2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)专题04数列通项公式的求法(4种模型解题方法+强化训练)(学生版+解析)

专题04数列通项公式的求法题型归纳题型01Sn与an关系法求数列通项 1题型02累加法求数列通项 4题型03累乘法求数列通项 6题型04构造法求数列通项 7强化训练 9题型一：Sn与an已知Sn与n的关系或Sn与an的关系式求an时，可利用an=Sn−1．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和，则（

）A．6 B．11 C．12 D．22．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．3．（2025·河南三门峡·三模）已知数列的前n项和是，若，，则（

）A． B．1 C．2 D．34．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等差数列；(2)求的通项；(3)求的最大值．5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．(1)求的通项公式；(2)若，恒成立，求实数的取值范围．6．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求.7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)证明：当时，.8．（2025·山东·模拟预测）已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.9．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．题型二：累加法求数列通项形如an+1=an+f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于将上述n−1个式子两边分别相加,可得an=f(n−1)+f(n−2)+⋯+f(2)+f(1)+（1）若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;（2）若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;（3）若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;（4）若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和.10．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．11．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．26112．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．(1)若，，成等差数列，求k；(2)求．13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，记数列的前项和为，求证：．14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令（），求数列的前项和．题型三：累乘法求数列通项形如an+1=an⋅f(n)(an+1an=f(n))型的递推数列将上述n−1个式子两边分别相乘,可得an=f(n−1)⋅f(n−2)⋅⋯⋅f(2)f(1)15．（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（

）A． B． C． D．16．在数列中，若，则（

）A．1012 B．1013 C．2023 D．202417.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则.18．设等差数列的前项和为，，(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足，，记的前项和为，求19．设为正项等比数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，，求的前项和.题型四：构造法求数列通项类型一：形如an+1=pan+q(p≠1且设an+1+λ=p(an+λ),展开移项整理得an+1=pa{an+qp−1}类型二：形如an+1=pan+f(n)(p≠1)型的递推式.（1）当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时，设an+An+B=p[an−1+A(n−1)+B],通过待定系数法确定A，B的值,转化成以a1+A+B为首项,以p为公比的等比数列{an+An+B},再利用等比数列的通项公式求出{an+An+B}的通项公式，整理可得an.(2)当20．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（

）A．4 B．3 C． D．21．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项．22．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.23．（2025高三·全国·专题练习）已知，点在函数的图象上，其中，，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求及数列的通项；(3)记，求数列的前项和，并证明：．24．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.(1)求；(2)求的值；(3)设数列的前项和为，证明：.一、单选题1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（

）A．153 B．161 C．163 D．2382．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（

）A．4050 B．2025 C．4048 D．20243．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（

）．A．不是等比数列 B．C． D．5．（2025·四川绵阳·一模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是等差数列 D．是等比数列三、填空题6．（2025·河南·模拟预测）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则．7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则；．8．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则9．（2025·河南信阳·模拟预测）甲、乙两人进行射击比赛，每次由其中一人射击，规则如下：若击中则此人继续射击，若未击中则换对方射击．无论之前射击情况如何，甲每次射击的命中率均为，乙每次射击的命中率均，第一次射击的人是甲、乙的概率各为．求第三次射击的人是甲的概率为．10．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是.四、解答题11．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：．12．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.13．（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)若，求；(2)若，求关于n的表达式．14．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为数列的前n项和，已知.(1)求的通项公式；(2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：.15．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列的前n项和为，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，求证：．16．（2025·全国·模拟预测）设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和．17．（2025·贵州·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且.(1)分别求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.18．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．19．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的前n项和.专题04数列通项公式的求法题型归纳题型01Sn与an关系法求数列通项 1题型02累加法求数列通项 11题型03累乘法求数列通项 16题型04构造法求数列通项 20强化训练 27题型一：Sn与an已知Sn与n的关系或Sn与an的关系式求an时，可利用an=Sn−1．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和，则（

）A．6 B．11 C．12 D．2【答案】A【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项【分析】方法1：计算即可；方法2：根据前项和可知数列为等差数列，再根据等差数列求解第三项；【详解】方法1：．方法2：等差数列的前项和为，因为，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列．于是．故选：A．2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】写出等比数列的通项公式、前n项和与通项关系、利用an与sn关系求通项或项【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出.【详解】由题意，，在等比数列中，，设公比为q，，解得，∴，当时，，解得：，∴是以2为首项，3为公比的等比数列，∴.故选：A.3．（2025·河南三门峡·三模）已知数列的前n项和是，若，，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项【分析】由数列的通项与前n项和的关系，分别令，，解方程可得所求值．【详解】数列的前n项和是，若，，则当时，，两式相减可得，当时，，解得，当时，，解得故选：D.4．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等差数列；(2)求的通项；(3)求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)3.【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数【分析】（1）利用的关系，将转化，整理即可得证；（2）根据（1）中结论，求出的通项，结合已知可得所求；（3）根据通项公式即可得解.【详解】（1）因为，所以，故，又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列．（2）由（1）知，当时，，而时，不满足上式，所以.（3）由（2）知，当时，，又，所以的最大值为.5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．(1)求的通项公式；(2)若，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式．（2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围．【详解】（1），则当时，，当时，，不符合，所以．（2）因为，，所以，．令，则，当时，不妨设的第n项的值最小，只需令，解得，又，所以的最小值为，所以，即的取值范围是．6．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求.【答案】(1)(2)【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）借助与的关系计算可得，再利用等比数列定义计算即可得；（2）由题意可得，数列的其余项为1，则可借助分组求和计算即可得解.【详解】（1）由，得，则，即，又，满足，所以，所以是首项是，公比为的等比数列，故；（2）由题知，数列的其余项为1，则.7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)证明：当时，.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题【分析】（1）当时，由可得出，两式作差可得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）当时，推导出，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）由，当时，，则，整理得.因为，所以是以为首项，以公比的等比数列，所以.（2），当时，，所以，所8．（2025·山东·模拟预测）已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）利用与已知建立等式，因，得出，可知是等差数列，进而求出，再根据求出，并验证时是否满足.（2）先根据求出，进而得到表达式.用错位相减法，即①式减②式求出表达式，从而证明.再通过放缩法，将各项缩小，得到.【详解】（1）解：因为，所以.又因为，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.则，所以.当时，，当时，满足上式，所以.（2）证明：由题意及（1），得，所以，①，②①-②得，整理得.又，所以，得证.9．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项【分析】（1）构造法判断为等差数列，并写出其通项公式，再应用关系求的通项公式；（2）应用裂项相消法求.【详解】（1）由，，得，又，数列是首项为，公差的等差数列，，即，当时，，且也满足，，则数列的通项公式为；（2）由（1）得，.题型二：累加法求数列通项形如an+1=an+f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于将上述n−1个式子两边分别相加,可得an=f(n−1)+f(n−2)+⋯+f(2)+f(1)+（1）若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;（2）若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;（3）若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;（4）若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和.10．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到.【详解】由，知，所以，即，故，又适合上式，故．故选：C.11．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．261【答案】C【知识点】累加法求数列通项【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解.【详解】由可得，故累加可得，故，故选：C12．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．(1)若，，成等差数列，求k；(2)求．【答案】(1)(2)【知识点】累加法求数列通项、等差中项的应用【分析】（1）根据，成等差数列得，求出即可；（2）由可得答案.【详解】（1）已知数列满足，．因为，，成等差数列，所以，所以，整理得，解得，或（负值舍去）.（2）因为，又，所以时，，时,也满足上式，所以．13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）根据可得，再结合累加法可得通项公式；（2）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证.【详解】（1）由已知得，即，则，，，，等式左右分别相加可得，则；（2）依题意得，，则，又，所以，所以，即．14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令（），求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；（2）由裂项相消法求和即可．【详解】（1）令，，又由有，则有，所以．又因为数列的各项均为正数，所以．（2）由，知．题型三：累乘法求数列通项形如an+1=an⋅f(n)(an+1an=f(n))型的递推数列将上述n−1个式子两边分别相乘,可得an=f(n−1)⋅f(n−2)⋅⋯⋅f(2)f(1)15．（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求等比数列前n项和、累乘法求数列通项【分析】根据已知得，应用累乘及等比数列前n项和公式求得，即可得.【详解】由及已知，得，相乘可得，故.故选：C16．在数列中，若，则（

）A．1012 B．1013 C．2023 D．2024【答案】B【知识点】判断或写出数列中的项、累乘法求数列通项【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得.【详解】在中，取，可得，代入解得，又由可得，于是，故.故选：B.17.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则.【答案】【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累乘法求数列通项【分析】令，然后结合等比和数列可得数列的通项公式，再由累乘法代入计算，即可求解.【详解】令，则①，又②，由②－①得，即，，，，故答案为：.18．设等差数列的前项和为，，(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足，，记的前项和为，求【答案】(1)(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、二项式的系数和、累乘法求数列通项【分析】（1）由，解得，，从而得数列的通项公式；（2）根据题意有，可得，故可得，利用二项式系数和可得结论.【详解】（1）由题意得：解得：，，（2）由题意得：，由于所以19．设为正项等比数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，，求的前项和.【答案】(1)(2)【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、累乘法求数列通项【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于的方程，即可求解.（2）先利用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和.【详解】（1）因为是正项等比数列，所以，公比.因为，所以，则，即，则，得（舍）或，又因为，所以，所以的通项公式为.（2）依题意得，当时，，即.因为，所以，当时，符合上式，所以的通项公式为.因为，所以.题型四：构造法求数列通项类型一：形如an+1=pan+q(p≠1且设an+1+λ=p(an+λ),展开移项整理得an+1=pa{an+qp−1}类型二：形如an+1=pan+f(n)(p≠1)型的递推式.（1）当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时，设an+An+B=p[an−1+A(n−1)+B],通过待定系数法确定A，B的值,转化成以a1+A+B为首项,以p为公比的等比数列{an+An+B},再利用等比数列的通项公式求出{an+An+B}的通项公式，整理可得an.(2)当20．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（

）A．4 B．3 C． D．【答案】C【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项.【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列.所以，令，得.所以数列是公差为3，首项为1的等差数列.故，即.所以.故选：C.21．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项．【答案】【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项【分析】利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案.【详解】利用待定系数法构造新数列，，又，则，所以．令，是以为首项，公比的等比数列．．即，．当时成立，所以．故答案为：22．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、构造法求数列通项【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.（2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解.【详解】（1）由，，得，则，即，又，于是，而，所以数列为首项为3公比为3的等比数列，.（2）由（1）知，数列，都是递增数列，，即，因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项，所以.23．（2025高三·全国·专题练习）已知，点在函数的图象上，其中，，，．(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求及数列的通项；(3)记，求数列的前项和，并证明：．【答案】(1)证明见解析(2)，(3)，证明见解析【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、构造法求数列通项【分析】（1）点代入函数解析式得，等式两边加1化简后取对数，可证题设结论；（2）利用（1）求得后可得；（3）已知得，变形为，可得，由裂项相消法的思想可得和，然后可证得不等式成立．【详解】（1）由已知得，则，由，知，两边取对数得，注意到，则有，所以是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）知，故，．（3）由，得，则有，．又，则．，由，，，得．而，故．24．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.(1)求；(2)求的值；(3)设数列的前项和为，证明：.【答案】(1)，.(2)(3)证明见解析【知识点】判断或写出数列中的项、由递推数列研究数列的有关性质、求递推关系式、构造法求数列通项【分析】（1）求出方程的根后可求；（2）利用代数变形可得，据此可求的值；（3）根据（2）的递归关系可得，利用构造法可求的通项公式，结合不等式的性质可证.【详解】（1）因为方程的两实根分别为，故，故，.故，.（2）由题设可得，，所以，故，，，，累计可得：即.（3）当时，由题设，，，故，设，则，其中，，故且，而，，故、均为等比数列，且前者首项为，公比为，后者首项为，公比为，故，且，所以，其中，而满足上式，故，整理得：因为，而，故，而，故，故即.一、单选题1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（

）A．153 B．161 C．163 D．238【答案】B【分析】应用计算求解.【详解】因为，则．故选:B.2．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（

）A．4050 B．2025 C．4048 D．2024【答案】B【分析】利用等差数列性质及前项和公式变形给定等式得，再构造常数列求出目标值.【详解】在等差数列中，，则，即，因此，数列是常数列，则，即，所以.故选：B3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式.【详解】由题设，即，且，所以，由满足上式，故.故选：B二、多选题4．（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（

）．A．不是等比数列 B．C． D．【答案】ACD【分析】当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可.【详解】因为数列的前项和为，，且，当时，，当时，由得，上述两个等式作差得，可得，但，所以数列从第二项开始成公比为的等比数列，故当时，，所以，对于A选项，数列不是等比数列，A对；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D对.故选：ACD.5．（2025·四川绵阳·一模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是等差数列 D．是等比数列【答案】BD【分析】根据已知递推关系可得到，结合等比数列通项公式可求得B正确；采用作差法可知A错误，根据等差数列定义可得C错误；由B得，知D正确.【详解】对于B，，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；，解得：，B正确；对于A，由B知：，，A错误；对于C，，，不是常数，不是等差数列，C错误；对于D，由B知：，即，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，D正确.故选：BD.三、填空题6．（2025·河南·模拟预测）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则．【答案】【分析】根据已知有，结合等比数列的通项公式得，进而有，最后由求值.【详解】由题设，可得，即，又为等比数列，若公比为，则，故，所以，则，所以.故答案为：7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则；．【答案】32【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，从而可求出，得出；利用累乘法可求出，从而可求，然后利用裂项相消法求和即可．【详解】由题意，设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，公比为，所以，则．则，所以，所以．故答案为：32；．8．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则【答案】【分析】根据等差数列的定义有，即，利用关系求通项公式.【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列，则，所以，当，则，显然满足上式，所以.故答案为：9．（2025·河南信阳·模拟预测）甲、乙两人进行射击比赛，每次由其中一人射击，规则如下：若击中则此人继续射击，若未击中则换对方射击．无论之前射击情况如何，甲每次射击的命中率均为，乙每次射击的命中率均，第一次射击的人是甲、乙的概率各为．求第三次射击的人是甲的概率为．【答案】【分析】记“第次射击的人是甲”为事件，“第次射击的人是乙”为事件，设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列，最后代入计算即可.【详解】记“第次射击的人是甲”为事件，“第次射击的人是乙”为事件，设，依题可知，，则，即，设，解得，则，又，则，所以是首项为，公比为的等比数列，即，．则第次射击的人是甲的概率为.当时，故答案为：.10．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是.【答案】5【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值.【详解】，，且，是以为首项,为公比的等比数列.

,

.,，即，,,的最大值是.故答案为：5.四、解答题11．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）令，求出的值，对任意的，由可得，两式作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立.【详解】（1）因为①，所以，解得，对任意的，②，②-①得，即，所以，即，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即．（2）因为，所以，因为，数列为单调递增数列，所以，即．12．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)．(2)．【分析】（1）由条件，结合关系，求数列的通项，（2）由（1）可得，利用错位相减法求结论.【详解】（1）因为，取可得，又，所以，解得，当时，用替换可得，所以，即，所以，又，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．（2）因为，所以，①，②①－②得所以，所以．13．（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)若，求；(2)若，求关于n的表达式．【答案】(1)(2)【分析】（1）令可求得，再结合可求出；（2）利用累乘法结合已知条件可得，则当时，，两式相减化简可得，从而可得的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列，进而可求出其通项，则可求得关于n的表达式．【详解】（1）令，可得，故，又，所以．（2）由，可得，，…，，两边分别相乘得，所以．当时，，所以，即，即，由题可知，所以，所以的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列．所以，，所以．所以，故．14．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为数列