2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第21讲等比数列及其前n项和(知识清单+9题型讲解练+好题必刷)(学生版+解析)

第21讲等比数列及其前n项和知识清单知识点01：等比数列有关的概念 2知识点02：等比数列的常用性质 2知识点03：等比数列的通项公式 3知识点04：等比数列的前n项和公式 3知识点05：等比数列前n项和的常用性质 3题型归纳题型01等比中项及其应用 4题型02等比数列通项公式 4题型03等比数列下标和性质及应用 5题型04等比数列子数列性质及应用 6题型05等比数列的函数特性 6题型06等比数列前n项和 7题型07等比数列前n项和的性质 8题型08等比数列的实际应用 8题型09等比数列综合解答题 9强化训练 13知识点01：等比数列有关的概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.注意点：(1)定义的符号表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)．(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项．(3)比必须是同一个常数．(4)等比数列中任意一项都不能为0.(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab.注意点：(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列．(2)只有同号的两个实数才有等比中项．(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．知识02：等比数列的常用性质1.若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=aw2，其中m，n，w∈N2.ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*).3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn也是等比数列(b，4.若a1>0,q>1或a1<0,0<q<1知识点03：等比数列的通项公式1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1.2.等比数列通项公式的推广：an=amqn-m.注意点：(1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列．(2)当a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列．(3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列．(4)当a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列．(5)当q＝1时，数列{an}为常数列．(6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．知识点04：等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1−q注意点：(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论．(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数(例如1＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(1×1－2n＋1,1－2))．(3)公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项(例如1＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(1－2n×2,1－2))．知识点05：等比数列前n项和的常用性质1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.题型一：等比中项及其应用【例1】（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．8【变式1】（2025·河南·一模）若、、、成等比数列，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为.【变式3】（2025·青海海东·三模）已知，，，，成等比数列，则，．题型二：等比数列通项公式【例2-1】（2025·海南儋州·模拟预测）已知数列满足，且对任意的，都有，则（

）A． B． C． D．【例2-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知等比数列的前3项和为39，且，则.【变式1】（2025·海南·模拟预测）在等比数列中，已知，则对于任意的，下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·河南·模拟预测）已知等比数列满足，，则．【变式3】（2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，．(1)求，；(2)证明：为等比数列；(3)求．题型三：等比数列下标和性质及应用【例3-1】（2025·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（

）A．14 B．32 C．16 D．54【例3-2】（2025·北京西城·模拟预测）设是等比数列，，，则．【变式1】（2025·陕西西安·一模）已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（

）A．8 B．2 C．1 D．【变式2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在等比数列中，是函数的两个零点，则（

）A． B． C．5 D．【变式3】（2022·安徽合肥·模拟预测）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为．题型四：等比数列子数列性质及应用【例4-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比为，则（

）A．20 B．24 C．28 D．32【例4-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则．【变式1】（2025·云南曲靖·二模）已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为（用数字作答）.【变式2】（2024·山西太原·模拟预测）已知数列是单调递增的等比数列，且，，则，数列的公差为．【变式3】（2025·江苏南通·一模）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为．题型五：等比数列的函数特性【例5】（多选）（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，【变式1】（多选）已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】在等比数列中，若，，则当取得最大值时，．题型六：等比数列前n项和【例6-1】（2025·江西新余·模拟预测）若点在曲线上，记数列的前项和为，则（

）A． B． C．9 D．65【例6-2】（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为．【变式1】（2025·湖北武汉·二模）数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（

）A．93 B．1023 C．2047 D．3069【变式3】（2025高三·全国·专题练习）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为.题型七：等比数列前n项和的性质【例7-1】（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（

）A．2 B． C． D．【例7-2】（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【例7-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则.【变式1】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（

）A．81 B．71 C．61 D．51【变式2】（2023·陕西榆林·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．41 B．45 C．36 D．43【变式3】（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则.题型八：等比数列的实际应用【例8】（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（

）A．14 B．15 C．16 D．17【变式2】（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有个节点.（填写具体数字）【变式3】（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了万个充电桩；从第1年起，约年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，）题型九：等比数列综合解答题【例9-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且.(1)若，且，求的通项及前项和；(2)若，，则能否为等比数列?若能，求；若不能，说明理由.【例9-2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中．(1)写出，，并求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．【例9-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.(1)证明：数列是“方特数列”；(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；(3)证明：当时，数列是“方特数列”.【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式：(2)证明：．【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，．(1)求，的通项公式；(2)记，为数列的前项和．（ⅰ）求；（ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．【变式3】（2025·广东广州·模拟预测）已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.

(1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：；(2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设.（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；（ii）令数列，求证.一、单选题1．（2025·陕西宝鸡·一模）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于（

）A． B．2或 C．2 D．42．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（

）A．30 B．32 C．36 D．403．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（

）A．10 B．15 C．30 D．314．（2025·北京延庆·三模）已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（

）A．4.5 B．3 C．3.5 D．46．（2025·江西新余·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．已知，则且B．命题“”是真命题C．是的充分条件，则D．若等比数列的通项公式为，则其前项和7．（2025·福建三明·模拟预测）现有矩形满足如下条件：第1个矩形的相邻两边长分别为，1；第2个矩形的相邻两边长分别为，2；第3个矩形的相邻两边长分别为，；…，第个矩形相邻两边长分别为1，．则这个矩形的面积和为（

）A． B． C． D．8．（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（

）A．31 B．63 C．127 D．255二、多选题9．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（

）A．B．数列是等比数列C．D．数列是等比数列10．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，当时，记.数列的通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的有（

）A．B．若，则或16C．D．，当时，三、填空题11．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则.12．（2025·福建泉州·模拟预测）在等比数列中，则13．（2025·贵州·模拟预测）设等比数列的公比为q，若，则．14．（2025·四川广安·模拟预测）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为．四、解答题15．（2025·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，为等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.16．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：为等比数列；(2)求数列的前项和．17．（2025·甘肃白银·二模）定义新运算.对于给定的正项数列，若，且，都有，其中分别为数列中的第项和第项，则称该数列为“方型数列”.(1)若为各项均为正数的等比数列，请判断数列是否为“方型数列”，并说明理由.(2)已知数列既是“2方型数列”，又是“3方型数列”，记数列的前项和为.①证明：为等比数列；②设，若，记满足成立的数组的概率为，求的最大值.18．（2025·福建福州·模拟预测）已知直线，直线，动点M到x轴的距离小于它到y轴的距离，过M分别作和的垂线，垂足分别为D，E，O为坐标原点，若四边形的面积为，设动点M的轨迹为曲线C．根据上述运算回答下面问题：(1)求C的方程；(2)若C交x轴正半轴于点A，C上一点B和直线上一点Q满足是以为底的等腰直角三角形．（ⅰ）求直线的斜率：（ⅱ）若B在第一象限，记点B关于的对称点为K，点B关于原点的对称点为，若动点M不与，B重合，设动直线与直线相交于点P，动直线与直线相交于点，求证：成等比数列．第21讲等比数列及其前n项和知识清单知识点01：等比数列有关的概念 2知识点02：等比数列的常用性质 2知识点03：等比数列的通项公式 3知识点04：等比数列的前n项和公式 3知识点05：等比数列前n项和的常用性质 3题型归纳题型01等比中项及其应用 4题型02等比数列通项公式 5题型03等比数列下标和性质及应用 8题型04等比数列子数列性质及应用 10题型05等比数列的函数特性 12题型06等比数列前n项和 15题型07等比数列前n项和的性质 17题型08等比数列的实际应用 20题型09等比数列综合解答题 22强化训练 32知识点01：等比数列有关的概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.注意点：(1)定义的符号表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)．(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项．(3)比必须是同一个常数．(4)等比数列中任意一项都不能为0.(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab.注意点：(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列．(2)只有同号的两个实数才有等比中项．(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．知识02：等比数列的常用性质1.若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=aw2，其中m，n，w∈N2.ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*).3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn也是等比数列(b，4.若a1>0,q>1或a1<0,0<q<1知识点03：等比数列的通项公式1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1.2.等比数列通项公式的推广：an=amqn-m.注意点：(1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列．(2)当a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列．(3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列．(4)当a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列．(5)当q＝1时，数列{an}为常数列．(6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．知识点04：等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1−q注意点：(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论．(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数(例如1＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(1×1－2n＋1,1－2))．(3)公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项(例如1＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(1－2n×2,1－2))．知识点05：等比数列前n项和的常用性质1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.题型一：等比中项及其应用【例1】（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．8【答案】A【详解】成等差数列，成等比数列，所以，且，则，当且仅当时取等号，故选：A.【变式1】（2025·河南·一模）若、、、成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为、、、成等比数列，根据等比中项的概念可得，．故选：C.【变式2】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为.【答案】.【详解】设1与2025的等比中项为为，所以，所以.故答案为：.【变式3】（2025·青海海东·三模）已知，，，，成等比数列，则，．【答案】9【详解】依题意，，解得.故答案为：；9题型二：等比数列通项公式【例2-1】（2025·海南儋州·模拟预测）已知数列满足，且对任意的，都有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，且，则，所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则，，所以.故选：C【例2-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知等比数列的前3项和为39，且，则.【答案】【详解】依题意可得,解得,,所以,.故答案为：【变式1】（2025·海南·模拟预测）在等比数列中，已知，则对于任意的，下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由已知等比数列的公比为，且，则，解得，所以，所以，故A错误；，故B错误；且，所以，故C正确；且，所以，故D错误.故选：C【变式2】（2024·河南·模拟预测）已知等比数列满足，，则．【答案】【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，由，得，解得，所以.故答案为：【变式3】（2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，．(1)求，；(2)证明：为等比数列；(3)求．【详解】（1）由可得，故，进而，（2）由可得，为常数，故为等比数列，且公比为，首项为，（3）由（2）知，即，，故，所以题型三：等比数列下标和性质及应用【例3-1】（2025·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（

）A．14 B．32 C．16 D．54【答案】B【详解】由题意可知.故选：B【例3-2】（2025·北京西城·模拟预测）设是等比数列，，，则．【答案】16【详解】因为是等比数列，所以，又，所以.故答案为：16.【变式1】（2025·陕西西安·一模）已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（

）A．8 B．2 C．1 D．【答案】A【详解】，故，所以，，故选：A【变式2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在等比数列中，是函数的两个零点，则（

）A． B． C．5 D．【答案】B【详解】因为是函数的两个零点，所以是方程的两个根，则，，所以都为负数，又因为是等比数列，,所以，则，故选：B【变式3】（2022·安徽合肥·模拟预测）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为．【答案】5【详解】设正项等比数列公比为q，则.根据等比数列性质：.因，所以，解得，因此，故，由，得，从而得，即，解得或，而，故，又，则n的最小值为5．故答案为：5题型四：等比数列子数列性质及应用【例4-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比为，则（

）A．20 B．24 C．28 D．32【答案】D【详解】由题意可知，所以.故选：D.【例4-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则．【答案】【详解】由等比数列的公比，且，则，所以.故答案为：.【变式1】（2025·云南曲靖·二模）已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为（用数字作答）.【答案】（答案不唯一）【详解】设等比数列的公比为，则等比数列为，不妨设调整顺序后的等差数列为，则，∵，∴，解得或（舍），令，则，，∴满足条件的一组的值依次为.故答案为：（答案不唯一）.【变式2】（2024·山西太原·模拟预测）已知数列是单调递增的等比数列，且，，则，数列的公差为．【答案】81【详解】因为数列是单调递增的等比数列，即，则，解得或（舍去），则，解得，所以，.故答案为：81；.【变式3】（2025·江苏南通·一模）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为．【答案】【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法，其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法，假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以．故答案为：.题型五：等比数列的函数特性【例5】（多选）（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列有最大值，也有最小值；，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选：BC【变式1】（多选）已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】由题意知，递增的等比数列包括两种情况：时或时.故，，故选：BD【变式2】（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若“数列为递减数列”，易得，若“对任意的正整数，”，，当时，由，得，解得：或，若，则，此时，与已知矛盾；若，则，由指数函数单调性可知单调递减；当时，由，得，解得：或，若，则，此时，与已知矛盾；若，则，由指数函数单调性可知单调递减；综上可知：若，可判断数列为递减数列，所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件，故选：C【变式3】在等比数列中，若，，则当取得最大值时，．【答案】6【详解】在等比数列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得单调递减，且，因为，，所以当时，，当时，，所以当取得最大值时，．故答案为：6题型六：等比数列前n项和【例6-1】（2025·江西新余·模拟预测）若点在曲线上，记数列的前项和为，则（

）A． B． C．9 D．65【答案】D【详解】依题意，，则，故数列是公比为4的等比数列，则.故选：D.【例6-2】（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为．【答案】【详解】依题意，，即，所以.故答案为：【变式1】（2025·湖北武汉·二模）数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，因为，所以解得，所以数列的前3项为负，从第4项起为正，所以的最小值为.故选：D.【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（

）A．93 B．1023 C．2047 D．3069【答案】B【详解】的首项为，故，所以，，，，故.故选：B【变式3】（2025高三·全国·专题练习）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为.【答案】【详解】设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为，当时，，即，则，显然不成立，舍去；当时，则，两式相除得，即，则，解得，所以该等比数列公比为.故答案为：.题型七：等比数列前n项和的性质【例7-1】（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】设等比数列的公比为，根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为，又，即，所以，解得.故选：D.【例7-2】（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若等比数列的公比为，因为，则，矛盾，故设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故选：B【例7-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则.【答案】219【详解】设数列的首项为，公比为.因为，所以，因为，所以，所以.所以，所以.于是.故答案为：219.【变式1】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（

）A．81 B．71 C．61 D．51【答案】C【详解】由题可知，，成等比数列，所以，即，得，则此等比数列的首项是1，公比是，那么，，所以.故选：C【变式2】（2023·陕西榆林·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．41 B．45 C．36 D．43【答案】D【详解】设，则，因为为等比数列，根据等比数列的性质，可得仍成等比数列.因为，所以，所以，故.故选：D.【变式3】（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则.【答案】5【详解】由题意得，，因为，，，，成等比数列，故，即，解得，则，所以，，故.故答案为：题型八：等比数列的实际应用【例8】（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形，所以斜边长为.故选：A．【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【详解】根据题意可知，列不等式，即，又，可得.故选：B【变式2】（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有个节点.（填写具体数字）【答案】1023【详解】由图可知，每一层节点的个数组成以1为首项，2为公比的等比数列，所以到第10层节点的总个数是.故答案为：1023.【变式3】（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了万个充电桩；从第1年起，约年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，）【答案】2.888【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩；假设第年后充电桩总量达到30万个，则，即，取对数得，即约8年内，可达到要求.故答案为：2.88，8题型九：等比数列综合解答题【例9-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且.(1)若，且，求的通项及前项和；(2)若，，则能否为等比数列?若能，求；若不能，说明理由.【详解】（1）由及，得，所以数列是公比为的等比数列，且，所以，.（2）因为，若是等比数列，则，所以，即，因为，，所以，下面证明时是等比数列：由已知是公比为的等比数列，所以，所以时，当也满足上式，所以，，又，故数列可以是首项为1，公比为的等比数列，此时.【例9-2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中．(1)写出，，并求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．【详解】（1）由已知，则曲线在点处的切线方程为，即．令，得．因为，代入上式，依次解得，．因为，所以，得．所以．解法一：故数列为等比数列，首项为1，公比为．所以．解法二：当时，．当时，因为，所以上式亦成立.所以．（2）解法一：．，，两式相减可得：所以．因为，所以.解法二：．令，则．所以．因为，所以．【例9-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.(1)证明：数列是“方特数列”；(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；(3)证明：当时，数列是“方特数列”.【详解】（1）当时，，，∴数列满足，即数列是“方特数列”.（2）当时，，，满足条件；当时，，∵数列是“方特数列”，∴，.∴，∴且，综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为.（3）当时，由（1）知满足条件，当且时，，，∴，∴，，设，∴，当时，单调递增；当时，单调递减，∴，∴，综上所述，当时，数列是“方特数列”.【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式：(2)证明：．【详解】（1）因为，进而，两式作差可得：，即，所以为常数列，又，则，故数列的通项公式为．（2）由（1），则，其中，8，…，，结合等比数列求和公式，有：，当时，，综上所述，.【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，．(1)求，的通项公式；(2)记，为数列的前项和．（ⅰ）求；（ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．【详解】（1）记公差为，公比为，则，，故，则即，故，解得，故，．（2）（ⅰ）由，当为偶数时，，而，两式相减，可得到，故此时；当为奇数时，，于是．（ⅱ）考虑可以构成三角形的情况．当为奇数时，，，，于是，故要能够以，，为三边构成一个三角形，则只需即可．则，当时，，，故此时；当时，显然．故由为奇数可知此时的最大值为3．当为偶数时，，，．当时，，，，此时显然可构成三角形，当时，易知，故只需，即可构成三角形．而故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形．综上，的最大值为3．【变式3】（2025·广东广州·模拟预测）已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.

(1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：；(2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设.（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；（ii）令数列，求证.【详解】（1）由题意，联立方程可得，时，由图可知，椭圆与直线的交点为点、，设，，则，同理，将与直线联立可得：，时可得，则线段的中点与线段中点重合，设为点，即有，，所以，即.（2）（i）由题意，联立方程可得，即.因为交点在第一象限内，所以点的横坐标，同理可得点的横坐标，则.由于，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为；（ii）由（i）可知，，则.设，设，，由时，，可得，，所以，由.，.即得证.一、单选题1．（2025·陕西宝鸡·一模）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于（

）A． B．2或 C．2 D．4【答案】C【分析】根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公比.【详解】记此等比数列为，设其公比为，由，得，依题意，，则，，所以这个数列的公比等于2.故选：C2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（

）A．30 B．32 C．36 D．40【答案】B【分析】利用等差数列的求和公式可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得.【详解】由，即，又，，成等比数列，则，即，得，，.,.故选：.3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（

）A．10 B．15 C．30 D．31【答案】D【分析】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可.【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为，又是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），所以由解得，所以该数列的前5项和，故选：D4．（2025·北京延庆·三模）已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据题意，利用等比数列的性质，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由等比数列单调递减，各项均为正数，设等比数列的公比为，则，若，根据等比数列的性质，可得，解得，又由且，因为且，所以，此时与无法比较，所以不能推出有唯一的最大值，所以充分性不成立；反之：若有唯一的最大值，可得，因为，所以，根据等比数列的性质，知，所以成立，即必要性成立，综上可得，是有唯一的最大值的必要不充分条件.故选：B.5．（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（

）A．4.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】A【分析】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可.【详解】由题意可得成等差数列，成等比数列，得到，，故，若，则，解得，可得，即，故A正确.故选：A．6．（2025·江西新余·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．已知，则且B．命题“”是真命题C．是的充分条件，则D．若等比数列的通项公式为，则其前项和【答案】C【分析】举反例判断A，利用导数求函数的最小值，判断B，结合充分条件的定义判断C，举反例判断D.【详解】对于A，当，满足，故A错误；对于B，设，则，所以当时，；当时，，即，故B错误；对于C，由于是的充分条件，所以且，所以，即，故C正确；对于D，当时，结论不成立，故D错误．故选：C.7．（2025·福建三明·模拟预测）现有矩形满足如下条件：第1个矩形的相邻两边长分别为，1；第2个矩形的相邻两边长分别为，2；第3个矩形的相邻两边长分别为，；…，第个矩形相邻两边长分别为1，．则这个矩形的面积和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将每个矩形的面积表示为等比数列的项，通过求和公式计算总和【详解】第个矩形的相邻两边长分别为和（从到）因此面积为：总面积和为：等比数列首项，公比，项数为求和公式为：代入得：故选：8．（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（

）A．31 B．63 C．127 D．255【答案】C【分析】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解.【详解】根据题意可得：，因为数列是等比数列，，则化简得，因为，所以.所以.故选：C.二、多选题9．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（

）A．B．数列是等比数列C．D．数列是等比数列【答案】AD【分析】令即可判断A，由与的关系代入计算，即可判断B，由等比数列的定义以及通项公式即可判断CD.【详解】对于A，由可得，当时，，故A正确；对于B，由可得，当时，，两式相减可得，即，即，但，所以数列是从第二项起的等比数列，不是整个数列都是等比数列，故B错误；对于C，由可得，即，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，故C错误，D正确；故选：AD10．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，当时，记.数列的通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的有（

）A．B．若，则或16C．D．，当时，【答案】ACD【分析】对于选项A：利用求出，利用，得到的范围，利用，，时，求出，从而得到，从而得到选项A正确；对于选项B：利用得到，再对取值得到选项B不正确；对于选项C：利用，求出的表达式，判断的下界与的大小关系，从而得到选项C正确；对于选项D：利用的增长速度比快得到选项D正确.【详解】对于选项A：，，，，，，，，，时，，，，，，，，则选项A正确.对于选项B：若，，，，，，，，当时，成立，此时；当时，成立，此时；当时，成立，此时；当时，成立，此时，则选项B错误.对于选项C：当时，，当时，，因为，又满足的整数n共有2m个，故.即.则选项C正确.对于选项D：当足够大时，是单调递增函数，随着的增大，增长速度越来越快，是缓慢增长的函数，随着的增大，增长速度越来越慢，幂函数的增长速度比对数函数的增长速度快，例如，当时，，，此时；当时，，，此时；当继续增大时，的增长速度远快于，会有更多的使得；根据上述分析，存在，使得当时，，则选项D正确.故选：ACD三、填空题11．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则.【答案】15【分析】先由等比数列的性质求出，再由等差中项的性质求出，然后计算公比和，再利用等比数列的公式法求和即可.【详解】由题意可得，解得，因为与的等差中项为，所以，则，得到，解得，故，由等比数列求和公式得.故答案为：15.12．（2025·福建泉州·模拟预测）在等比数列中，则【答案】【分析】根据等比数列通项公式，结合题干条件，可得，代入所求，即可得答案.【详解】设等比数列的公比为q，由题意，所以，即，所以，解得或（舍），所以.故答案为：13．（2025·贵州·模拟预测）设等比数列的公比为q，若，则．【答案】2【分析】由等比数列的性质有，结合已知求公比.【详解】因为，所以．故答案为：214．（2025·四川广安·模拟预测）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为．【答案】23【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，即，解得，.故斗量器的高为.故答案为：23四、解答题15．（2025·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，为等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，则，.根据题意利用基本量法列出方程组，解出公差与首项即可求解；（2）由（1）知，故，利用错位相减法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，.∵，∴，即.∵，，为等比数列，∴，即，即，解得或.当时，不符合题意，故舍去.∴，，∴，.（2）由（1）知，∴，∴，，将两式左右两边分别相减得，即，化简得.16．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：为等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据数列递推式化简得，将其转化成，利用等比数列的定义即可证得结论；（2）根据（1）推得的等比数列写出通项公式，再利用分组求和法与等比数列的求和公式计算即得.【详解】（1）因为，所以，则．又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）的结论，可知，即，则．17．（2025·甘肃白银·二模）定义新运