2027届新高三数学热点突破复习不等式的性质与解法

2027届新高三数学热点突破复习不等式的性质与解法考点1不等式的性质三年模拟1.★(2026届重庆七校联盟第一次适应性考试,3)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是

()A.若a>b>c,则

<

B.若a>b,则ac2>bc2C.若a<b<c<0,则

>

D.若a>b,则a2>b2

A

解析对于A,【利用不等式性质判断】由a>b>c,得a-c>b-c>0,因此

<

,A正确;对于B,【取特殊值】取c=0,得ac2=0=bc2,B错误;对于C,【作差比较大小】

-

=

,由a<b<c<0,得a+c<0,b-a>0,则a(a+c)>0,c(b-a)<0,

-

<0,即

<

,C错误;对于D,【取特殊值】取a=1,b=-1,满足a>b,而a2=1=b2,D错误.故选A.2.★★★(2026届北京清华大学附中月考,7)若(x1,y1),(x2,y2)是函数y=lnx图象上两个不同

的点,则下列结论中正确的是

()A.y1<x1-1

B.y1-y2>x1-x2C.y1+y2<x1+x2

D.x1x2+y1y2>0

C

解析若(x1,y1),(x2,y2)是函数y=lnx图象上两个不同的点,则y1=lnx1,y2=lnx2.对于A项,构造函数f(x)=lnx-x+1,则f

'(x)=

-1=

,由f

'(x)>0,得0<x<1,由f

'(x)<0,得x>1,则函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,而f(1)=0,得f(x)≤f(1)=0,即lnx-x+1≤0,得lnx≤x-1,故A项错误;对于B项,取x1=4,x2=2,得y1=ln4=2ln2,y2=ln2,则y1-y2=ln2<x1-x2=2,故B项错误;

3.★★(多选)(2026届安徽皖豫名校联盟调研,9)已知a,b,c∈R,且a<b<0,则

(

)A.a2+c<b2+c

B.a+c2<b+c2C.a2c>b2c

D.ac2-b<bc2-a

BD

解析对于A,由a<b<0,得a2>b2,所以a2+c>b2+c,故A错误;对于B,由a<b,得a+c2<b+c2,故B正确;对于C,由a<b<0,得a2>b2,当c<0时,a2c<b2c,故C错误;对于D,由a<b,c2+1>0,可得a(c2+1)<b(c2+1),得ac2-b<bc2-a,故D正确.4.★★(多选)(2026届河南TOP二十名校调研,9)已知3<a<10,5<b<30,则下列结论正确的

有

(

)A.

<

<10

B.11<2a+b<50C.2<b-a<20

D.

<

<22

ABD

解析对于A,因为3<a<10,5<b<30,故

<

<

,故

<

<10,故A正确;对于B,因为6<2a<20,5<b<30,故11<2a+b<50,故B正确;对于C,因为3<a<10,故-10<-a<-3,又因为5<b<30,故-5

<b-a<27,故C错误;对于D,因为3<a<10,所以9<a2<100,又5<b<30,故

<

<

,所以

<

<20,所以

<

=

+2<22,故D正确.故选ABD.考点2不等式的解法五年高考★★(2025全国二卷,4,5分)不等式

≥2的解集是

()A.{x|-2≤x≤1}

B.{x|x≤-2}

C.{x|-2≤x<1}

D.{x|x>1}

C

解析由

≥2,得

≥0,即

≤0,所以

解得-2≤x<1,所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.故选C.方法总结分式不等式的解法(1)将分式不等式转化为

>0,

<0,

≥0,

≤0中的一种,并注意分式的分子、分母的最高次项的系数为正;(2)将分式不等式转化为整式不等式(注意分母不等于0);(3)解整式不等式,从而得出原不等式的解集.三年模拟1.★★(2026届山西大学附中模块诊断,4)若a<1,则关于x的不等式

<1的解集为

()A.{x|-1<x<1-a}

B.{x|x>1-a}C.{x|a<x<1}

D.{x|x>1-a或x<-1}

A

解析由

<1可得

<0,即

<0,所以[x-(1-a)](x+1)<0,因为方程[x-(1-a)](x+1)=0的两根为x1=1-a,x2=-1,又a<1,所以x1=1-a>0,可得-1<1-a,所以不等式[x-(1-a)](x+1)<0的解集为{x|-1<x<1-a},即

不等式

<1的解集为{x|-1<x<1-a},故选A.2.★★(2026江苏连云港期中,4)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为⌀,则m的

取值范围为

()A.

B.

C.

D.

C

解析当m+1=0,即m=-1时,不等式为x-2>0,解集不为空集;所以有

解得m≤-

.故选C.3.★★(2026届河南质量检测,6)若命题p:∀a∈[0,1],ax2-2x+a-1>0为真命题,则实数x的取

值范围是

()A.

B.(1,2)C.(-∞,1)∪(2,+∞)

D.

D

解析令f(a)=a(x2+1)-2x-1,所以f(a)是关于a的一次函数,因为∀a∈[0,1],f(a)>0都成立,所以

解得x<-

.故选D.4.★★★(2026届江苏扬州高邮调研,6)高斯,著名的数学家、文学家,是近代数学奠基者

之一,享有“数学王子”之称.函数y=[x]称为高斯函数,其中[x]表示不超过实数x的最大

整数,如[1.2]=1,[-1.2]=-2,若∃x∈

,使得[x]2-m[x]+4>0成立,则实数m的取值范围为

()A.(-∞,4)

B.

C.

D.(-∞,5)

D

解析由x∈

,可得[x]∈{1,2,3},则[x]2-m[x]+4>0可化为m<

=[x]+

,则m<

,将[x]=1,2,3分别代入可得m<5.故选D.5.★★★(多选)(2025届广东深圳模拟预测)下列说法正确的是

(

)A.不等式4x2-5x+1>0的解集是

B.不等式2x2-x-6≤0的解集是

C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是⌀D.若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是(q,1),则p+q的值为-

CD

解析对于A,4x2-5x+1>0⇔(x-1)·(4x-1)>0⇔x<

或x>1,故A错误;对于B,2x2-x-6≤0⇔(x-2)(2x+3)≤0⇔-

≤x≤2,故B错误;若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,当a=0时,21<0是不可能成立的,所以只能

而该不等式组无解,综上,知C正确;对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根,从而

解得

而当p=1,q=-

时,一元二次不等式2x2+x-3<0⇔(x-1)(2x