得到的彼此相异，所以.【题型四】等差数列的前n项和【例4】（2025·山东德州·三模）已知为等差数列的前项和，，则（

）A．2 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】设等差数列的公差为，依题意得到、的方程组并求解，再由等差数列通项公式计算可得.【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以.故选：C【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（

）A．80 B．208 C．680 D．780【答案】B【分析】根据题意求出等差数列的首项，可得到通项公式以及前项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为，代入计算即可得到答案.【详解】因为，即，解得，所以，前项和，所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数，所以.故选：B．【变式2】（2025·河北邢台·二模）已知数列的前n项和为，且，，则．【答案】【分析】因式分解后可得，则可得数列为等差数列，再利用等差数列的性质计算即可得解.【详解】因为，化简可得，则，即，所以数列为等差数列，所以，所以，所以．故答案为：.【变式3】数列中，，前n项和满足．（1）证明：为等差数列；（2）求．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据题中递推关系推出，然后推出，结合等差数列的定义，即可证明结果．（2）由（1）可知是以1首项，2为公差的等差数列，可得是以为首项，2为公差的等差数列，然后通过求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和，再将两者和相加，即可得到结果．【详解】解：（1）∵①，∴②，①②：③，∴④，④③：，∴，∴是以1首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）得是以1首项，2为公差的等差数列，同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，又，故，∴前101项的偶数项和为，前101项的奇数项和为，∴．【点睛】关键点点睛：在解决第二问时，由（1）得是以首项，2为公差的等差数列，同理得到是以为首项，2为公差的等差数列，为后面求求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和奠定了重要的基础，是解决这个问题的关键点和突破点.【变式4】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．(1)求数列的通项公式．(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；（2）结合（1）得到，再分和两种情况即可．【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以．又因为，则，所以数列的通项公式．（2）由（1）知，．当时，，；当时，，．综上，.【题型五】等差数列中an与Sn的关系【例5】已知数列的前项和，则是（

）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列【答案】A【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.【详解】因为，所以当时，有，，得，当时，适合上式，因为，所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A【变式1】（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（

）A．27 B．28 C．54 D．55【答案】A【分析】利用等差数列的通项公式及性质求出和，再将转化为，即可求解.【详解】设数列的公差为，数列是等差数列，，解得，即，①，，解得，代入①中得，，，，即，，即，解得.故选：A.【变式2】设为数列的前项和，.(1)求；(2)证明是等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据和的关系即可解答.（2）根据等差数列的定义即可判断.【详解】（1）数列的前n项和，则当时，；当时，，满足上式，所以.（2）由（1）知，当时，，因此（常数），所以数列是等差数列.【变式3】设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，，c为常数）.(1)若，，求的通项公式；(2)若，证明为等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由与的关系，结合题设条件得出的通项公式；（2）对两边平方，由等差中项的性质，取，整理得出，，再由证明为等差数列.【详解】（1）由，得，，两式相减得，整理得.因为，所以，即数列是公差为2的等差数列，由，解得，所以的通项公式为.（2）由条件知，，成等差数列，设它们的公差为d，由，得，所以，①，②，③②①得，即，④③②得，即，⑤⑤④得，由于显然不合题意，所以，代入④解得，所以，，上述两式相减得，因为，∴，所以当时，数列为等差数列.【题型六】等差数列前n项和的性质【例6】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（

）A．20 B．64 C．45 D．50【答案】B【分析】由等差数列的性质可得，再利用基本不等式可求的最大值.【详解】因为，故，故，故，而，故，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：B.【变式1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案.方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解.【详解】方法一：由题意得：，，则等差数列的公差，则，，所以.方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，则，得，解得.故选：C【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则．【答案】【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可.【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，所以．故答案为：.【变式3】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则．【答案】84【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可.【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列，可得，即，解得.故答案为：84.【变式4】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和.(1)证明：是等差数列；(2)设为数列的前项和，若，求.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可；（2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，，．．是等差数列．（2），数列的首项为2，第四项为．数列的公差．．【题型七】等差数列前n项和的函数特性【例7】（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若>0，，则时，n的最大值为（

）A．14 B．13 C．11 D．7【答案】B【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解.【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得，∴，即,所以n的最大值为13，故选：B【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为．【答案】【分析】根据给定条件，求得，再由恒成立的不等式建立不等式组求解.【详解】数列是公差为d的等差数列，设，由，得，解得，则，由对任意的恒成立，得.所以公差d的取值范围为．故答案为：【变式2】（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知．(1)若，求的通项公式；(2)若对于任意，都有，求公差的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列性质计算可得，可求通项公式；（2）依题意可得，，再由得出不等式可求得公差的取值范围．【详解】（1）易知，所以．因为，所以公差．得．（2）因为对任意，都有，所以，，得，．由（1）知，所以，，解得；即公差的取值范围为.【变式3】（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．【详解】（1）设数列的公差为d，则根据题意可得，解得，则．（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，又恒成立，则恒成立，设，则，当时，，即；当时，，则，则；则，故，故实数λ的取值范围为．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由等差数列的性质结合可得，然后再求得后可得公差．【详解】因为，所以，解得，又，所以，所以公差为.故选：A．2．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据等差数列的性质若，则，求解即可.【详解】在等差数列中，，.故选：B3．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（

）A．49 B．50 C．51 D．52【答案】C【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以，所以，所以.故答案为：C.4．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（

）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】B【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解.【详解】由已知可得，的公差为，故，故，令，又，所以，故n的最大值为41，验证，，所以n的最大值为41.故选：B.5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（

）A．1013 B．1014 C．2026 D．2028【答案】C【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得化简得，解得，，又，故数列的通项公式为，设数列的前项和为，则，，从到共项，两两一组，可分为组，.故选：.6．（2025·江苏·模拟预测）函数满足：，且．设，则的前项的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题设条件通过巧妙赋值依次求出，接着赋值得结合累加法求出，进而得，再结和列项相消法即可求解.【详解】因为，所以，，所以，所以所以当时，所以，所以，则的前项的和为，则的前项的和为.故选：C二、多选题7．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据条件列出关于和的方程组，再结合选项，即可判断.【详解】由条件可知，，得①，数列是以1为公差的等差数列，所以，即，即，即②，综合①②可知，，，，所以ABC正确，D错误.故选：ABC8．（2025·山西·三模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．在的所有前项和中，前五项和最小C．在的所有前项积中，前五项积最小 D．在的所有前项积中，前四项积最大【答案】ABD【分析】利用等差数列的基本性质逐个选项分析判断即可.【详解】对于A，，即是等差数列，且为递增数列，故A正确；对于B，由均为负数，时，，故B正确；对于C，由均为负数，时，，所以，当时，，且为递增数列，所以前项积没有最小值，故C错误；对于D，由，且此时最大，由于，时，，所以，当时，，故D正确.故选：ABD．9．（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（

）A． B．是等差数列C．为偶数 D．【答案】ABD【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据