百师联盟(陕西省西安市部分学校)2024届高三上学期开学摸底联考理科数学试题(全国卷)

2023-2024学年陕西省西安市部分学校百师联盟高三（上）开学联考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，，则A∩B＝（）A．（1） B．{3，4） C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}2．（5分）已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．1 B．i C． D．3．（5分）已知cosα+，则＝（）A． B． C． D．4．（5分）函数（e为自然对数的底数）在[﹣2，2]的大致图象是（）A． B． C． D．5．（5分）已知数列{an}和{bn}均为等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，若为定值，S5＝45，b3＝6，b7＝14，则a5＝（）A．15 B．56 C．72 D．1046．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在对角线BC1上移动，则三棱锥M﹣AB1D1的体积为（）A． B．8 C． D．47．（5分）已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．（多选）8．（5分）已知实数m，n满足0＜m＜，1＜n＜2，则下列关系中正确的是（）A．mn＜nm B．sinm＜sin C．mn2＞1 D．logmn＜lognm9．（5分）某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（）A． B． C． D．10．（5分）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化，已知a8＝192，则a5＝（）A．324 B．297 C．256 D．16811．（5分）已知随机变量ξi服从两点分布，且P（ξi＝1）＝pi（i＝1，2），若，则下列判断正确的是（）A．E（ξ2）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＞E（ξ2） C．E（ξ1）＜D（ξ1） D．D（ξ1）＞D（ξ2）12．（5分）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣（2a+1）f（x）+a2+a＝0有6个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，2） C．[0，1） D．（0，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知t为实数，＝（2，t），＝（3，0），则向量在向量方向上的投影向量为．14．（5分）已知的展开式中的常数项为（用数字作答）．15．（5分）已知双曲线E的一个焦点为F，点F到双曲线E的一条渐近线的距离为1，则双曲线E的标准方程是16．（5分）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA+BC＝4，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会．在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1，2，3，5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为ξ，η，若|ξ﹣η|为奇数即为中奖．（1）求某顾客甲获奖的概率；（2）求随机变量X＝|ξ﹣η|的分布列与数学期望E（X）．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，AB＝，PB＝BC＝2，点Q为PC的中点．（1）求证：平面ABQ⊥平面PAC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19．（12分）如图，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC外一点D（D与△ABC在同一平面内）满足∠BAC＝∠DAC，AB＝CD＝2，sin∠ACB+cos∠ACB＝．（1）求B；（2）若△ABC的面积为2，求线段AD的长．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣mxlnx+1，m∈R且m≠0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥x恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点P（2，1），Q（0，1），且|PF|＝|QF|．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若斜率存在的直线l过点P且交抛物线C于M，N两点，若直线MF，NF交抛物线于A，B两点（M、N与A、B不重合），求证：直线AB过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，射线l的方程为，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求射线l和曲线C的极坐标方程；（2）若射线l与曲线C交于点P，将射线OP绕极点按逆时针方向旋转交C于点Q，求△POQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣2|+|2x+a|．（1）当a＝4时，求不等式f（x）≥26的解集；（2）若a＞0，b＞0，f（x）的最小值为m，且m+b＝6，求证：．

2023-2024学年陕西省西安市部分学校百师联盟高三（上）开学联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，，则A∩B＝（）A．（1） B．{3，4） C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】求出集合A，B，由交集的运算能求出结果．【解答】解：因为＝{x|x＜0或x≥2}，又A＝{1，2，3，4}，由交集的运算可知：A∩B＝{2，3，4}．故选：C．2．（5分）已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．1 B．i C． D．【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】A【分析】通过复数运算公式即可求解．【解答】解：，则．故选：A．3．（5分）已知cosα+，则＝（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】B【分析】利用两角差余弦公式的逆用即可得解．【解答】解：因为cosα+，所以．故选：B．4．（5分）函数（e为自然对数的底数）在[﹣2，2]的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，再根据f（2）的正负即可得选项．【解答】解：由题知f（x）的定义域为R，，则f（x）为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除A、C，又，B项符合．故选：B．5．（5分）已知数列{an}和{bn}均为等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，若为定值，S5＝45，b3＝6，b7＝14，则a5＝（）A．15 B．56 C．72 D．104【考点】等差数列的前n项和．【答案】A【分析】先根据等差数列的前n项和公式及等差中项的性质计算出a3＝9，再根据题干已知条件计算出a7的值，最后根据等差中项的性质即可计算出a5的值．【解答】解：由题意，可得S5＝5a3＝45，解得a3＝9，∵为定值，∴，则a7＝•b7＝×14＝21，∴＝＝15．故选：A．6．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在对角线BC1上移动，则三棱锥M﹣AB1D1的体积为（）A． B．8 C． D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】C【分析】先转化三棱锥的顶点，再根据三棱锥的体积公式，计算即可求解．【解答】解：∵在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知BC1∥AD1，∴M到平面AB1D1的距离等于C1到平面AB1D1的距离，∴三棱锥M﹣AB1D1的体积为：＝＝＝＝．故选：C．7．（5分）已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的性质．【答案】B【分析】利用焦点在y轴上可求t的范围，进而由t﹣4﹣（10﹣t）＝4，可求t．【解答】解：由题得t﹣4＞10﹣t＞0，可得7＜t＜10，因为焦距为4，所以t﹣4﹣（10﹣t）＝4，解得t＝9，所以椭圆的离心率为＝．故选：B．（多选）8．（5分）已知实数m，n满足0＜m＜，1＜n＜2，则下列关系中正确的是（）A．mn＜nm B．sinm＜sin C．mn2＞1 D．logmn＜lognm【考点】不等关系与不等式；对数值大小的比较；三角函数线．【答案】AB【分析】根据已知结合单调性计算指数式，对数式及三角函数值，比较各个选项即可．【解答】解：由题意知，选项A：mn＜1，nm＞1，所以mn＜nm，A正确；选项B：，所以，B正确；选项C：取，，则mn2＝＝＜1，C错误：选项D：2，1，，，即logmn＞lognm，D错误．故选：AB．9．（5分）某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】A【分析】先分堆再分配，结合分步乘法计数原理求解．【解答】解：先将四位同学先分为2，2或3，1两堆，共有种分堆方法，再从4种饮品中选出2种，分配给两堆人，故共有种方法，而四位同学到店每人购买一杯饮品，共有44种方法，所以恰有两种饮品没人购买的概率为．故选：A．10．（5分）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化，已知a8＝192，则a5＝（）A．324 B．297 C．256 D．168【考点】数列的应用；归纳推理．【答案】A【分析】根据题意，分析可得a5（1﹣）（1+）（1﹣）＝a8，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得a5（1﹣）（1+）（1﹣）＝a8，而a8＝192，解得：a5＝324．故选：A．11．（5分）已知随机变量ξi服从两点分布，且P（ξi＝1）＝pi（i＝1，2），若，则下列判断正确的是（）A．E（ξ2）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＞E（ξ2） C．E（ξ1）＜D（ξ1） D．D（ξ1）＞D（ξ2）【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量的期望与方差．【答案】D【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案．【解答】解：∵E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，∴E（ξ1）＜E（ξ2），∵D（ξ1）＝p1（1﹣p1），D（ξ2）＝p2（1﹣p2），二次函数y＝x（1﹣x）在区间上单调递减，∴E（ξ2）＞D（ξ2），E（ξ1）＞D（ξ1），且D（ξ1）＞D（ξ2）．故选：D．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣（2a+1）f（x）+a2+a＝0有6个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，2） C．[0，1） D．（0，1）【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】D【分析】利用导数研究x＜0时f（x）的单调性，画出f（x）的大致图象，根据图象以及“6个不同的实根”列不等式，由此求得a的取值范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x3﹣3x，此时f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（﹣1）＝2，f（0）＝﹣1，作出f（x）的图象，如图所示，f2（x）﹣（2a+1）f（x）+a2+a＝（f（x）﹣a）（f（x）﹣a﹣1）＝0，即f（x）＝a与f（x）＝a+1共六个不等实根，由图可知f（x）＝2时，x＝﹣1或x＝2，即f（x）＝2有两个根，若使f（x）＝a与f（x）＝a+1共六个不等实根，只需满足，即0＜a＜1．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知t为实数，＝（2，t），＝（3，0），则向量在向量方向上的投影向量为（2，0）．【考点】投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（2，0）．【分析】先由平面向量的数量积求，再由平面向量的投影向量的定义即可求得．【解答】解：由题可得，则向量在向量方向上的投影向量为＝．故答案为：（2，0）．14．（5分）已知的展开式中的常数项为240（用数字作答）．【考点】二项式定理．【答案】240．【分析】根据二项式定理可解．【解答】解：根据题意，知的展开式的通项公式为Tk+1＝•（x2）k＝26﹣k••x3k﹣6，k＝0，1…，6，当3k﹣6＝0时，即k＝2时，为常数项，此时．故答案为：240．15．（5分）已知双曲线E的一个焦点为F，点F到双曲线E的一条渐近线的距离为1，则双曲线E的标准方程是或【考点】双曲线的标准方程；双曲线的性质．【答案】或3y2﹣x2＝1，【分析】由已知对焦点位置进行分类讨论，然后结合双曲线的性质可求．【解答】解：当焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，点F到双曲线E的一条渐近线的距离为1，即＝，即，所以此时双曲线E的标准方程为；当焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为y＝，点F到双曲线E的一条渐近线的距离为1，＝，即，所以此时双曲线E的标准方程为3y2﹣x2＝1，综上，双曲线E的标准方程为或3y2﹣x2＝1，．故答案为：或3y2﹣x2＝1，16．（5分）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA+BC＝4，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积的最小值为8π．【考点】球的体积和表面积．【答案】8π．【分析】将三棱锥补成直三棱柱，根据题意结合二次函数的性质求出球半径的最小值，进而求解结论．【解答】解：将三棱锥补成直三棱柱，设点D1，D为上下底面的外心，点O为直棱柱的外接球的球心，则O为DD1的中点，点D为BC的中点，AD为底面外接圆的半径，设PA＝x，则BC＝4﹣x，可得，AD＝，故外接球半径R＝AO＝＝＝＝，当x＝2时，R有最小值为，此时球O的表面积为：4πR2＝8π．故答案为：8π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会．在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1，2，3，5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为ξ，η，若|ξ﹣η|为奇数即为中奖．（1）求某顾客甲获奖的概率；（2）求随机变量X＝|ξ﹣η|的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题意可解，（2）根据离散型随机变量的相关知识可解．【解答】解：（1）设事件A：某顾客甲获奖，即|ξ﹣η|为奇数，则，所以某顾客甲获奖的概率为，（2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，所以，，，，所以随机变量X的分布列为：X1234P所以．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，AB＝，PB＝BC＝2，点Q为PC的中点．（1）求证：平面ABQ⊥平面PAC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（1）见证明过程；（2）．【分析】（1）利用面面垂直与线面垂直的性质定理及判定定理可得BQ⊥平面PAC，进而证明结论．（2）作PH⊥AB于点H，可得PH⊥平面ABCD，利用勾股定理、等积法可得PA，PH，AH．如图以A点为原点，AD，AB所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出结论．【解答】（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴BC⊥平面PAB，又∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP．又∵PA⊥PB，BC∩BP＝B，BC，BP⊂平面BCP，∴AP⊥平面BCP，BQ⊂平面BCP，即AP⊥BQ．在△BCP中，PB＝BC，Q为PC的中点，∴BQ⊥PC，又AP∩PC＝P，AP，PC⊂平面PAC，∴BQ⊥平面PAC，又BQ⊂平面ABQ，∴平面ABQ⊥平面PAC．（2）解：作PH⊥AB于点H，易知PH⊥平面ABCD，在Rt△PAB中，，则，．如图以A点为原点，AD，AB所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B，，D（2，0，0），，，＝，由（1）知BQ⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量为，设平面PCD的一个法向量为＝（x，y，z），•＝•＝0，2x+y﹣z＝﹣y＝0，取z＝，得＝（1，0，），cos＜，＞＝＝＝，由题可知二面角为锐角，所以二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．19．（12分）如图，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC外一点D（D与△ABC在同一平面内）满足∠BAC＝∠DAC，AB＝CD＝2，sin∠ACB+cos∠ACB＝．（1）求B；（2）若△ABC的面积为2，求线段AD的长．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）AD＝4．【分析】（1）利用正弦定理得，即C，即，则sin（B﹣）＝，即，求解即可得出答案；（2）利用面积公式可得a＝2，结合余弦定理可得AC＝2，利用余弦定理，求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理得，即sinBcosC+sinBsinC＝sinC+sinA＝sinC+sin[π﹣（B+C）]＝2sinC+sin（B+C）＝2sinC+（sinBcosC+cosBsinC），∴C，又C∈（0，π），sinC＞0，则，即，∴sin（B﹣）＝，即，∵B∈（0，π），即，∴，解得；（2）∵△ABC的面积S＝2，∴，即，解得a＝2，由余弦定理得，∴，∵AC平分∠BAD，∴由余弦定理得，∴AD＝4．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣mxlnx+1，m∈R且m≠0．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥x恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）x﹣y+1＝0；（2）．【分析】（1）将m＝1代入函数解析式，求导，利用导数的几何意义即可得到切线方程；（2）问题等价于在（0，+∞）上恒成立，令，对函数g（x）求导可得，，且，令，利用导数分析可得，进而得到答案．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝x2﹣xlnx+1，则f′（x）＝2x﹣lnx﹣1，所以f′（1）＝1，又f（1）＝2，则切线方程为y﹣2＝x﹣1，化简得x﹣y+1＝0；（2）由，可得在（0，+∞）上恒成立，令，则，对于y＝x2﹣mx﹣1，Δ＝m2+4＞0，故其必有两个零点，且两个零点的积为﹣1，则两个零点一正一负，设其正零点为x0∈（0，+∞），则，即，且在（0，x0）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（x0，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x0）≥0，即，令，则，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又，故，显然函数在上是关于x0的单调递增函数，则，所以实数m的取值范围为．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点P（2，1），Q（0，1），且|PF|＝|QF|．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若斜率存在的直线l过点P且交抛物线C于M，N两点，若直线MF，NF交抛物线于A，B两点（M、N与A、B不重合），求证：直线AB过定点．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．【答案】（1）y2＝4x；（2）证明过程见解答．【分析】（1）设，根据题意可建立关于p的方程，求得p的值，即可得到抛物线方程；（2）若直线l不过点F，设，，计算可知直线AB的方程为4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，结合y1y3＝y2y4＝﹣4，y1+y2﹣y1y2＝8，可得（x+y）y1y2+8y+4＝0，进而得到定点坐标；当直线l过点F，易知也过该定点，由此得证．【解答】解：（1）由题设，则，，又|PF|＝|QF|，故，整理得2p﹣4＝0，解得p＝2．所以抛物线C的标准方程为y2＝4x；（2）证明：若直线l不过点F，如图，设，，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，则直线MN的斜率，所以直线MN的方程为，即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，由直线MN过定点（2，1），可得y1+y2﹣y1y2＝8，同理直线AM的方程为4x﹣（y1+y3）y+y1y3＝0，AM过焦点F（1，0），可得y1y3＝﹣4，BN的方程4x﹣（y2+y4）y+y2y4＝0，BN过焦点F（1，0），可得y2y4＝﹣4，直线AB的方程为4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，由y1y3＝y2y4＝﹣4，得，所以4y1y2x+4（y1+y2）y+16＝0，即y1y2x+（y1+y2）