数学活动　探究比例的性质教学课件2025-2026学年人教版八年级上册数学

数学活动探究比例的性质人教版八年级上册数学在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．

1．比例的基本性质如果a∶b＝c∶d（b，d不为0），那么ad＝bc．也可以写成：如果＝（b，d不为0），那么ad＝bc.

2．用字母表示比例的基本性质反过来，如果ad＝bc（a，b，c，d不为0），那么＝.思考若＝（其中a，b，c，d

均不为0），下列各组中的两个分式之间分别有什么关系？（1）和；（2）

和

；（3）

和

；（4）和（a≠b，c≠d）．

分析：用特殊值法进行试验．找几组都不为0

的数a，b，c，d，使得分式＝成立（即a，b，c，d成比例）．探究（1）取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6；（2）取a＝1，b＝3，c＝2，d＝6；（3）取a＝4，b＝1，c＝12，d＝3．取特殊值试验时，为避免偶然性，多取几组值试验．由这几组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．（1）和；（2）

和

；（3）

和

；（4）和（a≠b，c≠d）．探究分式1分式2关系＝＝＝＝＝＝＝＝（1）取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6；（2）取a＝1，b＝3，c＝2，d＝6；分式1分式2关系＝＝＝＝＝＝＝＝（3）取a＝4，b＝1，c＝12，d＝3．分式1分式2关系＝＝＝＝＝＝＝＝猜想你能运用分式的基本性质和运算法则对以上猜想进行证明吗？当＝（其中a，b，c，d

均不为0）时，有：（1）＝；（2）

＝

；（3）

＝

；（4）＝（a≠b，c≠d）．（1）如果＝（a，b，c，d

均不为0），那么＝．证明证明：∵＝，∴ad＝bc．方程两边同时除以cd，得＝．（2）如果＝（a，b，c，d

均不为0），那么＝．证明：∵＝，∴bc＝ad．方程两边同时除以ac，得＝．（3）如果＝（a，b，c，d

均不为0），那么＝．证明：∵＝，∴方程两边同时加

1，得＋1＝＋1，即＝．＋1＋1证明：∵＝，∴＋1＝＋1，－1＝－1，即＝，

＝．（4）如果＝（a≠b≠0，c≠d≠0），那么＝．由＝，得

＝；；由＝，得

＝．∴＝．∴＝．除了上面的证明方法，你还有其他方法对以上猜想进行证明吗？思考可以利用作差法“若A－B＝0，则A＝B”对以上猜想进行证明．例如，求证：如果＝（a，b，c，d

均不为0），那么＝．证明：∵＝，∴ad＝bc．∴

－＝＝0，∴

＝．结论

更比式：＝；

反比式：

＝

；

合比式：

＝

；

合分比式：＝（a≠b，c≠d）．如果＝（其中a，b，c，d

均不为0），那么追问

如果＝（其中a，b，c，d

均不为0），那么＝．证明：∵＝，∴方程两边同时减

1，得－1＝－1，即＝．分比式获得数学结论的一种重要途径：先通过合情推理提出猜想，再通过逻辑推理证明猜想，最后得出结论．

例1若＝，则＝．解析：

＝，由合比式可得

＝＝．你还有其他方法吗？

例2若x∶y∶z＝3∶4∶7，且2x－y＋z＝18，则x＋2y－z＝________．分析：出现连比，可设参数k，把2x－y＋x＝18

转化为关于参数k

的一元一次方程．

解析：

设x＝3k，则y＝4k，z＝7k．∵

2x－y＋z＝18，∴

2x－y＋z＝6k－4k＋7k＝9k＝18，∴k＝2．∴x＝6，y＝8，z＝14．∴x＋2y－z＝6＋2×8－14＝8．

例2若x∶y∶z＝3∶4∶7，且2x－y＋z＝18，则x＋2y－z＝________．8归纳若多个比值相等，巧设参数来消元当一道题中出现多个未知数时，常用消元法来求代数式的值；当条件中出现多个比值相等时，用中间量法巧设其比值为参数，进而求解各未知数的值，这是首选的方法．

例3

若＝（其中a，b，c，d

均不为0，且b＋d≠0），请判断和的大小关系，并证明你的结论．

证明：∵＝，∴ad＝bc．∴

－＝＝＝0，∴

＝．