数学活动　探究比例的性质2025-2026学年人教版八年级上册数学

数学活动探究比例的性质教学目标教学目标1．经历从具体的计算猜想出比例的性质的过程，推导出比例的性质．2．理解并掌握比例的性质，能运用比例的性质进行相关计算．3．感受从特殊到一般、从具体到抽象的数学方法，培养推理能力，提高数学思维水平．教学重点教学重点合比式和合分比式的推导．教学难点教学难点运用比例的性质进行相关计算．教学过程教学过程知识回顾【问题】1．比例的基本性质是什么？【答案】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．【问题】2．你能用字母表示比例的基本性质吗？【答案】如果a∶b＝c∶d（b，d不为0），那么ad＝bc．也可以写成：如果＝（b，d不为0），那么ad＝bc．【设计意图】带领学生复习比例的相关知识，巩固基础，为本节课探究比例的性质做好准备．新知探究一、探究学习【问题】若＝（其中a，b，c，d均不为0），下列各组中的两个分式之间分别有什么关系？（1）和； （2）和；（3）和； （4）和（a≠b，c≠d）．【追问】1．你能给出几组满足＝的数值吗？【师生活动】教师提示：用特殊值法进行试验．取特殊值试验时，为避免偶然性，要多取几组值试验．师生一起给出三组满足＝的数值：（1）取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6；（2）取a＝1，b＝3，c＝2，d＝6；（3）取a＝4，b＝1，c＝12，d＝3．【追问】2．由这几组数值计算出各组中的两个分式的值，它们之间有什么关系？【师生活动】学生独立思考，并完成下面的表格：（1）取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6；分式1分式2关系＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（2）取a＝1，b＝3，c＝2，d＝6；分式1分式2关系＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（3）取a＝4，b＝1，c＝12，d＝3．分式1分式2关系＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝通过这三组特殊值发现各组中的两个分式都分别相等，教师引导学生提出猜想．【猜想】当＝（其中a，b，c，d均不为0）时，有：（1）＝； （2）＝；（3）＝； （4）＝（a≠b，c≠d）．【设计意图】使用特殊值法进行试验，提出问题的猜想．让学生感受从特殊到一般、从具体到抽象的数学方法，学会用数学的思维思考问题．【问题】你能运用分式的基本性质和运算法则对以上猜想进行证明吗？【师生活动】教师给出猜想（1）的证明；学生小组讨论，完成（2）（3）（4）的证明．（1）如果＝（a，b，c，d均不为0），那么＝．证明：∵＝，∴ad＝bc．方程两边同时除以cd，得＝．（2）如果＝（a，b，c，d均不为0），那么＝．证明：∵＝，∴bc＝ad．方程两边同时除以ac，得＝．（3）如果＝（a，b，c，d均不为0），那么＝．证明：∵＝，∴方程两边同时加1，得＋1＝＋1，即＝．（4）如果＝（a≠b≠0，c≠d≠0），那么＝．证明：∵＝，∴＋1＝＋1，－1＝－1，即＝，＝．由＝，得＝；由＝，得＝．∴＝．∴＝．【问题】除了上面的证明方法，你还有其他方法对以上猜想进行证明吗？【师生活动】学生小组讨论后回答．教师引导学生利用“作差法”对以上猜想进行证明．【设计意图】通过取几组特殊值计算得出的猜想，不一定成立，因此要通过逻辑推理证明猜想．在证明猜想的过程中，让学生使用不同的方法证明，培养学生多角度分析问题和解决问题的能力．【结论】如果＝（其中a，b，c，d均不为0），那么更比式：＝； 反比式：＝；合比式：＝； 合分比式：＝（a≠b，c≠d）．【追问】同样地，如果＝（其中a，b，c，d均不为0），那么＝．你会证明吗？【答案】证明：∵＝，∴方程两边同时减1，得－1＝－1，即＝．【结论】如果＝（其中a，b，c，d均不为0），那么＝（分比式）．【归纳】获得数学结论的一种重要途径：先通过合情推理提出猜想，再通过逻辑推理证明猜想，最后得出结论．二、典例精讲【例1】若＝，则＝________．【师生活动】学生独立完成，教师进行讲评．【答案】【解析】＝，由合比式可得＝＝．【例2】若x∶y∶z＝3∶4∶7，且2x－y＋z＝18，则x＋2y－z＝________．【师生活动】教师提示：出现连比，可设参数k，把2x－y＋x＝18转化为关于参数k的一元一次方程．学生根据提示独立完成，教师巡查，发现问题后进行指导．【答案】8【解析】设x＝3k，则y＝4k，z＝7k．∵2x－y＋z＝18，∴2x－y＋z＝6k－4k＋7k＝9k＝18，∴k＝2．∴x＝6，y＝8，z＝14．∴x＋2y－z＝6＋2×8－14＝8．【归纳】若多个比值相等，巧设参数来消元当一道题中出现多个未知数时，常用消元法来求代数式的值；当条件中出现多个比值相等时，用中间量法巧设其比值为参数，进而求解各未知数的值，这是首选的方法．【例3】若＝（其中a，b，c，d均不为0，且b＋d≠0），请判断和的大小关系，并证明你的结论．【师生活动】学生独立思考完成，教师巡查，及时发现问题，并进行指导．【答案】解：＝．证明：∵＝，∴ad＝bc．∴－＝＝＝0，∴＝．【归纳】等比性质如果＝＝＝…＝＝k（b＋d＋f＋…＋n≠0），那么＝＝＝＝…＝＝k．【设计意图】通过运用比例的性质进行三个例题的相关计算，帮助学生巩固比例的性质，培养学生的推理能力．课堂小结板书设计一、比例的性质二、等比性质教学反思教学反思_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________