2025-2026学年湖南省株洲市部分校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省株洲市部分校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合A={y|y=1+}，B={x|x-3≤0}，则A∩B=（）A.{1，2} B.[1，3] C.（2，3） D.（2，+∞）2.命题”∀x∈R，x2+x+2＞0”的否定是（）A.∀x∈R，x2+x+2≤0 B.∃x∈R，x2+x+2＞0

C.∀x∈R，x2+x+2＜0 D.∃x∈R，x2+x+2≤03.1-i的模=（）A. B. C. D.4.已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=300，bsinA=1，则a=（）A. B.1 C.2 D.46.设f（x）=π-x，g（x）=logπx,h（x）=πx，则f（0.3），g（0.3），h（0.3）的大小关系是（）A.g（0.3）＜f（0.3）＜h（0.3） B.f（0.3）＜g（0.3）＜h（0.3）

C.f（0.3）＜h（0.3）＜g（0.3） D.g（0.3）＜h（0.3）＜f（0.3）7.已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（）A. B. C. D.168.如图一个三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，沿平面CDE或平面HIJ分割后，截面中均恰好看不见球体.则球O与整个三棱锥体积之比为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若有一个△ABC，下面说法正确的是（）A.在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰直角三角形

B.在△ABC中，a=x,b=2，∠B=45°，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是

C.在△ABC中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120°

D.在△ABC中，A=60°，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则△ABC的外接圆半径10.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，PA=2AB=2AC=2，，则下列说法正确的是（）A. B.球心O在三棱锥的内部

C.球心O到底面ABC的距离为1 D.球O的表面积为8π11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.f（x）的最小值为1 B.f（x）的最大值为

C.f（x）在（1，+∞）上单调递减 D.f（x）的图象是轴对称图形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如果向量的模分别为5，，则与的夹角为

.13.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若2b2=3a（a+c），则的取值范围为

.14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥内切球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.

（1）求角C的值；

（2）若a=4，求b+c的取值范围.16.(本小题15分)

已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若a=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长.17.(本小题15分)

对于定义在R上的函数f（x），若∃x0∈R，使得f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点.

（1）若f（x）=x2-x+1，求y=f（f（x））的不动点；

（2）对于二次函数f（x）=2x2-（2+a）x+a-1.

（i）当0＜x＜2时，函数g（x）=f（x）+2有唯一的不动点，求实数a的取值范围；

（ii）若函数f（x）有两个不相等的不动点x1，x2，且x1，x2＞0，求的最小值.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点.

（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC；

（2）若E，F分别为线段PB，DC的中点，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥P-AEF的体积.

（3）若图1中，E为PB的中点，F是BC的四等分点，若图2中，E，F分别为PB，DC的中点，求图1中EF和平面ABCD夹角的正弦值与图2中EF和平面ABCD夹角的余弦值之比.19.(本小题17分)

对于定义域为R的函数f（x）以及非空数集S：若对任意x1，x2∈R，当x1-x2∈S时，都有f（x1）-f（x2）∈S，则称f（x）是S关联的.

（1）设f（x）=3x+1，写出符合条件的三个开区间（m,n），使得f（x）是（m,n）关联的；

（2）设f（x）=ax2+bx+1，若存在一个闭区间[m,n]（m＜n）使得f（x）是[m,n]关联的，求f（x）；

（3）证明：f（x）是[1，2]关联的等价于f（x）是[1，2025]关联的.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】arccos

13.【答案】

14.【答案】（32-16）π

15.【答案】C=

（2+2，4）

16.【答案】；

．

17.【答案】x=1

（i）（-∞，-1]∪{1}∪[3，+∞）．

（ii）

18.【答案】证明：由PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，得PA⊥BC，

又底面ABCD为正方形，BC⊥AB，PA∩AB=A，故BC⊥平面PAB．

因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，

又PA=AB，E是PB中点，故AE⊥PB．

PB∩BC=B，因此AE⊥平面PBC，

又AE⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC

19.【答案】（-∞，-1），（1，+∞），（-∞，+∞）

f（x）=bx+1，|b|≤1

证明：先证充分性．若f（x）是[1，2]关联的，则当x1-x2∈[1，2]时，1≤f（x1）-f（x2）≤2．

令x1=x+2，x2=x，则f（x+2）-f（x）≤2．

令x1=x+2，x2=x+1，则f（x+2）-f（x+1）≥1．

于是f（x+1）-f（x）=f（x+2）-f（x）-[f（x+2）-f（x+1）]≤1．

又令x1=x+1，x2=x，得f（x+1）-f（x）≥1．

所以f（x+1）-f（x）=1．

由此可得，对任意整数k，都有f（x+k）-f（x）=k．

下面证明f（x）是[1，2025]关联的．任取x1，x2∈R，且x1-x2∈[1，2025]．

若x1-x2∈[1，2]，由[1，2]关联性，直接有f（x1）-f（x2）∈[1，2]⊆[1，2025]．

若x1-x2∈（2，2025]，则可设x1-x2=t+k，其中t∈[1，2]，k∈N，且1≤k≤2023．

于是f（x1）-f（x2）=f（x2+k+t）-f（x2）=[f（x2+k+t）-f（x2+k）]+[f（x2+k）-f（x2）]．

由t∈[1，2]和[1，2]关联性，得f（x2+k+t）-f（x2+k）∈[1，2]．

又由整数平移关系，得f（x2+k）-f（x2）=k．

所以f（x1）-f（x2）∈[k+1，k+2]⊆[1，2025]．

故f（x）是[1，2025]关联的．

再证必要性．

若f（x）是[1，2025]关联的，则因为1∈[1，2025]，所以对任意整数i=1，2，…，2025，有f（x+i）-f（x+i-1）≥1．

又因为2025∈[1，2025]，所以f（x+2025）-f（x）≤2025．

而f（x+2025）-f（x）=[f（x+1）-f（x）]+[f（x+2）-f（x+1）]+…+[f（x+2025）-f（x+2024）]．

右边共有2025项，每一项都不小于1，故f（x+2025）-f（x）≥2025．

于是f（x+2025）-f（x）=2025，且每一项都等于1，即f（x+1）-f（x）=1．

因此对任意整数k，有f（x+k）-f（x）=k．

任取x1，x2∈R，且x1-x2∈[1，2]．

由于[1，2]⊆[1，2025]，由[1，2025]关联性可得f（x1）-f（x2）≥1．

另一方面，x1+2023-x2=（x1-x2）+2023∈[2024，2025]⊆[1，2025]，

所以f（x1+2023）-f（x2）≤2025