河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月期中考试数学试卷（含答案）

河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版）一、单选题1．若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（

）A．六棱锥 B．五棱柱 C．四棱台 D．圆台2．复数的虚部为（

）A．4 B． C．3 D．3．在中，点满足，点满足，则（

）A． B．C． D．4．已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（

）A． B． C． D．5．已知一个三角形的三条高的长度分别为，，，则该三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．已知，是复数，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（

）A． B． C． D．8．在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，，则，是异面直线B．若，，，则C．若，，则与可能相交D．若，，则10．已知的内角所对的边分别为，，，则（

）A．B．的外接圆面积为C．若，则满足条件的三角形仅有个D．周长的最大值为11．如图，在正四棱台中，，侧面积为，则下列说法正确的是（

）

A．该棱台的体积为B．点到平面的距离为C．直线与所成角的余弦值为D．该棱台的外接球的表面积为三、填空题12．已知单位向量满足，则的夹角为______．13．如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时．14．已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________．四、解答题15．已知复数．(1)若复数为纯虚数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．16．已知平面向量，，且．(1)求在上的投影向量的坐标；(2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．17．如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，．(1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程；(2)求证：平面．18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于．(1)求证：为的中点；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值．19．如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点满足，与交于．(1)求的值；(2)若是锐角三角形，，，求的取值范围；(3)若，的面积为11，求的最小值．

《河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版）》参考答案题号12345678910答案CBADACBDBCAC题号11答案ABD1．C解析：对于A：六棱锥有1个底面+6个侧面，共个面，A错误；对于B：棱柱总面数=侧面数+2个底面，五棱柱有5个侧面+2个底面，共个面，B错误；对于C：棱台总面数=侧面数+2个底面，四棱台有4个侧面+2个底面，共个面，C正确；对于D：圆台有上底面、下底面、侧面共3个面，D错误.2．B解析：，虚部为．3．A解析：已知且，所以，则，故A正确.4．D解析：由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形，所以直观图的面积为.5．A解析：设三角形面积为，三边长对应高分别为，由三角形面积公式可得三边长为：，因为，因此是最大边，对应最大角为，由余弦定理：，由得，即最大角为锐角，因此该三角形是锐角三角形.6．C解析：∵，，即.7．B解析：如图，取的中点，连接，因为，所以，所以即为二面角的平面角，设，则，由，得，所以，则，在中，由余弦定理得，所以，所以，即二面角的正切值为.8．D解析：以为原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，，，则，，，，则，对任意恒成立，又对任意恒成立，则，则，所以的最小值为．9．BC解析：对于A，由，，，可得，异面或平行，错误；对于B，因为，，所以，又，所以，正确；对于C，由，，可得与相交或平行，正确；对于D，由，，可得或相交或，错误.10．AC解析：对于A，由于，结合正弦定理得，在中，有，所以，则有，即，又因为，，所以又因为，所以，故A正确；对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径，则，解得，外接圆面积，故B错误；对于C，已知，，，由余弦定理，代入数据得，化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解，因此满足条件的三角形仅有个，故C正确；对于D，已知，，由余弦定理，代入数据得，化简得，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则，解得，因此周长的最大值为，故D错误.11．ABD解析：对于A，由已知，，如图，于，平面于，由在上，连接，所以正四棱台的侧面积为，所以，又，所以，所以正四棱台的体积为，A正确；对于B，把正四棱台的侧棱延长交于点得正四棱锥，分别是正四棱台上、下底中心（对角线交点），则是棱锥的高（在上），，，因为，所以平面是正四棱锥的中截面，所以，,是等边三角形，，设到平面即平面的距离为，所以，又，,因为，所以，解得，B正确；

对于C，取中点，连接，则与平行且相等，所以是平行四边形，所以，所以是直线与所成角或其补角，，，又，在中，C错；对于D，由正棱台性质知其外接球球心在直线上，是等腰直角三角形，，而（是的一条中位线），即，过的中点，作交直线于点，则，即为外接球球心，，，又，所以，所以，所以，所以，所以外接球表面积为，D正确．12．/解析：由，得，所以，因为，所以，解得，因为，所以．13．/解析：在中，由题意得：海里，海里，因在南偏西，在正东，因此。由余弦定理，，即，故得海里，因甲船速度为30海里/小时，因此甲船到达处所需时间小时。14．解析：由题意在上，取，则由正方体的性质可知平面，又平面，则，则，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，如图设圆弧与交于，，所以，则，则弧长为故点的轨迹长度为.15．(1)(2)解析：（1）由题意可知，因为为纯虚数，则，解得，所以，；（2），因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解得或，即的取值范围是．16．(1)(2)解析：（1）因为，所以，解得，所以，，，，所以在上的投影向量为所以在上的投影向量的坐标为．（2），，因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行，所以，解得，又与不平行，则，所以，所以实数的取值范围为．17．(1)(2)证明：连接，，，因为，分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．因为劣弧的长为，则，因为，则，所以为等边三角形，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．解析：（1）由题意可知该圆锥的表面积，又，,解得，，该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则，则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形，所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为．（2）略18．(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以，因为是的中点，所以为的中点．(2)证明：因为，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，又平面，所以，因为，且，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．(3)解析：（1）略（2）略（3）过点作，垂足为，设中点为，连接，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以为直线与平面所成角．由（2）知平面，又平面，所以，又，所以为二面角的平面角，即，设，在中，由余弦定理得，解得，所以，，，又，所以，所以，即直线与平面所成角的正切值为．19．(1)(2)(3)6．