2026年大一轮复习数学练习第二章2.1函数的概念及其表示（附答案）

§2.1函数的概念及其表示课标要求1.了解函数的含义.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.1.函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数.(×)(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(×)(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.(√)(4)函数f(x)＝x-1,x≥0,x2,x2.以下图形中,不是函数图象的是()答案A解析根据函数的定义,对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象.3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是()A.y＝x＋33-xB.y＝x2与y＝(x－1)2C.y＝x2与y＝D.y＝1与y＝x0答案BCD解析对于A选项,y＝x＋33-x的定义域是[－3,3),y＝x＋33-x的定义域是[－3,3)对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数；对于C选项,y＝x2＝|x|,所以两函数的对应关系不同,对于D选项,y＝1的定义域是R,y＝x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.4.已知函数f(x)＝x2,x≤1,log4x,x>1,答案1解析因为f(－2)＝(－2)2＝4,所以f(f(－2))＝f(4)＝log44＝1.防范四个易错点(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化.(2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.(4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错.题型一函数的概念例1(1)(多选)下列选项中正确的是()A.函数f(x)＝1x＋1－x的定义域为[B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点C.函数y＝x2-1x＋1与函数yD.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同答案ABD解析对于A,由题意x＋1≠0,x≥0,对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,B正确；对于C,函数y＝x2-1x＋1的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),函数y＝x－1的定义域为R对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,D正确.(2)若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为.

答案1解析若函数f(x)的定义域为(1,3),则在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈12思维升华函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.跟踪训练1(1)函数f(x)＝1x-2＋ln(x－1)的定义域为(A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞)C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞)答案B解析因为f(x)＝1x-2＋ln(x－1所以要使函数有意义,则x解得x>1且x≠2,所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,＋∞).(2)(多选)下列命题中是假命题的是()A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线B.f(x)＝x-3C.若函数f(x)的定义域为(－1,2),则函数f(x＋1)的定义域为(0,3)D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1答案ABC解析对于A,因为函数y＝2x(x∈N)的定义域为N,所以其图象是由离散的点(整点,横坐标和纵坐标都是整数)组成的,A错误；对于B,因为要使2-x与x-3有意义,则2-x≥0,x-3≥0,不等式组无解,所以由函数的定义可得f对于C,由f(x)的定义域为(－1,2)可得－1<x＋1<2,即－2<x<1,故f(x＋1)的定义域为(－2,1),C错误；对于D,两函数的定义域都是(－∞,0)∪(0,＋∞),且对应关系相同,故这两个函数是同一个函数,D正确.题型二函数的解析式例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x,求f(x)的解析式；(2)已知f

x2＋1x2＝x4＋1(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式；(4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式.解(1)(换元法)设1－sinx＝t,t∈[0,2],则sinx＝1－t,∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x,∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).(2)(配凑法)f

x2＋1x2＝x又x2＋1x2≥2x2当且仅当x2＝1x2,即x＝设t＝x2＋1x2,则t≥2,∴f(t)＝t2－2(t≥∴f(x)＝x2－2(x≥2).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数,可设f(x)＝ax＋b(a≠0),∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17,即ax＋(5a＋b)＝2x＋17,∴a＝2,∴f(x)＝2x＋7(x∈R).(4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2,①∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2,②由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6,∴f(x)＝3x－2(x∈R).思维升华函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.跟踪训练2(多选)下列命题中正确的有()A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞)C.若f

x-1x＝x3－1x3,则函数f(x)的解析式为f(xD.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f

1x＝3x,则f(x)＝2x答案BCD解析对于A,设f(x)＝kx＋b,则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b,因为f(f(x))＝4x＋3,所以k解得k＝2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3,A错误；对于B,令t＝3x,则x＝log3t(t>0),则f(t)＝(log3t)2＋4log3故函数的定义域为(0,＋∞),B正确；对于C,fx-1x＝x且x－1x的取值范围是R所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C正确；对于D,由f(x)＋2f

1x＝3得f

1x＋2f(x)联立解得f(x)＝2x－x,D正确题型三分段函数例3(1)(多选)已知函数f(x)＝x2,-2≤x<1,-x＋2,A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(－∞,4]C.若f(x)＝2,则x的值是－2D.f(x)<1的解集为(－1,1)答案BC解析函数f(x)＝x2,-2≤x<1,-x＋2,x≥1当－2≤x<1时,f(x)＝x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)＝－x＋2,值域为(－∞,1],故f(x)的值域为(－∞,4],故B正确；当x≥1时,令f(x)＝－x＋2＝2,无解,当－2≤x<1时,令f(x)＝x2＝2,解得x＝－2,故C当－2≤x<1时,令f(x)＝x2<1,解得x∈(－1,1),当x≥1时,令f(x)＝－x＋2<1,解得x∈(1,＋∞),故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1,＋∞),故D错误.(2)定义max{a,b}＝a,a≥b,b,b>a,设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,A.1 B.32 C.74 D答案D解析令f(x)≥g(x),即x＋1≥(x＋1)2,解得－1≤x≤0；令f(x)<g(x),即x＋1<(x＋1)2,解得x<－1或x>0,所以F(x)＝max{f(x),g(x)}＝(F(x)的图象如图所示,又F(0)＝F(－2)＝1,F(－1)＝0,要使函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],当n＝0时,－2≤m≤－1；当m＝－2时,－1≤n≤0,则当n＝0,m＝－2时,n－m取得最大值2.思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝2则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当f(x)＝2时,若x≤0,则有2－x＝2,解得x＝－1；若x>0,则有lnx＝2,解得x＝e2.即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2,不一定能推出x＝－1,故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分条件；反之,当x＝－1时,代入解析式可得f(－1)＝2,即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要条件,综上,“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分条件.(2)(多选)(2024·朝阳模拟)函数D(x)＝1,x∈Q,0,x∈∁RA.D(D(2))＝D(D(2))B.D(x)的值域与函数f(x)＝x＋C.D(x)≠D(－x)D.对任意实数x,都有D(x＋1)＝D(x)答案ABD解析对于A,根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1,D(D(2))＝D(0)＝1,所以A正确；对于B,易知D(x)的值域为{0,1},函数f(x)＝x＋x2x的定义域为(－∞,0)∪(0,当x∈(－∞,0)时,f(x)＝x＋x2x＝0；当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝x＋x2x＝1,即函数f(x)＝x＋x对于C,若x∈Q,则－x∈Q,则D(x)＝D(－x)＝1,若x∈∁RQ,则－x∈∁RQ,则D(x)＝D(－x)＝0,综上可得D(x)＝D(－x),所以C错误；对于D,当x∈Q时,x＋1∈Q,此时D(x＋1)＝D(x)＝1；当x∈∁RQ时,x＋1∈∁RQ,此时D(x＋1)＝D(x)＝0,所以D正确.课时精练[分值：95分]一、单项选择题(每小题5分,共40分)1.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝4-xx的定义域为A,函数g(x)＝log2x,x∈12,4的值域为B,则A∩B等于A.(0,2) B.(0,2]C.(－∞,4] D.(－1,4]答案B解析f(x)＝4-则4-xx≥0,∴x(x－4)≤0且x≠可得A＝{x|0<x≤4},g(x)的值域B＝{x|－1≤x≤2},∴A∩B＝{x|0<x≤2}.2.已知f(x)＝log2x,x>0,2sinA.1 B.2 C.22 D.4答案B解析由题意,得f

-5π4＝2sin-5π4＋3＝2sinπ4＋3＝故f

f-5π4＝f(4)＝log23.已知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,则m等于()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析由题意知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,用x－1代换x,则f(x)＝2(x－1),即f(m)＝2(m－1)＝4,∴m＝3.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()答案A解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始水的高度增加的由快变慢,中间增加的最慢,最后增加的由慢变快,由图可知选项A符合.5.记无理数e＝2.7182…5904523536…小数点后第x位上的数字是y,则y是x的函数,记作y＝f(x),定义域为M,值域为N,则下列说法正确的是()A.f(4)＝8B.x不是y的函数C.N⊆MD.y＝f(x)是周期函数答案B解析由题意可得M＝N*,N＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则N不是M的子集,C不正确；无理数e小数点后第4位上的数字为2,故f(4)＝2,A不正确；当y＝2时,对应的x的值不是唯一确定的,根据函数的定义可知x不是y的函数,B正确；由于e为无理数,所以y＝f(x)不是周期函数,D不正确.6.已知f(x)＝-x2＋2x,x≥0,x2＋2x,x<0,实数a满足A.(－∞,－2)∪(0,2)B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)C.(－2,0)∪(0,2)D.(－2,0)∪(2,＋∞)答案D解析由题意可知,a≠0.当a<0时,f(a)＝a2＋2a,f(－a)＝－a2－2a,所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a,即a2＋2a<0,解得－2<a<0,当a>0时,f(a)＝－a2＋2a,f(－a)＝a2－2a,所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a,即a2－2a>0,解得a>2,所以a的取值范围是(－2,0)∪(2,＋∞).7.设函数f(x)＝x,0<x<1,2(x-1),x≥1,若f(a)＝f(a＋1)A.14 B.12 C.2 D答案D解析易得f(x)在(0,1)和[1,＋∞)上单调递增,∴0<a<1,∴f(a)＝a,∴f(a＋1)＝2a由f(a)＝f(a＋1)得a＝2a,解得a＝14或a＝0(舍去)则f

1a＝f(4)＝8.设函数f(x)＝x2＋2x,x≥0,-x2＋2x,x<0,A.[2－1,＋∞) B.(－∞,－2－1]C.[－3,1] D.[1,＋∞)答案A解析因为f(x)＝x令f(a)＝t,则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3,当t≥0时,t2＋2t≥3,解得t≥1(负值舍去),即f(a)≥1；当t<0时,－t2＋2t≥3,即t2－2t＋3≤0,而t2－2t＋3＝(t－1)2＋2>0,故上述不等式无解,综上,f(a)≥1,若a≥0,则a2＋2a≥1,解得a≥2－1(负值舍去)；若a<0,则－a2＋2a≥1,解得a＝1(舍去),综上,a≥2－1.二、多项选择题(每小题6分,共18分)9.下列说法正确的是()A.f(x)＝|x|,φ(t)＝t2B.y＝1＋x·1-x与yC.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,2]D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素答案ABD解析φ(t)＝t2＝|t|,故f(x)与φ(t)有相同的定义域及对应关系,故表示同一个函数,故Ay＝1＋x·1-x＝(1＋x)(1-x)＝1-x2的定义域需满足1＋x≥0,1-x≥0,解得－1≤x≤1,y＝1-x函数f(x)的定义域为[0,2],由0≤2x≤2,得0≤x≤1,则函数f(2x)的定义域为[0,1],故C错误；由函数的定义知,若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只有唯一一个元素与之对应,故D正确.10.已知函数f(x＋1)＝x＋2x,则(A.f(x)＝x2－1(x∈R)B.f(x)的最小值为－1C.f(2x－3)的定义域为[2,＋∞)D.f1x的值域为[0,＋∞答案CD解析依题意,f(x＋1)＝(x)2＋2x＝(x＋1)2－1,则f(x)＝x当x≥1时,f(x)≥0,当且仅当x＝1时取等号,B错误；在f(2x－3)中,2x－3≥1,解得x≥2,因此f(2x－3)的定义域为[2,＋∞),C正确；显然f

1x＝1x2－1,0<x≤1,于是1x2∈[1,＋∞),因此f

1x的值域为11.(2024·南阳模拟)黎曼函数(Riemannfunction)是一个特殊的函数,由德国数学家黎曼发现并提出,其基本定义是：R(x)＝1q,x＝pq,p,q∈A.R6B.黎曼函数的定义域为[0,1]C.黎曼函数的最大值为1D.若f(x)是奇函数,且是周期为2的周期函数,当x∈[0,1]时,f(x)＝R(x),则f

865＋f(32＋6)答案BC解析R68＝R34因为p,q∈N*,pq是既约真分数,x＝pq,0,1或(0,1)上的无理数,所以黎曼函数的定义域为[0,1又p,q∈N*,pq为既约真分数,所以1q的最大值为因为f(x)是奇函数,并且是以2为周期的周期函数,f

865＝f

18-45＝f

-45＝－f

45＝－15,f(32＋6)＝f(42)＝f(42－6)＝－f(6－42)＝0,所以f

三、填空题(每小题5分,共15分)12.函数f(x)＝2-xlnx的定义域为答案(0,1)∪(1,2]解析要使函数f(x)有意义,则2-x≥0,lnx≠0,x>0,解得故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2].13.(2025·昆明模拟)已知函数f(x-1)＝x＋2,若f(a)＝4,则a＝.答案1解析令x-1＝t,t≥0则x＝t2＋1(t≥0),f(t)＝t2＋3,故f(a)＝a2＋3＝4(a≥0),解得a＝1.14.已知函数f(x)＝2x＋1,x<1,x2,x≥1,则f

f12＝答案4(－1,1)∪(1,＋∞)解析因为f

12＝2×12＋1所以f

f12＝f(2)＝22当a≥1时,f(a)>a⇔a2>a,解得a>1；当a<1时,f(a)>a⇔2a＋1>a,解得－1<a<1,所以不等式的解集为(－1,1)∪(1,＋∞).15，16题每小题6分，17，18题每小题5分，共22分15.(多选)对∀x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]＝3,[0.618]＝0,[－2.71828]＝－3,我们把y＝[x],x∈R叫做取整函数,也称之为高斯(Gaussian)函数.以下关于“高斯函数”的命题,其中是真命题的有()A.∀x∈R,[|x|]＝|[x]|B.∃x,y∈R,[x－y]<[x]－[y]C.∀x,y∈R,若[x]＝[y],则x－y<1D.不等式2[x]2－[x]－3≥0的解集为(－∞,0)∪[2,＋∞)答案BCD解析对于A,[|－2.5|]＝[2.5]＝2,|[－2.5]|＝|－3|＝3,A为假命题；对于B,[2－1.1]＝[0.9]＝0,[2]－[1.1]＝2－1＝1,0<1,B为真命题；对于C,因为[x]＝[y],所以x,y∈[n,n＋1),n∈Z,所以x－y<1,C为真命题；对于D,不等式2[x]2－[x]－3≥0,解得[x]≤－1或[x]≥32,所以不等式的解集为(－∞,0)∪[2,＋∞),D16.(多选)若存在实数M，使得|f(x)-g(x)|≤M在f(x)和g(x)的定义域的交集上恒成立，则称f(x)与g(x)具有“M近似关系”，下列说法正确的是()A.f(x)=2x+1，g(x)=2x具有“2近似关系”B.f(x)=ln2x，g(x)=lnx+2具有“2近似关系”C.f(x)=x-1x+1(x>1)与g(x)=12x(x>1)D.f(x)与g(x)=x-x-1(1≤x≤5)的定义域相同，且具有“1近似关系”，则f(x)的值域包含于[-1，4答案BCD解析对于A项，易知f(x)，g(x)的定义域均为R，因为f(x)-g(x)=2x+1-2x=2x>0，所以不存在实数M，使得|f(x)-g(x)|≤M在R上恒成立，故A错误；对于B项，易知f(x)，g(x)的定义域均为(0，+∞)，因为|f(x)-g(x)|=|ln2x-lnx-2|=|ln2-2|=2-ln2<2在(0，+∞)上恒成立，所以根据定义可知，f(x)=ln2x，g(x)=lnx+2具有“2近似关系”，故B正确；对于C项，因为f(x)=x-1x+1=-当x>1时，x+1>2，0<2x+1所以0<f(x)<1.因为g(x