2027届新高三数学热点突破复习抛物线

数学2027届新高三数学热点突破复习抛物线目录123基础满分练课前

自检自测·夯基固本能力高分练课中关键能力·可视思维素养提升练课中高考定向·捕捉热点基础

满分练

课前

自检自测·夯基固本三个高考关键点关键点1抛物线的定义1.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为(

)[命题点❶❷]A.y2=2x B.y2=4xC.y2=-4x D.y2=-8xD解析:由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,所以p=4,轨迹方程为y2=-8x.2.(2025·贵州遵义模拟)已知点P(1,m)在抛物线C:y2=4x上,C的焦点为F,则|PF|=

.[命题点❶❻]

2解析:由题意,抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1,所以点P(1,m)到准线的距离d=1-(-1)=2,则|PF|=d=2.关键点2抛物线的方程

AB

关键点3抛物线的简单几何性质4.(2025·河北二模)已知P(2,m)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,且点P到x轴的距离为1,则p=(

)[命题点❶❷]A.1 B.2

C.4

D.6B解析:由题意知点P的坐标为(2,1),将其代入x2=2py,得4=2p,p=2.5.(人教A版选择性必修第一册教材改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(

)[命题点❶❼]A.9 B.8

C.7

D.6B解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.6.(2023·北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若点M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(

)[命题点❹❻]A.7 B.6

C.5

D.4D解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.

B解析:如图,过点P作PQ垂直于抛物线C的准线l:y=-1于点Q,由抛物线定义可得|PQ|=|PF|,则|PN|+|PF|=|PN|+|PQ|≥|NQ|,当且仅当N,P,Q三点共线,NQ垂直于抛物线C的准线,即xP=1时,|PN|+|PQ|有最小值2.8.(2025·四川模拟)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则C的焦点坐标为

.[命题点❸❹]

(3,0)

9.(2025·河北张家口模拟)已知直线l:3x-4y-12=0,若P为抛物线x2=4y上的动点,则点P到直线l的距离最小时点P的坐标为

.[命题点❺]

回归教材•考教衔接1.抛物线的定义我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

[❶]动点M到定点F与到定直线l的距离相等是动点M的轨迹是抛物线的必要不充分条件2.抛物线的标准方程和几何性质求抛物线标准方程时先定位再定量标准方程[❷]y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)标准方程[❷]y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离对称轴x轴y轴焦点[❸]离心率e=1准线方程[❹]范围[❺]x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下变量的范围可由抛物线方程分析得到

能力高分练课中关键能力•可视思维考点1抛物线的定义及应用角度1求轨迹方程

命题视角:直接考查定义理解,根据抛物线定义判断轨迹类型并求方程或通过分析将条件转化为符合抛物线定义的形式.例1(1)(一题多解)已知点F(0,1),动点M在直线l:y=-1上,过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为(

)A.x2=-4y B.x2=4yC.x2=-2y D.x2=2yB

D

对点训练1

(2026·山东开学考试)与直线y=2相切,且与圆x2+(y+3)2=1外切的圆的圆心轨迹为(

)A.椭圆

B.双曲线的一支C.抛物线

D.圆C解析:记与圆x2+(y+3)2=1外切的圆为圆C,设圆C的圆心为C(x,y),半径为r,圆x2+(y+3)2=1的圆心为A,因为圆C与圆x2+(y+3)2=1外切,所以|CA|=r+1,设圆C圆心到直线y=2的距离为d,则d=r,所以|CA|=d+1,即动点C到定点A的距离等于到定直线y=3的距离,由抛物线的定义知动点C的轨迹为抛物线.角度2焦半径问题

命题视角:常结合具体抛物线方程,求特定点的焦半径长度或利用焦半径关系求参数.例2(1)(2025·新高考Ⅱ,6)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(

)A.3

B.4

C.5

D.6C

C

B

(2)(2025·江苏南通三模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,点A在C上,过A作l的垂线,垂足为A1.若|AF|=|A1F|,则|AF|=(

)A.2 B.4

C.6

D.8B

角度3最值问题

C

C

A

A

解题思维路径解题思维路径方法导引

解题思维路径考点2抛物线的几何性质

ABD

ACD

AC

ABD

解题思维路径1.定义转化:将|PF|转化为点P到准线距离,再求最值或证明等量关系.2.焦点弦处理:设弦AB方程(考虑斜率存在性),联立抛物线方程,利用韦达定理及焦半径公式建立联系.3.活用几何特性:利用对称性(关于x轴对称)、切线性质等简化问题.方法导引

素养提升练课中高考定向•捕捉热点命题趋势1:抛物线的定义、标准方程、焦点、准线等基本概念是近几年高考数学高频考点.1.(2025·北京,11)抛物线y2=2px(p>0)的