2026届湖南郴州市高三下学期教学质量监测数学试卷

2026届湖南郴州市高三下学期教学质量监测数学试卷一、单选题1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．2.若复数z满足，则复平面内表示复数z的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.以，，，为顶点的四边形是（）

A．矩形B．菱形C．直角梯形D．正方形4.的二项展开式中所有项的系数的最大值为（）

A．84B．128C．240D．5605.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）

A．B．C．D．6.若直线上存在点P，圆上存在点Q，使得，则m的最大值为（）

A．B．C．D．37.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（）

A．B．C．D．18.已知实数x，y满足，则的值为（）

A．1B．C．D．二、多选题9.设抛物线C：的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦AB的中点为，则（）

A．F的坐标为B．直线AB的斜率为C．点P到准线的距离为4D．10.2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（）

A．的最小正周期为B．是偶函数C．的图象关于点对称D．若在上有且仅有两个极值点，则11.已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有（）

A．此四棱台的侧面积为B．若是的中点，则平面截此四棱台所得截面的面积为C．若点为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则的轨迹长度为D．若点为棱上的动点，则的最小值为三、填空题12.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率________．13.已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________.14.在锐角中，角的对边分别为.已知成等差数列，且，若O是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为________.四、解答题15.已知函数，，，设曲线与在区间内的交点为P.(1)求点P的坐标；(2)设两曲线在点P处的切线夹角为，求.16.在棱长为3的正方体中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足.(1)取的中点为M，的中点为N，求证：底面OABC；(2)求证：；(3)若，请问：在线段上是否存在点G，使得二面角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.17.某兴趣小组设计一种“量子通信模拟”实验：盒中装有大小、形状完全相同的红球4个和白球2个，每次从盒中随机摸出1个球，记录颜色后放回.规定：摸到红球记为发送红球信息，摸到白球记为发送白球信息.发送者甲每次摸球后，随机选择两种编码方式A，B中的一种发送信息；接收者乙收到信息后，也随机选择A，B中的一种方式进行解码，且二者选择A，B的概率均为.已知：若甲、乙采用相同编码方式，则乙正确得到该次球颜色的概率为1；若甲、乙采用不同编码方式，则乙正确得到颜色的概率为.(1)求乙正确得到该次球颜色的概率p；(2)独立进行3次通信，记随机变量X为这3次中乙显示为红球的次数，求X的概率分布列及数学期望；(3)现加入窃听者丙，每次通信时，丙先接收到甲的信息，并随机选择A，B中的一种方式进行“窃听”，再将自己的结果发送给乙；乙仍按原规则随机选择方式解码.设无窃听者时，乙正确得到信息的概率为，有窃听者时为.（i）求，；（ii）为判断通信过程中是否存在窃听，独立重复进行n次通信，记乙正确得到信息的次数为Y.规定统计量，当时，判断通信过程中存在窃听；否则暂不判断存在窃听.现进行了64次通信，乙正确得到信息40次，请根据上述标准判断通信过程中是否存在窃听，并说明理由.18.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点为，点位于双曲线C两支之间，点P为双曲线右支上的动点.若△PAF的周长最小值为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)是否存在过点A的直线与双曲线C交于B，C两点，且A恰为弦BC的中点？若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由；(3)设双曲线C的右顶点为H，若点M在x轴上，且满足，求所有