天津市双菱中学2025-2026学年高二年级下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

天津市双菱中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科期中阶段质量监测一、单选题1．设函数，若，则（

）A．或 B．或0 C． D．02．已知随机变量X的分布规律为（），则（

）A． B． C． D．3．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（

）种．A．30 B．36 C．56 D．664．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）A． B．C． D．5．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（

）A． B． C． D．6．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（

）A．2 B． C． D．47．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（

）A．由“第行所有数之和为”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想：C．D．第29行中从左到右第14与第15个数相等8．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．9．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题10．已知函数，则__________.11．若二项式的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________.12．袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．13．已知随机变量的分布列如图：-101设，则的方差__________．14．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______．15．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题16．已知函数(1)若在处有极小值，求；(2)若，求在区间上的最值.17．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等.(1)求的值；(2)求的系数；(3)求的值.18．2024年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立．(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；(2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．19．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若恰有3个零点，求的取值范围.20．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，存在不相等的、，满足，证明：；(3)对任意的，恒成立，求a的取值范围．参考答案1．B【详解】函数的导数为：，由条件得：，解得：，即或.2．A【详解】因为随机变量X的分布规律为（），所以，解得，所以.故选：A.3．B【详解】从名学生中选出3名，共有种；从6名男生中选出3名，共有种；则至少有1名女生的选法共有.4．C【详解】由函数的图象可知：当时，，，此时单调递增；当时，，，此时单调递减；当时，，，此时单调递减；当时，，，此时单调递增．5．C【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件，则，，则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为.6．D【详解】因为铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，所以无盖方盒的底面积为，高为.设方盒的容积为，则，令，得或（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，方盒容积最大.7．D【详解】对于A，，故A正确；对于B，由组合数的性质可得，B正确；对于C，，C正确；对于D，第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，D错误.8．A【详解】当时，由得：，令，则在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，即，实数的取值范围为.9．C【详解】设与相切于点，则，解得，此时.由得，由，可得，此时切点为，作出函数与的图象如图，由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，10．【详解】因为函数，则，所以.11．解：二项式的展开式中的二项式系数和，令得，各项系数和，．12．1【详解】记取出的两个球都是红球为事件，则，，即解得或（舍），故的可能取值为，则，，故答案为：1.13．【详解】由题意可得，因此，，因为，所以.14．【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件，依题意，，，，由全概率公式得，所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是.15．【详解】，则当时，，即在上单调递增，则；由，使得成立，则在上有解，即在上有解，令，，则，令，，则故在上单调递减，则，故在上单调递减，则，即实数a的取值范围是.16．(1)(2)最小值为，最大值为.【详解】（1）由，得，因为为的极小值点所以，解得或，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以为的极小值点；当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以为的极大值点；经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以；（2）当时，，令得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以为在区间的极大值，也是最大值.由于，，，所以最小值为.综上所述，在区间上的最小值为，最大值为.17．(1)(2)(3)【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以.（2）由（1）知，的展开式中项为：，所以.（3）由（1）知，的展开式中，当时，，因为所以当时，，所以.18．(1)(2)分布列：0123期望为【详解】（1）记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知，记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，则．（2）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，则，，，由相互独立可知，，，所以的分布列是：0123则的数学期望是．19．(1)（或）(2)【详解】（1），定义域为.则，所以，又，则曲线在点处的切线方程为，即.（2）令，得，即.设函数，则，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，则.当时，，当时，，且当时，，当时，，作出的大致图象，如图所示.令，则.显然不是方程的根，所以函数有两个零点，因为，所以且，所以且，得，即的取值范围为.20．(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.(2)证明见解析(3)【详解】（1）的定义域为，.（i）当时，，此时在上单调递增.（ii）当时，令，得.当时，；当时，.在单调递减，在单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递