2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第八章培优点8阿基米德三角形（附答案）

培优点8阿基米德三角形分值：34分1.(17分)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－2时，切线MA的斜率为－12(1)求p的值；(7分)(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).(10分)2.(17分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(3分)(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.(14分)答案精析1.解(1)因为抛物线C1：x2=4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y'=x2且当x0=1-2时，切线MA的斜率为-12所以A点坐标为-1，故切线MA的方程为y=-12(x+1)+1因为点M(1-2，y0)在切线MA及抛物线C2上，所以y0=-12(2-2)+14=-3-22y0=-(1-2)22p由①②得p=2.(2)设N(x，y)，Ax1Bx2，x224，由N为线段AB中点，知x=x1+xy=x12+切线MA，MB的方程为y=x12(x-x1)+x1y=x22(x-x2)+x2由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)，即x0=x1+x22，因为点M(x0，y0)在C2上，即x02=-4y所以x1x2=-x12+由③④⑦得x2=43y，x≠0当x1=x2时，A，B重合于原点O，AB的中点N(0，0)满足x2=43y因此AB中点N的轨迹方程为x2=432.解(1)由题意知M(0，-4)，F0，圆M的半径r=1，所以|MF|-r=4，即p2+4-1=4，解得p=2(2)方法一抛物线C的方程为x2=4y，即y=x24，求导得y'=设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线PA的方程为y-y1=x12(x-x1即x1x-2y1-2y=0，同理可知，直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0，由于点P为这两条直线的公共点，则x所以点A，B的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0，又两点确定一条直线，所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0，联立x可得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4(x02-4y0)则x1+x2=2x0，x1x2=4y0，所以|AB|=1+x0=(x点P到直线AB的距离为d=|x所以S△PAB=12|=12(=12(x02又x02-4y0=1-(y0+4)2-4=-y02-12y0-15=-(y0+6)2由已知得-5≤y0≤-3，所以当y0=-5时，△PAB的面积取得最大值为12×2032方法二由(1)知，抛物线方程为x2=4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设Ax1，x124，Bx2，x联立y消去y得x2-4kx-4b=0，则Δ=16k2+16b>0，(※)x1+x2=4k，x1x2=-4b，所以|AB|=1+k2|x1-x=1+k2=41+k2·因为x2=4y，即y=x2所以y'=x2则抛物线在点A处的切线的斜率为x12，在点y-x124=x12(x即y=x12x-同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x22x-联立y则x即P(2k，-b).因为点P在圆M上，所以4k2+(4-b)2=1，①且-1≤2k≤1，-5≤-b≤-3，即-12≤k≤12，3≤b≤5，满足(※设点P到直线AB的距离为d，则d=|2所以S△PAB=12|AB|=4(k由①得，k2=1-(4-b)2令t=