2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第五章5.1平面向量的概念及线性运算（附答案）

§5.1平面向量的概念及线性运算分值：100分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.化简AB+BD-AC-CD等于()A.AD B.0 C.BC D.DA2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，OA=a+b，OB=2a-b，OC=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于()A.0 B.1 C.2 D.33.(2024·西安模拟)已知点P是△ABC的重心，则AP等于()A.16AB+16AC C.23AC+13BC 4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且OP=OA+AB|AB|，则A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上5.(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为()A.2 B.4 C.3 D.1二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列说法正确的是()A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件B.若AB与BC共线，则A，B，C三点在同一条直线上C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且BC=3EC，F为AE的中点，则()A.BC=-12AB+B.AF=13ABC.BF=-23AB+D.CF=16AB三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知O为△ABC内一点，且2AO=OB+OC，AD=tAC，若B，O，D三点共线，则实数t的值为10.已知在四边形ABCD中，AB=12DC，且|AD|=|BC|，则四边形ABCD的形状是四、解答题(共27分)11.(13分)已知a，b不共线，OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，OE=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.12.(14分)如图所示，在▱ABCD中，BM=23BC，AN=14AB，(1)试用向量a，b来表示DN，AM；(6(2)AM交DN于点O，若AO=λOM，求实数λ的值.(8分)13题6分，14~16题每小题5分，共21分13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且AP=AB+λAF，λ∈R，则下列说法正确的是()A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得|PC|>|PA|C.∠CPD的取值范围是π6，π3 D.|PC|的取值范围是[14.在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.设AM=1mAB，AN=1nAC，则m2+nA.3 B.1 C.316 D.15.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BE=EC，CD=2CF，则|AE+AF|=16.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是.

答案精析1.B2.D3.D4.D[由OP=OA+AB|AB|，得OP-OA=AB|AB所以点P在射线AB上.]5.A[设AB的中点为M，因为DA+DB+12DC=所以CD=2(DA+DB)，所以CD=4DM所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，所以S△ABCS△所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.]6.B[方法一设OA=a，OB=b，因为|a-b|=3即|OA-OB|=|BA|=3，即|AB|=3，所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，又a是单位向量，则|OA|=1，故|OB|的最大值为|OA|+|AB|=1+3=4，即|b|的最大值为4.方法二因为b=a-(a-b)，所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，所以|b|的最大值为4.]7.ABC[根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ=μ=0时，a与b不一定共线，故D错误.]8.ABC[∵AB∥CD，AB=2DC，∴BC=BA+AD+DC=-AB+AD+12AB=-12AB+∵BC=3EC∴BE=23BC=-1∴AE=AB+BE=AB+-=23AB又F为AE的中点，∴AF=12AE=13AB+∴BF=BA+AF=-AB+13AB+13AD=-23∴CF=BF-BC=-23AB+1=-16AB-23AD，9.1解析设线段BC的中点为M，则OB+OC=2OM.因为2AO=OB+OC所以AO=OM则AO=12AM=14=14AB+1t由B，O，D三点共线，得14+14t=1，解得t10.等腰梯形解析由AB=1可得AB∥CD且AB=12DC所以四边形ABCD是梯形，又因为|AD|=|BC|，所以梯形ABCD的两个腰相等，所以四边形ABCD是等腰梯形.11.解存在.由题设知，CD=d-c=2b-3a，CE=e-c=(t-3)a+tb，又a，b不共线，则CD≠0，C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE=kCD即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a，b不共线，所以t-3+3k=0，2故存在实数t=65，使得C，D，E12.解(1)因为DN=AN-ADAN=1所以DN=14AB-AD=14a因为AM=AB+BM，BM所以AM=AB+23BC=a+2(2)因为D，O，N三点共线，所以存在实数k，使得DO=kDN=14ka-kb所以AO=AD+DO=b+14ka-kb=14ka+(1-k)b因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，使得AO=mAM=ma+23mb，由①②得14k=m所以AO=314AM即λ=31113.AC[对于A，由AP=AB+λAF，λ∈R可得AP-AB=λAF，即BP=λAF，可得BP∥AF，因此，点BE上，所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确；对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故|PC|=|PA|，故B错误；对于C，根据图形的对称性，当点P为BE中点时，∠CPD取得最大值π3，当点P与B或E重合时∠CPD取得最小值π6，即∠CPD的取值范围是对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d=32，又当PC⊥BE时，|PC|有最小值32，故14.D[由题可知，m>0，n>0，因为AM=1mAB，AN=所以AB=mAM，AC=nAN，因为BO=2OC，所以AO-AB=2(AC-AO)，所以AO=13AB+23AC=13mAM因为M，O，N三点共线，所以13m+23n则n=3-m2>0，则0<m所以m2+n=m2+3-m2=m≥2316，当且仅当m=1所以m2+n的最小值为2316.15.3解析因为BE=EC所以AE=AB+BE=AB+1又因为CD=2CF所以AF=AD+DF=12AB所以|AE+AF|=32|AB+AD=32|AC|又因为∠BAD=120°，所以∠ADC=60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC=AD=2，所以