第十四章 章末复习（第1课时）2025-2026学年人教版八年级上册数学

章末复习（第1课时）教学目标教学目标1．巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题．2．通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系．教学重点教学重点熟练地运用整式的乘法法则进行运算．教学难点教学难点灵活运用整式的乘法法则解决有关问题．教学过程教学过程知识回顾请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．1．同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算？请举例说明．2．举例说明怎样将多项式乘（除以）单项式转化为单项式的乘除．多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？3．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何直观的角度用图形解释乘法公式吗？【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识点，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．要点复习考点一幂的运算【例1】计算a·a5－(2a3)2的结果为（）．A．a6－2a5 B．－a6C．a6－4a5 D．－3a6【师生活动】学生作答，教师给出正确答案并归纳总结．【分析】先分别计算同底数幂的乘法和积的乘方，再计算减法．【答案】D【解析】a·a5－(2a3)2＝a6－4a6＝－3a6．【归纳】1．幂的运算法则：（1）am·an＝（m，n都是正整数）；（2）(am)n＝amn（m，n都是正整数）；（3）(ab)n＝anbn（n为正整数）；（4）am÷an＝（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．2．使用法则时，要明确法则和具体内容．【注意】进行幂的运算的“三点注意”（1）在进行同底数幂的乘法运算时，注意指数是相加而不是相乘．（2）在进行幂的乘方或积的乘方运算时，当底数是负数、指数是奇数时，注意符号为负．（3）在进行加法运算时，不是同类项的不能合并．【设计意图】通过该例的解决和归纳，让学生进一步巩固幂的运算法则，能够熟练且灵活地运用法则解决相关问题．【跟踪训练1】下列计算不正确的是（）．A．2a3÷a＝2a2 B．(－a3)2＝a6C．a4·a3＝a7 D．a2·a4＝a8【答案】D【跟踪训练2】计算：0.252023×(－4)2023－8100×0.5301．【答案】解：原式＝[0.25×(－4)]2023－(23)100×0.5300×0.5＝－1－(2×0.5)300×0.5＝－1－0.5＝－1.5．【跟踪训练3】（1）已知am＝4，an＝8，求的值；（2）已知×÷＝16，求m的值．【答案】解：（1）∵am＝4，an＝8，∴a3m＝43＝64，a2n＝82＝64，∴＝a3m÷a2n＝64÷64＝1；（2）由题意得×÷＝24，∴2(m＋3)＋3(m＋1)－(4m＋7)＝4，解得m＝2．考点二整式的运算【例2】先化简，再求值：(a＋b)(a－b)－b(a－b)，其中a＝－2，b＝1．【师生活动】先找学生代表板书作答，然后师生一起检查对错．【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，合并得到最简结果，再把a和b的值代入计算即可．【答案】解：(a＋b)(a－b)－b(a－b)＝a2－b2－ab＋b2＝a2－ab．当a＝－2，b＝1时，原式＝(－2)2－(－2)×1＝6．【归纳】整式的运算包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式以及多项式除以单项式，其中单项式乘单项式是整式的运算的基础，必须熟练掌握它的运算法则．整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的．【设计意图】通过该例检查学生关于整式的运算和化简求值的掌握情况，回顾整式的运算包含的具体情况，让学生对整式的运算做到心中有数．【跟踪训练4】若(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，则m＋n的值为（）．A．－5 B．－2 C．－7 D．3【答案】C【解析】∵(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，∴x2＋(n＋3)x＋3n＝x2＋mx－15，∴解得∴m＋n＝－7．故选C．【跟踪训练5】计算：（1）(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)；（2）x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；（3）(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；（4）(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；（5）[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y．【答案】解：（1）原式＝－12x7y9；（2）原式＝－x3＋6x；（3）原式＝2a3b2＋10a3b3；（4）原式＝4x2＋17xy－10y2；（5）原式＝2xy－2．【跟踪训练6】如图，现有一块长为（3a＋b）m、宽为（a＋2b）m的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为am的正方形．（1）求绿化的面积（用含a，b的式子表示）；（2）若a＝3，b＝1，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元？【答案】解：（1）长方形的面积＝(3a＋b)(a＋2b)＝(3a2＋7ab＋2b2)m2，预留部分的面积＝a2m2，∴绿化的面积＝3a2＋7ab＋2b2－a2＝(2a2＋7ab＋2b2)m2；（2）当a＝3，b＝1时，绿化的面积＝2×9＋7×3×1＋2＝41（m2），41×50＝2050（元），∴完成绿化共需要2050元．考点三乘法公式【例3】先化简，再求值：（1）(x－2y)(x＋2y)－(x－2y)2，其中x＝3，y＝－1；（2）(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m2＋m－2＝0．【师生活动】学生作答，然后同桌交换检查，教师做适当的补充说明．【答案】解：（1）(x－2y)(x＋2y)－(x－2y)2＝x2－4y2－(x2－4xy＋4y2)＝x2－4y2－x2＋4xy－4y2＝4xy－8y2．当x＝3，y＝－1时，原式＝4×3×(－1)－8×(－1)2＝－20．（2）(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)＝4m2－1－(m2－2m＋1)＋8m3÷(－8m)＝4m2－1－m2＋2m－1－m2＝2m2＋2m－2＝2(m2＋m)－2．∵m2＋m－2＝0，∴m2＋m＝2．当m2＋m＝2时，原式＝2×2－2＝2．【归纳】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度．【设计意图】通过该例回顾乘法公式的法则和式子的结构特征，进一步让学生意识到适当运用乘法公式可以提高解题的速度．【跟踪训练7】用简便方法计算：（1）20252－2024×2026； （2）19.92＋19.9×0.2＋0.12．【答案】解：（1）20252－2024×2026＝20252－(2025－1)×(2025＋1)＝20252－20252＋1＝1；（2）19.92＋19.9×0.2＋0.12＝(19.9＋0.1)2＝202＝400．【跟踪训练8】（1）已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy和x2＋y2的值；（2）若a2＋b2＝15，(a－b)2＝3，求ab和(a＋b)2的值．【答案】解：（1）∵(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，∴x2＋2xy＋y2＝25，①x2－2xy＋y2＝9．②①＋②，得2(x2＋y2)＝34，∴x2＋y2＝17，∴17＋2xy＝25，∴xy＝4．（2）∵(a－b)2＝3，∴a2－2ab＋b2＝3．∵a2＋b2＝15，∴15－2ab＝3，∴2ab＝12，∴ab＝6．∴a2＋2ab＋b2＝15＋12，∴(a＋b)2＝27．课堂小结板书设计一、幂的运算二、整式的运算三、乘法公式课后任务课后任务完成教材第124页复习题14第1～2，4～5题．教学反思教学反思__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________