2025~2026学年题型四圆的相关证明与计算2025年中考数学重难题型分类练 含答案

/题型四圆的相关证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1.(2024浙江)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD(1)若∠AFE=60∘(2)求证:(①②2.(2024烟台)如图,AB是⊙O的直径,△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D.E是(1)若∠ABC=25∘(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；(3)若CI=22,DI类型二与切线有关的证明与计算3.(2024遂宁)如图,AB是⊙O的直径,AC是一条弦,点D是AC的中点，DN⟂(1)求证:AF(2)延长GD至点M,使.DM=①求证:AM是⊙O的切线;②若DG=6,4.新考法新设问(2024云南定心卷)如图，△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,⊙O外的点D在射线AC上,过点D作DE垂直AB的延长线于点E，且BD平分(1)求证:BC(2)若AD=13,(3)过点B作⊙O的切线BF，交AD于点F，是否存在常数k，使CF⋅

5.|一题多设问(2024云南)如图,AB是⊙O的直径.点D,F是⊙O上异于A,B的点.点C在⊙O外,(CA=CD,延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN(1)求∠AFB(2)求证:直线CM与⊙O相切;(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：(CE+EB<(4)设BC交⊙O于点G,AG,HD的延长线交于点K,关于线段DK,线段DE有关的两个结论：DK=26.(2024福建)如图,在△ABC中，∠BAC=90∘,AB(1)求OEAE(2)求证:△(3)求证:AD与EF互相平分.7.(2024河北)已知⊙O的半径为3,弦MN=25.△ABC中，∠ABC=90∘,(1)当点B与点N重合时，求劣弧AN的长；(2)当OA‖(3)设点O到BC的距离为d.①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值.

8.(2024湖南省卷)【问题背景】已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0∘<【初步感知】(1)如图①,当α=60∘【问题探究】(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC,BD相交于点F.①如图②，当AC=2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，②如图③，当AC=43r题型四圆的相关证明与计算1.(1)解:∵CD是直径,∴∠CBD=90°,∵∠ADC=∠AFE=60°,四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC=180°-∠ADC=120°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°;(2)证明：①∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE+∠FBC=180°,∴EF∥BC;②如解图，将△AFE绕点A顺时针旋转使得点E和点C重合,得到△ACG,则∠AGC=∠AFE=∠ADC,∠EAF=∠CAG,CG=EF,∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠AGC+∠ABC=180°,即点G在该圆上.由圆内接四边形性质可知，∠DAB+∠BCD=180°,∵∠EAF+∠BAD=180°,∴∠EAF=∠BCD,∴∠EAF=∠CAG=∠BCD,∴∴BD=CG,即EF=BD.2.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠ABC=25°,∴∠BAC=65°,∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形，∴∠BAC+∠CEB=180°,∴∠(2)解题思路根据Ⅰ为△ABC的内心,连接AI,BI,可得到∠DCA=∠DCB,∠BAI=∠CAI,根据同弧所对的圆周角相等得到∠DAB=∠DCB,可推出∠DIA=∠DAI,同理∠DIB=∠DBI,即可得证DA=DI=DB.DI=DA=DB,证明:如解图,连接AI,BI,∵点I为△ABC的内心,∴CD平分∠ACB,AI平分∠BAC,∴∠DCA=∠DCB,∠BAI=∠CAI,∵∠DAB=∠DCB,∴∠DCA=∠DAB,∵∠DIA为△AIC的外角,∴∠DIA=∠CAI+∠DCA,∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∴∠DIA=∠DAI,∴DI=DA.同理可得,∠DIB=∠DBI,∴DI=DA=DB;(3)解题思路I为△ABC解：如解图，过点I分别作AC，AB，BC的垂线，垂足分别为F,G,H,由(2)得,DI∴在Rt△ABD中,AB∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠FAG,∴∠FAI=∠GAI,∵∠AFI=∠AGI=90°,∴△AFI≌△AGI(AAS),∴AF=AG,同理,BG=BH,∵∠ACB=90°,CI平分∠ACB且IF⊥FC,∴△FIC为等腰直角三角形，∴同理，CH∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2AB+2CF=26+4=30.3.(1)解题思路要证明线段相等，需证明等腰三角形两个底角相等.证明：如解图，连接AD，∵D是⌢AC∴∴∠ABD=∠CAD,∵DN⊥AB,AB为⊙O的直径,∴∴∠ADN=∠ABD,∴∠ADN=∠CAD,∴AF=DF;(2)①解题思路由AB为直径,推出∠ADB=90°,再结合DM=DG,得到AD是MG的垂直平分线，由等角代换求出∠BAM的值即可证明切线.证明：如解图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°=∠ADM,∴∠B+∠BAD=90°,∵DM=DG,∴AD是MG的垂直平分线，∴∠MAD=∠GAD,∵∠GAD=∠B,∴∠MAD=∠B,∴∠MAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,∴∠BAM=90°,∵AB为⊙O的直径,∴AM是⊙O的切线;②解题思路由DN⊥AB,推出DE∥AM,得到△GDF∽△GMA,求出AM值，利用勾股定理求出AD值，再由tanM=AD解:∵DG=6,∴DM=DG=6,MG=12,∵DN⊥AB,∠MAB=90°,∴DE∥AM,∴△GDF∽△GMA,∴∵DF=5,∴AM=10,∴∴即8解得AB∴⊙O的半径为204.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCD=90°.∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∵BD平分∠ADE,∴BC=BE;(2)解:在Rt△BCD和Rt△BED中,{∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴CD=ED=5,∴AC=AD-CD=13-5=8;一题多解在Rt△AED中,∠AED=90°,AD=13,DE=5,∴设BC=BE=x,则AB=12-x,∵∠AED=90°,∴又∵∠ACB=90°,∴∴∴∴∴(3)解题思路第一步:证明△ACB∽△AED,得到AB解：存在常数k=1，使CF⋅理由如下：∵∠A=∠A,∠ACB=∠AED,∴△ACB∽△AED,∴第二步:由BF为⊙O的切线,得到∠ABF=90°,推出∠A=∠CBF,得到△AED∽△BCF,得到DE∵BF为⊙O的切线,∴∠ABF=90°,∴∠ABC+∠CBF=90°.∵∠ABC+∠A=90°,∴∠CBF=∠A.∵∠E=∠BCF,∴△AED∽△BCF,∴第三步：将CF⋅假设CF则k=CF∴存在常数k=1,使CF⋅一题多解存在常数k=1，使CF⋅理由如下：∵BF切⊙O于点B,∴BF⊥AB,∴∠ABC+∠CBF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠CBF,∵∠ACB=∠BCF=90°,∴∴∵∠AED=90°,∠ABF=90°,∴∴∴∴要使CF⋅只需令k=1,∴存在常数k=1，使CF⋅5.(1)解:∵AB是⊙O的直径,点F是⊙O上异于A,B的点，∴∠(2)证明:∵AM·BM=AB·MN,∴∵∠∴△AMN∽△ABM,∴∠NAM=∠MAB.∵∠NAM+∠MAB=180°,∴∠NAM=∠MAB=90°,∴OA⊥CM.∵OA为⊙O的半径,∴直线CM与⊙O相切;(3)证明:我认为CE+EB=CB正确,理由如下:如解图①,连接OC,OD,AD,BD,设OC交AD于点G,∵OA=OD,∴点O在线段AD的中垂线上，∵CA=CD,∴点C在线段AD的中垂线上，∴OC⊥AD,∴∠OGA=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠OGA=∠ADB,∴OG∥BD,∴∠AOC=∠ABD.∵∠AHD=90°,∴∠DHB=90°,∴∵E为DH的中点,∴∴∵tan∠AOC∴∵∠AOC=∠ABD,∴tan∠HBE=tan∠ABC,∴∠HBE=∠ABC,∴B,E,C三点共线,∴CE+EB=CB.一题多解(3)证明：我认为(CE+理由如下：如解图②,连接OC,OD,过点B作⊙O的切线,交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，在△OAC和△ODC中{∴△OAC≌△ODC(SSS),∴∠OAC=∠ODC.由(2)知OA⊥CM,∴∠OAC=∠ODC=90°,∴OD⊥CD.∵OD为⊙O的半径,∴CK为⊙O的切线.∵BK为⊙O的切线,∴DK=BK,BK⊥AB.∵DH⊥AB,CA⊥AB,∴AC∥DH∥BK,∴△∴∴∵CA=CD,∴GH=GD,∴点G是线段DH的中点，∵点E是线段DH的中点，∴点G与点E重合.∴线段BC经过点E,∴CE+EB=CB.一题多解(3)证明:我认为CE+EB=CB正确,理由如下:如解图③,连接OC,OD,在△OAC和△ODC中{∴△OAC≌△ODC(SSS),∴∠CDO=∠CAO=90°,连接BD并延长与AC延长线交于点P，设BC与DH交于点G，∵∠CDO=∠CAO=90°,∠BAC=90°,∴∠P+∠OBD=90°,∠CDP+∠ODB=90°,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠P=∠CDP,∴CP=CD,∵CA=CD,∴AP=2AC,∵∠CAO=∠BHD=90°,∴AP∥HD,∴△BHG∽△BAC,△BHD∽△BAP,∴∴∵AP=2AC,∴HD=2HG,即G为HD中点,又∵E是DH的中点，∴点G与点E重合，∴CE+EB=CB.解题技巧本题求证CE+BE与CB的数量关系，只需证明CE与BE共线即可,可用方法一:证明∠HBE=∠ABC或方法二、三：利用三角形相似.(4)解:我认为DK=2DE正确,理由如下:如解图④,延长DE交⊙O于点Q,根据相交弦定理知：DE·EQ=GE·EB,又∵AB为直径,AB⊥DQ,∴HQ=HD,∵DE=HE,∴QE=3DE.又∵∠KGE=180°-∠AGB=90°=∠EHB,∠GEK=∠HEB,∴△EHB∽△EGK,∴EH·EK=EG·EB,∴EK=EQ=3DE.∴DK=2DE.6.(1)解题思路由∠BAC=90°,且AE⊥OC,利用tan∠解:∵AB=AC,且AB是⊙O的直径,∴AC=2AO.∵∠BAC=90°,∴在Rt△AOC中,tan∵AE⊥OC,∴在Rt△AOE中,tan∴(2)解题思路第一步：利用倍长中线OE，构造与△AEO全等的三角形，求出∠OEB的度数；证明：如解图①，过点B作BM∥AE，交EO的延长线于点M.∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.∵AO=BO,∴△AOE≌△BOM(AAS),∴AE=BM,OE=OM.∵∴BM=2OE=EM,∴∠MEB=∠MBE=45°,第二步:由AE⊥OC,推出∠AEB=BEC;∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,∠∴∠AEB=∠BEC.第三步:由AB=AC,且∠BAC=90°,推出∠CBA的度数，再由第一步证明的三角形全等，通过等角计算，推出∠BAE=∠CBE即可得证.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°,∴∠ABM=∠CBE,∴∠BAE=∠CBE,∴△AEB∽△BEC;(3)解题思路第一步:由AB=AC,∠BAC=90°且∠ADB=90°,推出2BD=BC,由(2)知△AEB∽△BEC,推出△AOE∽△BDE,进而推出AF∥DE;证明：如解图②，在解图①的基础上，连接DE，DF.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BC=2BD,∠DAB=45°.由(2)知,△AEB∽△BEC,∴∴△AOE∽△BDE,∴∠BED=∠AEO=90°.∴∠DEF=90°.∴∠AFB=∠DEF,∴AF∥DE.第二步:由(2)知∠AEB度数,推出∠AEF=∠DFB,进而推出AE∥FD;由(2)知,∠AEB=135°,∴∠∵∠DFB=∠DAB=45°,∴∠DFB=∠AEF,∴AE∥FD,第三步：由两组对边分别平行推出四边形AEDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质进行证明.∴四边形AEDF是平行四边形，∴AD与EF互相平分.7.解:(1)如解图①,连接OA,ON,∵AN=OA=ON=3,∴△AON是等边三角形，∴∠AON=60°,∴劣弧⌢AN的长为(2)解题思路第一步：将点B到AO的距离转化成点O到MN的距离是解题的关键，然后利用垂径定理即可求解点B到AO的距离；如解图②,过点O作OD⊥MN于点D,过点B作BE⊥AO于点E,连接ON,则DN∵ON=3,∴BE=OD=2,∴点B到OA的距离为2.第二步：利用勾股定理求出AE，然后求解x即可.∵∴∴(3)解题思路由勾股定理求出AC，再根据半径求出CO，利用相似三角形即可求出O到BC的距离d.①过点A的切线与AC垂直时，AC过圆心O，如解图③,过点O作OF⊥BC于点F,AC∵∠ABC=∠OFC=90°,∠ACB=∠OCF,∴△ABC∽△OFC,∴OCAC=②2【解法提示】如解图④，过点O作OJ⊥BC于点J，连接OB,在Rt△OBJ中,∵OJ=OB2−BJ28.(1)解:30;【解法提示】∵∠AOE=α=60°,OA=OE,∴△OEA是等边三角形,∴∠OAE=