河南省商丘市部分学校2022-2023学年高三上学期11月质量检测理科数学试题

第页，共页河南省商丘市部分学校2022-2023学年高三上学期11月质量检测理科数学试题一、单选题（本大题共12小题）1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.已知集合，，则（

）A． B． C． D．3.榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫头），凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．现要在一个木头部件制作一个榫眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的榫眼的俯视图可以是（

）A． B．C． D．4.若，，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（

）A．27π B． C． D．16π6.若，，则一定有（

）.A． B． C． D．7.若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为π，要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（

）A．个单位长度 B．个单位长度C．个单位长度 D．个单位长度8.如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．9.已知，若3是与的等比中项，则的最小值为（

）A． B．7 C． D．910.如图，在体积为16的斜三棱柱中，P为棱上一点，三棱锥P-ABC的体积为4，则三棱锥的体积为（

）A． B．2 C．3 D．411.已知函数是定义域为R的偶函数为奇函数，当时，，若，则（

）A．2 B．0 C．-3 D．-612.已知函数，是其导函数，，恒成立，则（

）A． B．C． D．二、填空题（本大题共4小题）13.已知x，y满足约束条件，则的最小值为．14.已知向量，，且，则．15.已知函数，将的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则θ的最大值为．16.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，则该几何体的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题）17.在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：．18.产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位，好的宣传对产品打开市场，提高销售额有着重要的作用．某生产企业通过市场调研发现，年销售量y（万件）与宣传费用x（万元）的关系为．已知生产该产品y万件除宣传费用外还要投入万元，产品的销售单价定为元，假设生产的产品能全部售出．(1)求产品的年利润的解析式；(2)当宣传费用为多少万元时，生产该产品获得的年利润最大？19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．(1)求B；(2)若的周长为，求BC边上中线的长．20.如图，E，F分别为正方形ABCD的边AB，AD的中点，平面ABCD，平面ABCD，AC与EF交于点M，，，．(1)证明：平面PMC；(2)求点B到平面PEF的距离；(3)求二面角的大小．21.如图所示的几何体是由等高的个圆柱和半个圆柱组合而成，点G为的中点，D为圆柱上底面的圆心，DE为半个圆柱上底面的直径，O，H分别为DE，AB的中点，点A，D，E，G四点共面，AB，EF为母线．(1)证明：平面BDF；(2)若平面BDF与平面CFG所成的较小的二面角的余弦值为，求直线OH与平面CFG所成角的正弦值．22.已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，若，且，使得，证明：．

参考答案1.【答案】D【分析】利用复数运算求得，进而求得对应点所在象限.【详解】因为，所以，即，所以，故z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：D2.【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合，解绝对值不等式求得集合，由此求得.【详解】由，得或，所以；由，得或，所以或，从而．故选：C3.【答案】B【分析】利用排除法结合俯视图的定义和已知条件分析判断.【详解】法一：榫眼的形状和榫头一致，故榫眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知榫眼应为通透的，排除AD；又C选项的结构左下方部分缺了一块，这与榫眼的结构不符，符合条件的只有B．法二：因榫眼的制作部件为长方体，所以，C，D不正确；又榫眼应为通透的，所以A不正确，所以符合条件的只有B．故选B．4.【答案】B【分析】根据三角函数值域的求法求得中的范围，解分式不等式求得中的范围，由此判断出充分、必要条件.【详解】对于：由，得，，所以，即；对于：由，得，故p是q的必要不充分条件．故选：B5.【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，所以，所以圆锥的高为，所以，解得，故其表面积；故选：A．6.【答案】A【分析】根据不等式的性质可判断.【详解】解：根据，有，由于，两式相乘有，故选：A.7.【答案】D【分析】先求出函数的周期，然后根据函数解析式以及平移规则求解即可.【详解】由题意，得，解得，所以，其图象向左平移个单位长度，可得的图象，即为的图象，所以，解得，又，则；故选：D．8.【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取的中点D，连接交于点E，连接DE，则且，则为异面直线与所成的角或其补角．易求，，则，所以.故选：B．9.【答案】A【分析】根据等比中项的性质得，再结合基本不等式求的最小值.【详解】由题意得，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当，即，时等号成立．故的最小值为．故选：A10.【答案】A【分析】结合柱体、锥体体积公式以及几何体的结构求得正确答案.【详解】设三棱柱的底面积为S，其高为h，设三棱锥的高为，三棱锥的高为，则，，所以，即，又，即，所以，所以．故选：A11.【答案】C【分析】根据条件，可以证明是周期为4的周期函数，计算出和k，由周期性可得，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为为奇函数，所以，又为偶函数，所以，所以，即，所以，故是以4为周期的周期函数；由，易得，，所以，所以，，解得，；所以；故选：C．12.【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，结合导数研究函数的单调性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，所以，故A错误；因为，所以，又，所以，故B错误；因为，所以，，即，，因为，所以，，故C错误，D正确．故选：D13.【答案】9【分析】先画出可行性区域，再画出与目标函数平行的直线，平移直线即可求解.【详解】画出可行域（如图阴影部分），由图知当直线过点A时，z取得最小值，易求，代入得；故答案为：9.14.【答案】【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m，即可由坐标计算向量模.【详解】，由得，解得．则，故．故答案为：.15.【答案】【分析】求得在点处的切线方程，从而求得正确答案.【详解】依题意，，所以，故函数的图象在处的切线为，切线向上的方向与y轴正方向的夹角为，函数的图象绕原点旋转不超过时，仍为某函数图象，若超过，y轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故的最大值为．故答案为：16.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，运用空间坐标计算出外接球的球心和半径即可.【详解】以正方形ABCD的中心O为原点，过O点平行于AB的直线为y轴，过O点平行于BC的直线为x轴，EF的中点为M，以直线OM为z轴，建立空间直角坐标系如图：过F点作平面ABCD的垂线，垂足为G，在中，，由余弦定理得：在中，，，外接球的球心必定在线段OM上，设，则有：，即，解得：，即O就是外接球的球心，外接球半径，所以外接球表面积；故答案为：.17.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据条件，结合等比数列基本量，列等式求，即可求数列的通项公式；（2）根据（1），再利用裂项相消法求数列的和，根据数列的单调性，即证明不等式.【详解】（1）设数列的公比为q，由题意知，即，因为，，所以，所以，所以．（2）证明：由（1）得，所以，所以，所以．显然单调递增，所以，因为，所以，所以．18.【答案】(1)(2)1万元【分析】(1)根据利润等于总收入减去成本和宣传费用，写出函数解析式即可；(2)结合（1）的解析式，利用基本不等式即可求出最值，进而求解.【详解】（1）．（2）由（1）知，所以，当且仅当，即时等号成立．所以当宣传费用为1万元时，生产该产品获得的年利润最大．19.【答案】(1)(2)．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求.（2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC边上中线的长．【详解】（1）由，有，又，所以，即，由余弦定理，得．又，所以，由及正弦定理，得，所以，由，得，所以，解得.（2）由（1）可知，，所以，所以，由，得．因为的周长为，所以，解得．设BC的中点为D，则，如图所示:在中由余弦定理，得：，所以BC边上中线的长为．20.【答案】(1)证明见解析(2)1(3)90°．【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）将点B到平面PEF的距离，转化为点O到平面PEF的距离，结合相似三角形对应边成比例求得正确答案.（3）判断出二面角的平面角，解三角形求得二面角的大小.【详解】（1）连接BD，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以．因为四边形ABCD为正方形，所以，又，所以，又AC，平面PMC，，所以平面PMC．（2）由（1）知，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF．设AC与BD的交点为O，则点B到平面PEF的距离等于点O到平面PEF的距离，由（1）知平面PMC，又平面PEF，所以平面平面PMC，作，N为垂足，因为平面平面且交线为，平面PMC，所以平面PEF．因为，，E，F为AB，AD的中点，所以，，，由得，得，即点B到平面PEF的距离为1．（3）由平面PMC可得，同理可证，所以为二面角的一个平面角，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，同理，又，，所以，所以，即二面角的大小为90°．21.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）过构造与平面平行的平面，通过面面平行，即可证明线面平行；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合已知二面角的余弦值求得圆柱的高与底面半径之间的关系，再由向量法求解线面角即可.【详解】（1）证明：取EF的中点M，连接OM，HM，又O为DE的中点，所以，又平面BDF，平面BDF，所以∥平面BDF，因为，，H，M分别为AB，EF的中点，所以，且，所以四边形BFMH为平行四边形，所以，又平面BDF，平面BDF，所以平面BDF，又OM，平面OMH，，所以平面平面BDF，因为平面OMH，所以平面BDF．（2）由题意知CB，CF，CD两两垂直，故以点C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设圆柱的底面半径为r，高为h，则，，，，，，，所以，，，，．设平面BDF的一个法向量，则，即令，解得，，所以；设平面CFG的一个法向量，则，即令，解得，，所以，所以，化简，得，所以，所以，．设OH与平面CFG所成的角为，所以．22.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号