2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题2 一次与二次方程

2026年中考数学三轮复习考点突破专题2一次与二次方程一、中考中的“一次方程”1．已知关于x的一元一次方程3x-ax+4a=0，当方程的解为x=1时，a的值为.2．解方程组：4x−5y=33．我国古代《算法统宗》里有这样的记载：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多六客，一房八客一房空.”后两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房.若设该店有房客x人，客房y间，则下列二元一次方程组正确的是()A．7y+6=x8(y−1)=x B．C．7y−6=x8y−1=x D．4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A．5x+6y=165x+y=6y+x B．C．6x+5y=166x+y=5y+x D．5．某校九（1）班部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间.如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍.设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（）A．4x=y−26(x−1)=y B．C．4x=y+26(x−1)=y D．6．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．（1）求A、B两种型号智能机器人的单价．（2）该企业现计划用960万元采购A型和B型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．二、中考中的“一元二次方程”7．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x+2y−1=0 B．x−5=0 C．2x+6=0 D．8．若x=1是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，则A．−2 B．4 C．−4 D．29．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是()A．x2=0 B．x2+1=0 C．10．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200(1+x)2=242C．200(1+2x)=242 D．200(1−2x)=24211．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．1441−x2=121C．1441−2x2=12112．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步?”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步?”设长为x步，则下列方程正确的是（）A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=86413．若m，n是方程x2+5x−3=0的两个根，则m14．若关于x的一元二次方程x2−3x−c=0有实数根，则最小整数c=15．若m是方程x2−x−1=0的较大根，求16．若a，b是方程x2−3x−1=0的两个根，则a217．使得方程x2+3x+c=0有实数根的最大的整数c=18．解方程：3(x+4)=(x+4)(x+1)．19．在用配方法解方程x2第一步：移项，得x2第二步：配方，得x2即(x−2)2第三步：两边开平方，得x−2=±5第四步：所以，x请回答：（1）小颖的解答过程从第步开始出现错误；（2）请给出这道题的正确解答过程．20．解方程：小江同学：解一元二次方程x2（1）你认为x1（2）请选择合适的方法解原方程．21．小李与小王两位同学解方程2(小李：解：两边同除以(x−22=x−2，则x=4。小王：解：移项，得2(提取公因式，得(x−2则x−2=0或2−x−2=0，解得x1你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。22．已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．23．利用以下素材解决问题．

莲藕定价问题素材12025年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达2.33米、9节9孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为5元/份，当售价为25元/份时，平均每天可以卖出素材2经市场调研发现：售价每上涨1元/份，每天要少卖出5份；售价每下降1元/份，每天可多卖出10份．任务1若涨价2元/份，则平均每天的销售量为份；若设降价x元/份，则平均每天的销售量为份（用含x的代数式表示）．任务2若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到2415元？任务3“元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？

答案解析部分1．【答案】-1【解析】【解答】解：把x=1代入原方程，得：3-a+4a=0，

解得：a=-1故答案为：-1.【分析】首先根据方程的解的意义，可得出3-a+4a=0，进而解关于a的方程，即可求得a的值。2．【答案】解：4x−5y=3①3x−y=5②

①－②×5得4x-15x=3-25，

解得x=2，

把x=2代入①得8-5y=3，

解得y=1，

∴方程组的解为x=2【解析】【分析】先根据①－②×5消去y，求出x的值，然后代入①求出y的值解答即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，根据题意得：7x+6=y故选：A.【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多六客，一房八客一房空”得出方程组即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：

5x+6y=164x+y=5y+x

故选：B.

5．【答案】A【解析】【解答】解：设宿舍有x间，学生有y人，可列方程组4x=y−26(x−1)=y故答案为：A.【分析】根据两种住宿安排的描述，分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系，从而列出方程组.6．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，得：x+3y=2603x+2y=360，

解得：x=80答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：80a+60b=960，

∵a、b为正整数，

∴此方程的解为：a=9b=4，a=6b=8，a=3b=12．

答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据单价乘以数量等于总价及“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列出方程组，求解即可；（2）设购买A型机器人a台，B型机器人b台，根据单价乘以数量等于总价及“购买a台A型机器人的费用+购买b台B型机器人的费用=960万元”列出关于字母a、b的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得出结论.（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，得：x+3y=2603x+2y=360，解得：x=80答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：80a+60b=960，∵a、b为正整数，∴此方程的解为：a=9b=4，a=6b=8，答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．7．【答案】D【解析】【解答】解：A．3x+2y−1=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误.B．x−5=0C．2x+6=0最高次数为1，不是一元二次方程，故C错误.D.x2−1=0只含一个未知数故答案为：D．【分析】根据一元二次方程的定义分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，

∴1−3+m=0，解得：故答案为：D．【分析】根据x=1是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，列方程9．【答案】C【解析】【解答】解：A：x2=0，解得：x=0，不符合题意；

B：x2+1=0，∆=0−4=−4<0，无解，不符合题意；

C：x2−x=0，∆=1>0，有两个不相等的实数根，符合题意；故答案为：C【分析】根据判别式∆=b10．【答案】A【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，

则200(1+x)2=242.

故答案为：A.

11．【答案】A【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：

方程为：1441−x故答案为：A．【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据基期量×12．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可列方程为x(x−12)=864．故答案为：A.【分析】设长为x步，则宽为(x−12)步，利用矩形面积公式列方程解答即可．13．【答案】1【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2∴m+n=−51=−5∴m=mn(m+n)−14=(−3)×(−5)−14=1．故答案为：1.【分析】利用根与系数的关系得到m+n=−5，mn=−3，然后把所求代数式因式分解，再整体代入求解即可．14．【答案】-2【解析】【解答】解：解：∵关于x的一元二次方程x2∴这个方程根的判别式Δ=(−3)解得c≥−21∴最小整数c=−2．故答案为：-2.【分析】根据方程根的情况得到Δ≥0，代入数值求出c的取值范围，再找出最小整数解即可.15．【答案】解：∵∴由求根公式，得x=∵m是方程x2−x−1=0∴m+==【解析】【分析】根据公式法求出一元二次方程的根，得到方程的较大根，然后代入代数式计算即可.16．【答案】11【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2−3x−1=0的两个根，

∴a+b=3，ab=-1，

∴故答案为：11.【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=-1，然后根据完全平方公式的变形得到(a+b)17．【答案】2【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=3解得c≤9所以满足c≤9故答案为：2．

【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解这个不等式即可求解.18．【答案】解：3(x+4)=(x+4)(x+1)，3(x+4)−(x+4)(x+1)=0，(x+4)(3−x−1)=0，解得x1【解析】【分析】先移项，然后提取公因式因式分解解一元二次方程即可．19．【答案】（1）二（2）解：xxx(x−1)x−1=2或∴x1=1+【解析】【分析】（1）根据解答过程逐步检验解答即可；

（2）先移项，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式，再开平方解方程即可．20．【答案】（1）解：不是原方程的解，当x=1时，左边=1×(1-2)=-1；右边=3∵左边≠右边∴x=1不是原方程的解（2）解：xx−1x-1=2或x-1=-2x【解析】【分析】(1)根据题意，将x=1代入方程进行计算即可；

(2)先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答即可.21．【答案】×；×解：2(((∴x【解析】【分析】本题是解方程的步骤。从解题步骤上可以看出，小李和小王的解题步骤都有错误，其中小李的错误，主要是没有考虑当x-2=0时的情况，因此不能在方程两边同时除以x-2；而小王的错误，主要是在“提取公因式”这一步做减法计算的时候没有变号，正确答案应该是(x−222．【答案】解：因为α所以α所以α+βα+β=−a−b,αβ=代入①得(a+b所以a−ba-b=±1，而a>b，所以a-b=1，所以a=b+1，在原方程中，Δ=9整理，并把(a=b+1代进去可知4两边加1并用平方和公式知：2b+1所以-2≤2b+1≤2，而b为整数，b=-1或0，当b=-1时，a=0，符合题意，b=0，a=1符合题意，所以(a，b)为(0，-1)或(1，0).【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值.23．【答案】解：[任务1]110，(120+10x)；[任务2]由题意得，设涨价y元/份，∴(120−5y)(25−5+y)=2415，整理得：y2解得：y1=1，答：该餐饮店将售价上涨1元/份或3元/份时，才能使每天的利润达到2415元；[任务3]∵尽快减少库存，∴采取降价销售，∴每天