2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)模块01集合与常用逻辑用语与、等式(测试卷)(学生版+解析)

模块01集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．已知全集，集合，，则（

）A．或 B．或C． D．2．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（

）A． B．C． D．5．（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．R6．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（

）A．是真命题，且B．是真命题，且C．是假命题，且D．是假命题，且7．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．8．（2025·浙江宁波·模拟预测）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。9．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．10．（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（

）A．若，则的最大值为B．若，则C．若，，则的最小值为D．若，则11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（

）A．B．C．存在，使得成立D．记表示不超过的最大整数，且，则.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是．13．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是.14．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．(1)若，求的值；(2)求的取值范围．16．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求C；(2)若边上的高为，求的最小值．17．（2025·湖北·三模）已知.(1)解关于的不等式(2)若不等式的解集为，求实数的值.18．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．(1)若，求；(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；(3)设为有限集合，证明：．19．（2025·四川·一模）已知定义在上的函数满足，且，有．若存在，使得函数是常函数，则称是“阶梯函数”．(1)若是“阶梯函数”，且当时，，写出的取值范围；(2)已知满足：①；②，有．（i）证明：是“阶梯函数”的必要条件是“”；（ii）若所有满足条件①②的函数均为“阶梯函数”，猜想的取值范围并证明．模块01集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．已知全集，集合，，则（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【知识点】交并补混合运算【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可.【详解】由题可得或，则或．故选：A.2．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式【分析】根据一元二次不等式化简集合，再根据交集的运算求解即可.【详解】因为或，又，所以.故选：A.3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论.【详解】阴影部分对应的集合为，∵全集，集合，∴.故选：D.4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假【分析】由得到，再逐项判断即可.【详解】由，可得，所以错误，错误，错误，，即，正确.故选：D.5．（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．R【答案】C【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、公式法解绝对值不等式【分析】化简集合，根据交集运算求解.【详解】由，或，所以.故选：C.6．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（

）A．是真命题，且B．是真命题，且C．是假命题，且D．是假命题，且【答案】C【知识点】全称命题的否定及其真假判断、对数的运算【分析】先利用特殊值判断命题的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案.【详解】因为当时，，所以是假命题，因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以.故选：C.7．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【知识点】数量积的坐标表示、条件等式求最值、求投影向量【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值.【详解】由题意，可得，故，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：A8．（2025·浙江宁波·模拟预测）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质、求等比数列前n项和【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前项和公式推理判断即得..【详解】因为是等比数列，由可得:，故“公比”是“是和有界数列”的充分条件；反之，若取，则，即此时是和有界数列，故“公比”不是“是和有界数列”的必要条件.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。9．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小【分析】由题意结合函数单调性可得.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判断选项正误.【详解】由题意可得，对于函数，则在R上单调递增，结合，可得.对于A，，故A正确；对于B，由不能判断与1的大小，故B错误；对于C，取，此时C不成立，故C错误；对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确.故选：AD.10．（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（

）A．若，则的最大值为B．若，则C．若，，则的最小值为D．若，则【答案】ACD【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用重要不等式可得到，进而可判断A；将原式展开结合基本不等式可判断B；利用基本不等式可判断C，注意等号成立的条件；利用常值代换结合基本不等式可判断D.【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，所以，故A正确；对于B，，所以，即，解得（当且仅当时等号成立）或（当且仅当时等号成立），故B错误；对于C，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当，即，，即时等号成立，故D正确.故选：ACD11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（

）A．B．C．存在，使得成立D．记表示不超过的最大整数，且，则.【答案】ABD【知识点】求等比数列前n项和、裂项相消法求和、集合新定义【分析】直接利用给定定义，进而求出符合条件的数字为判断A，找到被3整除，被2整除，被6整除的数字个数，进而得到判断B，先假设等式成立，再找出左右两侧的矛盾判断C，对的情况进行讨论，结合放缩法判断D即可.【详解】对于，在不大于16的所有正整数中，即不能被3整除又不能被4整除的数有，，故A正确；因为在不大于的所有正整数中，能被3整除的有个，被2整除的有个，被6整除的有个，所以，故B正确若，则，即，，，等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，故不存在，使得成立；故C错误；当时，当时，，所以当时，，所以当时，，则，故D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是．【答案】【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解.【详解】由题，为真命题，所以，对，又在上的最小值为，，所以实数的取值范围为.故答案为：.13．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求.【详解】由可得，即，由可得，即，又因为是的充分不必要条件，所以，所以(等号不同时成立)，解得，故答案为：.14．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为．【答案】【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、基本不等式求和的最小值【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，可得，利用等差数列的前n项和公式化简，然后利用基本不等式求出最值即可.【详解】令的公差为，成等比数列，，，，．，当且仅当，即时取等号．故答案为：四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．(1)若，求的值；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值【分析】（1）延长CG交AB于点D，利用三角形重心性质，结合正弦定理及差角的正弦公式化简即得.（2）利用余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式求出范围.【详解】（1）延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且，由，得，则，，又，则是正三角形，，在中，记，由正弦定理，即，则，即，所以，即.（2）由（1）知，在中，，在中，，于是，整理得，在中，，当且仅当时取等号，又，所以的取值范围为.16．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求C；(2)若边上的高为，求的最小值．【答案】(1)(2)2【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由正弦定理，化简得，由此即可得解；（2）方法一：设，则，将表示为的三角函数，令，可得，结合基本不等式即可求解；方法二：由余弦定理结合基本不等式可得，然后根据三角形面积公式得，由此即可得解.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又因为，所以，所以，即，因为，，所以，故，于是；（2）方法一：由（1）得，设，则，在中，，在中，，于是，令，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2.方法二：由（1）得，根据余弦定理以及基本不等式，得，当且仅当时等号成立，又因为，且，所以，所以，即，故的最小值为2.17．（2025·湖北·三模）已知.(1)解关于的不等式(2)若不等式的解集为，求实数的值.【答案】(1)(2)【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案；（2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案.【详解】（1）由题意知，即，解得.所以所求不等式的解集为.（2）不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，解得，故的值为，的值为.18．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．(1)若，求；(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；(3)设为有限集合，证明：．【答案】(1)(2)4(3)证明过程见解析【知识点】交并补混合运算、集合新定义【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；（3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式.【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于，所以；（2）设，则，因为，故符合条件的的个数为.（3）对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且．若，则；若，则．故，从而．因此，结论成立．19．（2025