河南省地区联考2023-2024学年高二上学期豫选命题阶段性检测(一)数学试题

2023-2024学年河南省地区联考高二（上）段考数学试卷（一）一、单选题（共40分、每小题5分）1．（5分）空间四边形OABC中，，，，且，，则＝（）A． B． C． D．2．（5分）已知直线l的一个方向向量为（2，﹣1），且经过点A（1，0），则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣1＝0 D．x+2y﹣1＝03．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，，，，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则线段AC1的长为（）A． B． C． D．4．（5分）已知点（﹣3，﹣1）在直线3x﹣2y﹣a＝0的上方，则a的取值范围为（）A．a＞﹣7 B．a≥﹣7 C．a＜﹣7 D．a≤﹣75．（5分）在正三棱锥P﹣ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则等于（）A． B． C． D．6．（5分）已知点P（x，y）在直线x﹣y﹣1＝0上运动，则（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为（）A． B． C． D．7．（5分）设M为函数f（x）＝x2+3（0＜x＜2）图象上一点，点N（0，1），O为坐标原点，|OM|＝3，•的值为（）A．﹣4 B． C．4 D．18．（5分）如图，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法错误的是（）A．平面ABD⊥平面BCD B．线段PQ的最小值为 C．当AQ＝QC，4PD＝DB时，点D到直线PQ的距离为 D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为二、多选题（共20分，每小题5分）（多选）9．（5分）如图，设直线l，m，n的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k2＞k3 B．k2＜k1 C．k2＜k3 D．|k2|＞k1（多选）10．（5分）若，，与的夹角为120°，则λ的值为（）A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．1（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是 B．直线mx﹣y+1﹣m＝0必过定点（1，1） C．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2 D．经过点（1，3）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣4＝0（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．A1C⊥平面EFG B．点C到平面EFG的距离为 C．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球半径为 D．平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值为三、填空题（共20分）13．（5分）已知空间向量，，满足，，，，则向量与的夹角为．14．（5分）直线l1：x+2y+2＝0与直线l2：2x+4y﹣1＝0之间的距离为．15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点E在BD上，点F在B1C上，且BE＝CF，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①当点E是BD中点时，直线EF∥平面DCC1D1；②平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是六边形；③△B1PD1不可能为直角三角形；④△PDD1面积的最小值是．其中所有正确结论的序号是．16．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，则+的最大值为．四、解答题（共70分）17．（10分）已知向量（1）求；（2）求夹角的余弦值．18．（10分）已知直线l1：ax+2y+6＝0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0．（Ⅰ）当l1∥l2时，求a的值；（Ⅱ）当l1⊥l2时，求a的值．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．（1）以{、、}为一组基底表示向量；（2）若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝60°，求•．20．（12分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，﹣2）、B（4，﹣3）、C（3，1）．求：（1）边AC上的中线所在直线l2的方程；（2）△ABC的面积．21．（12分）已知直线l：kx﹣3y+2k+3＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．22．（14分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）求点B1到平面A2C2D2的距离；（3）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．

2023-2024学年河南省地区联考高二（上）段考数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题（共40分、每小题5分）1．（5分）空间四边形OABC中，，，，且，，则＝（）A． B． C． D．【考点】空间向量及其线性运算．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算法则求解．【解答】解：∵，∴N为BC的中点，∴＝，∴＝＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．2．（5分）已知直线l的一个方向向量为（2，﹣1），且经过点A（1，0），则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣1＝0 D．x+2y﹣1＝0【考点】直线的点斜式方程；直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．【答案】D【分析】根据已知条件，先求出直线l的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．【解答】解：直线l的一个方向向量为（2，﹣1），则直线l的斜率为，直线l过点A（1，0），则y﹣0＝，即x+2y﹣1＝0．故选：D．3．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，，，，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则线段AC1的长为（）A． B． C． D．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【答案】B【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果．【解答】解：由，可得，因为底面为矩形，，，，所以，，又＝＝，所以，则．故选：B．4．（5分）已知点（﹣3，﹣1）在直线3x﹣2y﹣a＝0的上方，则a的取值范围为（）A．a＞﹣7 B．a≥﹣7 C．a＜﹣7 D．a≤﹣7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【答案】A【分析】若点（﹣3，﹣1）在直线3x﹣2y﹣a＝0的上方，点代入等式左侧小于0，解得答案．【解答】解：若点（﹣3，﹣1）在直线3x﹣2y﹣a＝0的上方，则3×（﹣3）﹣2×（﹣1）﹣a＜0，解得：a＞﹣7．故选：A．5．（5分）在正三棱锥P﹣ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则等于（）A． B． C． D．【考点】空间向量及其线性运算．【答案】D【分析】本题是立体几何与空间向量的结合，基本思路是将转化为2，再结合图形，求出两向量的模及夹角余弦，用数量积的定义求解即得．【解答】解：由图所示，取AB中点D，连接OD，OA，因为正三角形ABC边长为2，O为△ABC中心，所以AO＝＝＝，DO＝＝，又PA＝AB＝2，D为AB中点，∴PD＝＝，∴PO＝＝＝，cos∠DPO＝＝，∴＝2＝＝．故选：D．6．（5分）已知点P（x，y）在直线x﹣y﹣1＝0上运动，则（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为（）A． B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【答案】A【分析】（x﹣2）2+（y﹣2）2表示点P（x，y）与（2，2）距离的平方，求出（2，2）到直线x﹣y﹣1＝0的距离，平方即可得到最小值．【解答】解：∵点（2，2）到直线x﹣y﹣1＝0的距离d＝＝，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为．故选：A．7．（5分）设M为函数f（x）＝x2+3（0＜x＜2）图象上一点，点N（0，1），O为坐标原点，|OM|＝3，•的值为（）A．﹣4 B． C．4 D．1【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】先根据题意可设M（x，x2+3），再根据|OM|＝3建立方程，从而得M点坐标，最后根据向量的数量积的坐标运算，即可求解．【解答】解：根据题意可设M（x，x2+3），0＜x＜2，∴|OM|＝＝3，∴x4+7x2﹣18＝0，∴x2＝2，又0＜x＜2，∴x＝，∴M（，5），又N（0，1），O（0，0），∴，，∴＝﹣4．故选：A．8．（5分）如图，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法错误的是（）A．平面ABD⊥平面BCD B．线段PQ的最小值为 C．当AQ＝QC，4PD＝DB时，点D到直线PQ的距离为 D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为【考点】平面与平面垂直；点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角．【答案】C【分析】取BD的中点O，易知OA⊥BD，OC⊥BD，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA⊥平面BDC，进而有平面ABD⊥平面BDC，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD．【解答】解：取BD的中点O，连接OA，OC，∵在菱形ABCD中，，∴OA＝OC＝2，又，∴OA2+OC2＝AC2，所以OA⊥OC，又易知OA⊥BD，OC⊥BD，因为OA⊥OC，OA⊥BD，OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BDC，因为OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC，故A正确；以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立坐标系，则，当AQ＝QC，4PD＝DB时，，，所以点D到直线PQ的距离为，故C错误；设P（a，0，0），设，可得Q（0，2﹣2λ，2λ），，当时，，故B正确；当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，，设PQ与AD所成的角为θ，则，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：C．二、多选题（共20分，每小题5分）（多选）9．（5分）如图，设直线l，m，n的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k2＞k3 B．k2＜k1 C．k2＜k3 D．|k2|＞k1【考点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【答案】BCD【分析】由题意，根据直线的倾斜角和斜率的定义，数形结合，得出结论．【解答】解：∵直线l，m，n的斜率分别为k1，k2，k3，由图可得，直线l的斜率为正值，即k1＞0，倾斜角为锐角；而直线m、n的斜率为负值，倾斜角为钝角，且直线n的倾斜角大于直线m的倾斜角，故有0＞k3＞k2，∴k1＞k3＞k2，故B、C正确，且A错误．由于直线m的倾斜角为钝角，直线l的倾角角为锐角，π减去直线m的倾斜角大于直线l的倾角斜，可得﹣k2＞k1＞0，故|k2|＞k1，故D正确，故选：BCD．（多选）10．（5分）若，，与的夹角为120°，则λ的值为（）A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．1【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【答案】AC【分析】利用向量夹角公式直接求解．【解答】解：∵，，与的夹角为120°，∴cos120°＝＝，解得λ＝﹣1或λ＝17．故选：AC．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是 B．直线mx﹣y+1﹣m＝0必过定点（1，1） C．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2 D．经过点（1，3）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣4＝0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；命题的真假判断与应用；直线的截距式方程．【答案】BC【分析】由已知结合直线垂直的条件检验选项A；结合直线系方程检验选项B；结合直线截距的概念检验选项C；结合直线方程的截距式检验选项D．【解答】解：若直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则3a（a+2）﹣2a＝0，解得a＝0或a＝﹣，A错误；由mx﹣y+1﹣m＝0可得m（x﹣1）﹣（y﹣1）＝0，当x＝1时，y＝1，即直线过定点（1，1），B正确；直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，C正确；直线y＝3x经过（1，3）且在x轴和y轴上截距都相等，D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．A1C⊥平面EFG B．点C到平面EFG的距离为 C．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球半径为 D．平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值为【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；二面角的平面角及求法．【答案】AB【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于B，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于C，根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于D，利用面面角的向量法求解即可判断．【解答】解：对于A，建立如图所示空间直角坐标系，则A1（2，0，2），C（0，2，0），E（1，0，0），F（2，1，0），G（1，2，2），所以，，，所以，，所以A1C⊥EG，A1C⊥EF，由于EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，所以A1C⊥平面EFG，A正确；对于B，由A可知，平面EFG的一个法向量为，，所以点C到平面EFG的距离为，B正确；对于C，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径为正方体的棱长，所以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球半径为1，C错误；对于D，平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ＝＝，D错误．故选：AB．三、填空题（共20分）13．（5分）已知空间向量，，满足，，，，则向量与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【答案】．【分析】根据已知条件，先求出，再结合平面向量的夹角公式求解即可．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵，∴，∴＝，即，解得，∴＝，∴．故答案为：．14．（5分）直线l1：x+2y+2＝0与直线l2：2x+4y﹣1＝0之间的距离为．【考点】两条平行直线间的距离．【答案】．【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解．【解答】解：直线l1：x+2y+2＝0，即2x+4y+4＝0，则所求距离为＝．故答案为：．15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点E在BD上，点F在B1C上，且BE＝CF，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①当点E是BD中点时，直线EF∥平面DCC1D1；②平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是六边形；③△B1PD1不可能为直角三角形；④△PDD1面积的最小值是．其中所有正确结论的序号是①④．【考点】棱柱的结构特征；命题的真假判断与应用．【答案】①④．【分析】①由线面平行的判定定理可判断；②作辅助线得到图形即可判断；③建立空间直角坐标系，由题中条件和向量知识可判断；④通过三角形的面积公式计算即可判断．【解答】解：对①，如图所示，因为E是BD中点，BE＝CF，所以点F是B1C的中点，连接B1C，显然F也是B1C的中点，连接DC，所以EF∥C1D，而EF⊄平面DCC1D1，DC1⊂平面DCC1D1，所以直线EF∥平面DCC1D1，①正确；对②，如图直线MN与C1B1C1D1的延长线分别交于M1N1，连接CM1，CN1，分别交BB1DD1M2N2，连接MM2NN2，则五边形MM2CNN2即为所得的截面图形，故②错误；以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则M（1，0，2），C（2，2，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），对③，设＝t（1，2，﹣2）（t∈[0，1]），则P（t+1，2t，﹣2t+2），则＝（1﹣t，﹣2t，2t），＝（﹣t﹣1，2﹣2t，2t），由∠B1PD1＝90°，即＝（1﹣t）（﹣t﹣1）+（﹣2t）（2﹣2t）+2t⋅2t＝9t2﹣4t﹣1＝0，解得，由，故存在点P，使得∠B1PD1＝90°，故④△B1PD1可能为直角三角形，③错误；对④，由③得P（t+1，2t，﹣2t+2）在DD1的投影为（0，2，﹣2t+2），故P到DD1的距离＝，∴△PDD1面积为×2d＝d＝（t∈[0，1]），当t＝时，S取得最小值为，④正确．故答案为①④．16．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，则+的最大值为+．【考点】基本不等式及其应用；点到直线的距离公式．【答案】见试题解答内容【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），＝（x1，y1），＝（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB＝1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），＝（x1，y1），＝（x2，y2），由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，可得A，B两点在圆x2+y2＝1上，且•＝1×1×cos∠AOB＝，即有∠AOB＝60°，即三角形OAB为等边三角形，AB＝1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，要求之和的最大值，此最大值是中点M到直线x+y＝1的距离的两倍，而中点M的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆，所以A，B点在第三象限，AB所在直线与直线x+y＝1平行，可设AB：x+y+t＝0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d＝，可得2＝1，解得t＝，即有两平行线的距离为＝，即+的最大值为+，故答案为：+．四、解答题（共70分）17．（10分）已知向量（1）求；（2）求夹角的余弦值．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用空间向量的模长公式求模长．（2）利用空间向量的数量积的应用求两个向量的夹角的余弦值．【解答】解：（1）因为，所以||＝．（2），，所以夹角的余弦值为．18．（10分）已知直线l1：ax+2y+6＝0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0．（Ⅰ）当l1∥l2时，求a的值；（Ⅱ）当l1⊥l2时，求a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【答案】见试题解答内容【分析】（I）由a（a﹣1）﹣2＝0，解得a＝2或﹣1．经过验证即可得出．（II）a＝1时，两条直线不垂直，舍去．a≠1时，由l1⊥l2时，∴﹣×＝﹣1，解得a．【解答】解：（I）由a（a﹣1）﹣2＝0，解得a＝2或﹣1．经过验证a＝2时两条直线重合，舍去．∴a＝﹣1．（II）a＝1时，两条直线不垂直，舍去．a≠1时，由l1⊥l2时，∴﹣×＝﹣1，解得a＝．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．（1）以{、、}为一组基底表示向量；（2）若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝60°，求•．【考点】空间向量的数量积运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．【解答】解：（1）∵M为线段AD的中点，∴，∵CD＝2BD，∴，∴＝＝＝＝＝＝；（2）•＝＝＝＝＝．20．（12分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，﹣2）、B（4，﹣3）、C（3，1）．求：（1）边AC上的中线所在直线l2的方程；（2）△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程与直线的性质；待定系数法求直线方程．【答案】（1）x+y﹣1＝0；（2）．【分析】（1）由题可得AC中点坐标，结合中线过B点，可得答案；（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高．【解答】解：（1）设AC边上的中点为D，则，即，故AC边上的中线BD所在直线的方程l3的斜率为，故l3为：y+3＝﹣（x﹣4），即x+y﹣1＝0；（2）边AC所在直线的方程为：，且，点B到直线AC的距离为：，故△ABC的面积：．21．（12分）已知直线l：kx﹣3y+2k+3＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【考点】恒过定点的直线．【答案】（1）（﹣2，1）；（2）[0，+∞）；（3）Smin＝4，x﹣2y+4＝0．【分析】（1）将直线l整理成关于k的方程，再构造x和y的方程组，解之即可；（