八年级数学下册北师大版 第6章《平行四边形》平行四边形与动点最值问题 复习题（含答案）

第6章《平行四边形》复习题——平行四边形与动点最值问题一、单选题1．如图，在∆ABC中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.82．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线（m为常数且）上，，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（）A．24 B．25 C．26 D．305．如图，在∆ABC中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．周长的最小值为6．如图，在Rt∆ABC中，，，，已知点是延长线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，连，，则下列结论错误的是（

）A．的面积不变B．若点与点关于对称，则的最大值为C．的最小值为D．的周长的最小值为二、填空题7．如图，在∆ABC中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为___________．8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___，的最大值为____．9．如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________．10．如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______．11．如图，在中，点E是的中点，，点F是上的动点，连接点E与的中点G．则的最大值是______．12．如图，已知∆ABC中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则（1）的最小值是__________；（2）的最大值是__________．三、解答题（6题）13．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设．（1）用含x的代数式表示的值；（2）探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？14．如图，在∆ABC中，，将∆ABC平移4个单位长度得到，点，分别是，的中点，求的最大值和最小值．

15．如下图，在∆ABC中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点，与交于点，过点C作轴于E．（1）求的长；（2）点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，设点P的横坐标为t，线段的长为m，的面积为S，请先画出图形，再求S关于t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，①当时，m的最大值是________；②当t的值为________时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出答案）17．（1）如图，的对角线和相交于点O，过点O且与边分别相交于点E和点F．求证：；（2）若，则四边形的面积为，的最小值为．18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点．（1）的面积为______；（2）为直线上一点，连接，若，求点的坐标；（3），为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题1.D解：过点B作于H，

∵F，M分别是的中点，∴，当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，在∆ABC中，，，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D．2．C解：如图，连接；过点M作，交的延长线于点E；∵四边形为平行四边形，∴，∵点M为的中点，，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，由翻折变换的性质得：，当折线与线段重合时，线段的长度最短，此时，故选C．3．A解：取的中点N，连接，∵点N为中点，，∴，∵在中，，，∴，∵点M为中点，点N为中点，，∴，∴在中，，即，当点B、M、N在同一直线上时，，此时取最大值，故选：A．4．B解：∵直线，∴过定点，∴，作于H，∴，∴的面积的最大值，∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是25，故选：B．5．C解：，，，，，，，，当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值，此时，∴12×2×CD=12×3×1，解得的最小值为，∴DE+DE的最小值为，故A结论正确，不符合题意；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值．如图，作于，，，解得，，，在中，，的最大值为，的最大值为，故B结论正确，不符合题意；如图，以为一边作，过作交于，，，，当，，三点共线，且时，取最小值，，，，的最小值为，故C结论错误，符合题意；如图，过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，则，，，四边形是平行四边形，，，，，当，，三点共线时，最小值，最小值为，的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意．6．D解：过点作于点，则，∵平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面积不变，故正确；如图，作点关于的对称点，连接，则，∵，∴当点三点共线时，的值最大，如图，∵，，，∴，∴，∴的最大值为，故正确；∵，∴点到直线的距离为，即点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，∵，，

∴，∴点为点关于直线上的对称点，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴的最小值为，故正确；∵，∴当点三点共线时，取得最小值，最小值即为的长，∵，∴，∴的最小值为，又∵四边形是平行四边形，∴，，∴的周长，∴当取最小值时，的周长最小，∴的周长的最小值为，故错误；综上，结论错误的是，故选：．二、填空题7．解：如图，过点作于，在中，，，，，，四边形是平行四边形，∴，当时，有最小值，此时：，故答案为：．8．解：连接，如图：平行四边形的坐标分别为、、、，，，若点关于的对称点为，，在∆BA/C中，由三角形三边关系可知：，，即的最小值为，最大值为．故答案为：，．9．4解：连接，取的中点，连接，，如图所示，，分别为边，的中点，是∆ABC的中位线，同理，是的中位线，，根据三角形三边关系可知：，当，，三点共线时，最大，且最大值为．10．解：如图，延长到，使，连接，，∵，，∴，，∴，∵点是中点，∴是的中位线，∴，∵，∴点、、三点在一条直线上时，有最大值，∴的最大值为，∴线段的最大值为．故答案为：11．解：连接，，点E是的中点，的中点为G．，，点F是上的动点，当点F运动到点时，即与重合，最大，则最大，，，，，，，的最大值是．12．66解：（1）如图，在延长线上截取，连接，，∵▱ABDE，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，的最小值是；（2）由（1）得，，的最大值是．三、解答题13．（1）解：∵，∴都是直角三角形，∵，，∴，在中，∴，，∴；（2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长，过A作交的延长线于F，∴，∴，∴，∴的最小值是5．14．解：取的中点，的中点，连接，，，，如图：

∵是∆ABC平移4个单位长度得到的，∴，∵点，分别是，的中点∴且满足：故即的最小值等于，最大值等于．15．解：如图，连接．

，分别是，的中点，是的中位线，，当最小时，最小．根据题意可知，当时，最小，即最小．在∆ABC中，，，，则．当时，，即，解得，的最小值是2.4．16．解：（1）∵过，∴，解得：，∴，∵交x轴于A点，令，∴，∴，∴，∴；（2）∵点P是x轴上一动点，设，∵与y轴交于点，∴设且点在上，∴，解得：，∴，∵过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，∴，，，分两种情况：∵，①M、N在C点左侧时即时，

∵，∴，②M、N在C点右侧时即时，

∵，∴，∴综上所述；（3）①由（2）知，∴当时，时S有最大值9，故答案为：9；②由（2）知，∵轴，且，，∵轴，∴，当以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形时，只需即可，∴，∴或，解得：或．故答案为：或．17．（1）证明：∵中，，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴的面积，∵，∴四边形的面积的面积，当时，的值最小，∵的面积，∴，∴，∴的最小值为2.4．故答案为：6，2.4．18．（1）解：当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，∴,故答案为：．（2）解：如图1，当点在第二象限时，作于点．

∵，，∴．∴．∵，∴．令，则，点的坐标为，．∴．∴点的坐标为，∴点的纵坐标为．令，则，．∴点的坐标为当点在第三象限时，如图2，作交于