安徽省2023届高三a10联盟二模数学试卷

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页安徽省2023届高三A10联盟二模数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，则的元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．的虚部为（

）A． B． C． D．3．设，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人的5位同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为（

）A．12 B．14 C．15 D．165．如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之和为（

）A．0 B． C． D．7．已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．设，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（

）A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元10．若圆与圆的公共弦AB的长为，则下列结论正确的有（

）A． B．直线AB的方程为C．AB中点的轨迹方程为 D．四边形的面积为11．已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（

）A．圆锥的侧面积为B．面积的最大值为C．直线SB与平面SAC所成角的最大值为D．若B是的中点，则的最小值为12．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（

）A． B．C． D．以为直径的圆过点三、填空题（本大题共2小题）13．已知展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中的系数为________．14．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________．四、双空题（本大题共1小题）15．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在C的左支上，交C的右支于点B，，，则C的焦距为___________，的面积为___________．五、填空题（本大题共1小题）16．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_________．六、解答题（本大题共6小题）17．已知首项为3的数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．18．在中，．(1)若，判断的形状；(2)求的最大值．19．近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．(1)已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；(2)三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且，求p的值及X的分布列．20．如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O．(1)求证：平面ABCD；(2)求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值．21．已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．(1)求的方程；(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．22．已知函数．(1)讨论在上的单调性；(2)若，且，求证：．

参考答案1．【答案】C【分析】先化简集合，然后利用交集运算求解.【详解】由题意得，，故，即共有4个元素，故选：C．2．【答案】B【分析】根据复数的四则运算法则化简计算，再由复数的定义判断虚部.【详解】根据复数的四则运算法则化简可得，，所以的虚部为，故选：B3．【答案】A【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】若为奇函数，则，，解得，经检验，符合题意，“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A．4．【答案】D【分析】将5位同学分成，两种情况，结合排列与组合求得结果.【详解】若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种；若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种，故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种．故选：D．5．【答案】C【分析】确定，，相加整理得到答案.【详解】，则①；，则②；①②两式相加，，即，故选：C.6．【答案】B【分析】由题意得，．令，作出所表示的平面区域，而表示点到原点的距离的平方，即可求得的最小值与最大值之和.【详解】由题意得，．令，作出所表示的平面区域如图中实线所示，则，而表示点到原点的距离的平方，结合图形可知的最小值为2，最大值为4，故的最小值与最大值之和为，故选：B．7．【答案】D【分析】先根据二倍角公式及辅助角公式化简解析式，再把问题转化为在内有4个不同的零点，借助于正弦函数的性质即可求解．【详解】由题意得，，令，解得．，，函数在上恰有4个不同的零点，则，，解得．故选：D．8．【答案】B【分析】利用函数单调性比较数的大小.【详解】设，则，当时，，当时，，即当时，取得最小值，即有，．令，则，令，易得在上单调递增，∴当时，，，在上单调递增，，即，，.故选：B．9．【答案】ABD【分析】利用频率，频数，平均数，中位数的定义进行判断即可.【详解】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；平均数为（元），故C错误；中位数为（元），故D正确．故选：ABD．10．【答案】AB【分析】先求得直线的方程，根据弦的长求得的关系式，由此确定AB选项的正确性，根据轨迹方程、四边形的面积等知识确定CD选项的正确性.【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，因为圆的圆心为，半径为2，且公共弦AB的长为，则到直线的距离为1，所以，解得，所以直线AB的方程为，故A，B正确；由圆的性质可知直线垂直平分线段AB，所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点的坐标为，则，即，故C错误；易得四边形为菱形，且，，则四边形的面积为，故D错误．故选：AB11．【答案】AC【分析】根据圆锥的侧面积公式即可判断A；先求出的范围，再根据三角形的面积公式即可判断B；易得当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，由此即可判断C；将、沿AB展开至同一个平面，结合图形即可判断D.【详解】圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，故A正确；如图，平面为圆锥的轴截面，为底面圆心，则，，，，，设，则，故B不正确；根据圆锥的结构特征可知，点在平面上的投影在上，又为定值，则当点到直线的距离最大时，直线SB与平面SAC所成角的最大，所以当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，由知，此时B到平面SAC距离为，又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为，故C正确；当B是弧AC的中点时，，此时为等腰三角形，为等腰直角三角形，将、沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，取AB的中点D，连接SC、SD，则，，，，，当且仅当S，F，C三点共线时等号成立，故D错误．故选：AC．12．【答案】ACD【分析】由抛物线的几何性质求出的值，可得出抛物线的方程，设、，分析可知为的中点，利用点差法可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出两切线的方程，联立两切线的方程，求出点的坐标，逐项判断可得出合适的选项.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，设、，由可知为的中点，所以，且，，由可得，所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，联立可得，所以，，对函数求导可得，所以，切线的方程为，即，同理可知，切线的方程为，联立可得，即点，易知抛物线的焦点为，所以，，A对；因为直线过点，所以，，B错；因为，，所以，，所以，故C正确；因为，且为的中点，所以，，因此，以为直径的圆过点，故D正确.故选：ACD．13．【答案】945【分析】根据所有项的系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数.【详解】令，则，解得，故展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中的系数为．故答案为：14．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则，令，解得，则数列的最大项为，所以该数列最大项和最小项之和为．故答案为：196.15．【答案】【分析】作图，根据条件，分析图中的几何关系求解.【详解】取AB的中点M，则，，，，是等腰三角形，，设，由双曲线的定义得，，，在中，，，．在中，，解得，则双曲线C的焦距为；，的面积为；故答案为：①，②.16．【答案】【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数a的取值范围.【详解】设，则．当时，恒成立，则函数在上单调递增，，不合题意，舍去；当时，由得．当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，令，易得在上单调递减，，则的解集为，即实数a的取值范围是．故答案为：.17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列；（2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果.【详解】（1）由题意得，，即，故，即，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，，即．数列的前n项和为，数列的前n项和为，故．18．【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】（1）利用正弦定理把化为，再利用余弦定理可得，再由，即可求出，，代入正弦的和角公式可知，从而可判断为直角三角形；（2）由（1）中的，可得，再利用正切的差角公式可得，结合基本不等式求解即可.【详解】（1）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由及正弦定理得：，，，．，，是直角三角形．（2）由（1）知，，，且，，当且仅当，即时取等号，的最大值为．19．【答案】(1)0.64(2)0.4；分布列见解析【分析】（1）利用全概率公式即可求解；（2）先求出X的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率，再列出分布列即可求解.【详解】（1）设“第一天选择‘抖音’平台”，“第一天选择‘快手’平台”，“第二天选择‘抖音’平台”，则，则．（2）由题意得，X的取值为0，1，2，3，且，，，，所以，解得．

故X的分布列为X0123P0.060.340.440.1620．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形全等得到，，得到平面ABCD．（2）建立空间直角坐标系，计算，得到各点坐标，计算平面AQD的法向量为，平面BCF的法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）如图，连接OE，OF，三棱锥和均是棱长为2的正四面体，故，且ABCD为菱形，O为AC、BD中点，所以，所以，所以．因为，故，所以，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD．（2）四边形ABCD是菱形，则，所以OQ，AC，BD两两垂直，以O为原点，为轴，建立空间直角坐标系，如图：中，，，故，故，故，则，故．设平面AQD的法向量为，则，令，则，故．设平面BCF的法向量为，则，令，则，故，所以，所以平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值为．21．【答案】(1)(2)点在定直线上【分析】（1）设点，则，可得出，利用斜率公式结合已知条件可得出，再利用椭圆的短轴长可得出、的