北师大版初中数学九年级上册用树状图或表格求概率第一课时教案

北师大版初中数学九年级上册用树状图或表格求概率第一课时教案

一、教学设计的立意思考与前沿理念

本节课是概率论初步知识体系中的关键节点，标志着学生从对随机现象的定性感知，正式迈入定量分析的科学阶段。在信息爆炸与大数据时代，概率思维已成为公民科学素养与理性决策能力的核心组成部分。本设计立足于数学核心素养的培育，特别是数据分析观念与模型思想的构建，超越单纯技能传授的局限。教学以“理解样本空间是分析所有等可能结果的基础”为统摄性观念，将列表法与树状图定位为系统化、结构化枚举样本空间的思维工具，而非孤立的解题步骤。设计深度融合探究式学习理念，通过精心设计的、富有认知冲突与层次递进的问题链，驱动学生亲历数学化的过程，即从现实情境抽象出概率模型，运用工具分析模型，最终回归解释与预判现实。同时，引入跨学科视角（如遗传学、游戏设计、简单经济决策），展现概率作为通用语言的强大力量，旨在培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的综合能力，使教学设计服务于学生的终身发展。

二、教学要素分析

教学对象分析：

九年级学生已具备一定的逻辑思维能力与分类讨论意识，在七年级下册“等可能事件的概率”中，已初步接触“所有等可能结果”的概念，并能用直接枚举法（如编号、列举）解决一步或极简单的两步概率问题。然而，他们的思维往往呈现碎片化、无序化的特点，当事件涉及多个步骤或因素时，极易出现重复、遗漏或对“等可能性”理解偏差的情况。同时，学生普遍存在“工具与思维割裂”的倾向，容易将列表或画树状图视为一项机械任务，而忽略其对厘清复杂样本空间、确保枚举系统性的根本价值。情感与动机上，他们对与现实生活紧密相关的、具有游戏或探索性质的问题抱有浓厚兴趣，但对抽象的、步骤严谨的思维训练可能存在畏难情绪。因此，教学需搭建从无序尝试到有序思维的认知阶梯，在活动中让学生切身感受到工具带来的思维清晰性与解题效率的提升，从而内化方法，激发深度学习的动力。

教学内容定位：

本节课是北师大版九年级上册第三章“概率的进一步认识”的起始课。它上承七年级初步概率概念，下启后续频率估计概率、概率应用等深化内容。核心教学内容为：在涉及两个或以上步骤的随机试验中，如何系统、不重不漏地列出所有等可能的结果（即构建样本空间），并在此基础上计算指定事件的概率。列表法和树状图法是实现这一目标的两种可视化、结构化的工具。列表法适用于涉及两个因素（或步骤），且每个因素可能结果数目适中的情形，呈现矩阵式结构，直观体现所有组合。树状图法则更具普适性，能清晰展现事件发生的层级、步骤与分支，尤其适合两步以上或因素间有关联的情形。二者的本质均是样本空间的图形化表征，选择何种工具取决于问题的具体特征，其深层教学目标是一致的：培养学生思维的条理性、严谨性和全面性。

教学目标设置：

1.知识与技能目标：理解两步试验中样本空间的含义；掌握用列表法或画树状图法列举两步试验所有等可能结果的方法；能运用这两种方法计算简单两步试验中事件的概率。

2.过程与方法目标：经历从具体情境中抽象出概率模型、探索系统枚举方法的过程，体会分类、有序、符号化等数学思想。通过对比列表法与树状图法的异同，发展根据问题特征选择合适工具的策略性思维。

3.情感态度与价值观目标：在解决问题的过程中，体验数学工具的简洁与力量，增强学好数学的信心。通过概率与游戏公平性、生活决策等联系，认识数学的广泛应用价值，培养理性精神与科学态度。

教学重点与难点：

教学重点：理解和掌握用列表法或画树状图法不重不漏地列举两步试验的所有等可能结果。

教学难点：理解“等可能性”的前提；自觉、恰当地选择或建构工具来表征样本空间；从列举所有结果的过程中抽象出一般性方法。难点的突破依赖于在丰富情境中反复辨析“所有等可能结果”是什么，并通过对比不同表征方式的优劣，引导学生进行策略性反思。

教学准备：

教师准备：交互式电子白板课件（内含动态演示的树状图生成过程、列表法动画）、设计好的探究学习任务单、实物教具（两枚质地均匀的硬币、一个骰子、红白两色小球若干）。

学生准备：复习七年级下册概率初步知识；准备铅笔、尺规、草稿本。

课时安排：

1课时（45分钟）

三、教学过程实施

（一）情境唤疑，锚定核心问题（预计用时：5分钟）

活动开场，教师向学生呈现一个经典而富有挑战性的问题：“小明和小红准备玩一个游戏。规则是：连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次。若两次抛掷结果相同（即两次都是正面，或两次都是反面），则小明获胜；若两次抛掷结果不同（即一正一反），则小红获胜。请问，这个游戏公平吗？”

学生基于直觉和生活经验，可能会有不同猜测。教师不急于评判，而是引导学生将“游戏是否公平”转化为数学问题：“判断游戏公平与否，本质是比较什么？”引导学生答出：“比较他们各自获胜的概率是否相等。”

教师追问：“那么，如何计算小明获胜的概率呢？”学生可能回忆起七年级所学的公式：P(A)=事件A发生的所有可能结果数/所有等可能结果的总数。教师予以肯定，并点明关键：“这里，‘所有等可能结果’具体指什么？我们如何能清晰、完整、不重不漏地找到它们？这就是本节课我们要攻克的核心课题。”

设计意图：以游戏公平性这一极具吸引力和现实意义的问题切入，迅速激发学生的探究欲望。将现实问题数学化，明确本节课的核心任务——如何系统、全面地枚举“所有等可能结果”，为引出树状图和列表法做好认知铺垫，使学习目标清晰可见。

（二）探究建模，初建思维工具（预计用时：15分钟）

探究活动一：从无序到有序——树状图的自然生成

教师请学生首先独立思考，尝试找出“抛一枚硬币两次”的所有可能结果。学生可能会直接写出“正正、正反、反正、反反”，也可能会有遗漏或重复。教师邀请不同方法的学生上台展示。

教师引导：“大家看看这些结果，有没有什么共同特点？描述它们时涉及了几个步骤？”学生明确：涉及“第一次抛”和“第二次抛”两个步骤。教师提出：“我们能否用一个清晰的‘地图’来描绘出所有可能的路径呢？”

此时，教师利用课件动态演示树状图的生成过程。首先出现一个起点，代表试验开始。从起点出发，分出两个分支，分别代表第一次抛掷的两种等可能结果：“正面”（标记为“正1”）和“反面”（标记为“反1”）。接着，教师强调：“然后我们进行第二步。注意，对于第一次抛出的每一个结果，第二次抛掷都同样有‘正’和‘反’两种可能。”于是，从“正1”末端，再分出两个分支：“正2”和“反2”；同样，从“反1”末端也分出“正2”和“反2”。最终，从起点到每一个“末梢”（叶子节点）的路径，就代表一种可能的结果。引导学生读出四条路径：正1-正2，正1-反2，反1-正2，反1-反2。

教师板书规范树状图画法，强调步骤分明、标记清晰。然后，引导学生根据树状图进行计算：所有等可能结果数n=4。小明获胜（两次相同）包含“正正”和“反反”2种结果，概率为2/4=1/2。小红获胜（两次不同）包含“正反”和“反正”2种结果，概率同为1/2。游戏公平。

探究活动二：从图形到矩阵——列表法的对比引出

教师提出新情境：“若将游戏规则改为：抛掷一枚硬币一次，同时投掷一个质地均匀的骰子一次。观察硬币的正面朝上和骰子的点数。问：‘硬币正面朝上且骰子点数为偶数’的概率是多少？”

学生可能自发尝试画树状图。教师肯定其可行性，并请一名学生简述画法：第一层是硬币的两种结果（正、反），第二层是每个硬币结果下，骰子的6种结果（1,2,3,4,5,6）。此时树状图将有2*6=12个末端。

教师启发：“对于这种一个试验涉及两个‘因素’（硬币状态和骰子点数），且每个因素的可能结果都比较明确、独立的情况，有没有另一种更紧凑的表示方法呢？”引导学生观察，所有结果实际上是由硬币状态和骰子点数共同决定的“有序对”。教师示范列表法：画一个表格，第一行列出骰子的所有可能点数（1至6），第一列列出硬币的所有可能状态（正、反）。表格内部的每一个单元格，就对应一个唯一的结果（如“正，3”）。

引导学生对比两种方法：树状图像一棵生长的树，清晰展示过程与步骤；列表法则像一个棋盘，直观呈现所有组合，尤其当两个因素结果数明确且相对较少时，显得非常简洁。教师总结：二者都是枚举样本空间的有效工具，树状图更强调“过程”与“顺序”，列表法更强调“组合”与“对映”。

设计意图：通过两个递进的探究活动，让学生亲历思维工具的诞生过程。第一个活动着重展示如何从无序列举升华到结构化的树状图，理解其“分步展开”的核心思想。第二个活动在自然运用树状图的基础上，通过问题特征的微妙变化，引出列表法，并在对比中让学生初步体会工具选择与问题情境的关联性，培养策略意识。

（三）辨析内化，深化概念理解（预计用时：10分钟）

此环节设计一系列辨析性问题，通过师生、生生对话，深化对“等可能性”和工具本质的理解。

辨析问题1：“袋中有两个小球，一红一白。先后摸出两个球（不放回）。‘第一次摸到红球，第二次摸到白球’与‘第一次摸到白球，第二次摸到红球’，是同一个结果吗？它们的概率一样吗？请用合适的方法分析。”

学生通过画树状图（或列表，但列表需注意不放回带来的不对称性），发现：所有可能结果有（红，白）和（白，红）两种，且每种结果等可能。教师追问：“如果写成{一红一白}这样一个结果，对吗？”引导学生辨析：在“不放回”的序贯试验中，“顺序”是试验的内在部分，必须区分（红，白）和（白，红），它们虽然最终拿到手里的球颜色组合相同，但作为过程结果是不同的、等可能的。这强化了树状图在体现“顺序”方面的优势。

辨析问题2：“抛掷两枚质地均匀的硬币，观察朝上的面。有人说，所有可能结果是‘两正’、‘两反’、‘一正一反’三种，所以‘一正一反’的概率是1/3。这个说法对吗？为什么？”

这是经典的“等可能性”理解误区。让学生先讨论，再用树状图（或列表）严格证明：将两枚硬币区别为硬币A和硬币B，则结果有（A正B正）、（A正B反）、（A反B正）、（A反B反）四种等可能情况。“一正一反”包含了中间两种，概率为2/4=1/2。教师强调：在列举“所有等可能结果”时，为了确保等可能性，有时需要对看似相同的物体进行区分（如编号），这是概率计算中至关重要的严谨性。

辨析问题3：“判断以下问题，更倾向于使用列表法还是树状图法？（1）从1,2,3三个数字中选两个，组成两位数。（2）先后抛掷三枚硬币。（3）从A、B两名男生和C、D、E三名女生中，随机选一名男生和一名女生组成搭档。”

通过快速判断，引导学生归纳选择工具的策略性思考：涉及明确两步（或两因素），且结果可整齐对映时，列表法简洁；涉及两步以上，或步骤间结果相互影响（如不放回），或需要清晰展示过程阶段时，树状图更优。但两者并无绝对界限，可灵活选用。

设计意图：本环节是学生思维从“会用工具”走向“懂其原理”的关键。通过辨析，直击学生认知的模糊地带与常见错误（如忽视顺序、混淆组合与排列、对等可能性理解偏差），在冲突与修正中，深化对概率基本概念和工具适用性的理解，提升思维的批判性与精确性。

（四）变式演练，促进迁移应用（预计用时：10分钟）

提供分层、变式的练习任务，让学生在解决稍复杂问题的过程中巩固方法，实现迁移。

基础巩固：

1.一个转盘被分成相等的四个扇形，分别标有数字1,2,3,4。转动转盘两次，记录每次停止后指针所指的数字。请用树状图列出所有可能结果，并计算“两次数字之和为5”的概率。

2.从一副扑克牌的梅花、红桃、黑桃、方片中，随机抽取一张，记录其花色；再放回，随机抽取一张，记录其花色。请用列表法列出所有可能结果，并计算“两次抽到不同花色”的概率。

能力提升：

3.小颖有两件不同的上衣（记为A，B）和三条不同的裙子（记为X,Y,Z）。若她每天随机选择一件上衣和一条裙子搭配，请用合适的方法分析“她今天恰好穿B上衣和Y裙子”的概率。若上衣A与裙子Z搭配不美观，她不会这样穿，那么此时“她穿B上衣和Y裙子”的概率又是多少？（此题引导学生处理“非等可能”或“有条件约束”的情形，思考工具如何帮助分析样本空间的变化）

4.（跨学科联系）在生物学中，控制豌豆植株高茎（D）和矮茎（d）的基因遵循分离定律。将高茎（Dd）植株自花授粉，后代基因型有DD，Dd，dd三种可能。试用树状图模拟这一遗传过程，并计算后代为高茎（表现为D_，即DD或Dd）的概率。

教师巡视指导，重点关注学生工具的规范使用、等可能性的判断以及计算的准确性。对能力提升题，组织小组讨论或全班交流，分享不同的解题策略和跨学科见解。

设计意图：通过基础题巩固技能，通过变式题挑战思维。特别是引入带有约束条件的概率问题和跨学科（遗传学）情境，拓宽了概率工具的应用视野，让学生体会数学模型的普适性，实现知识从数学内部到外部的有效迁移，提升解决真实、复杂问题的能力。

（五）回顾梳理，建构认知体系（预计用时：5分钟）

教师引导学生共同回顾与总结，形成结构化知识网络。通过提问引导反思：

1.我们今天学习了解决哪一类概率问题的关键方法？（两步或两步以上试验）

2.两种核心工具是什么？它们的核心思想有何异同？（树状图：分步展开，体现过程与顺序；列表法：矩阵组合，体现因素对映。本质都是系统枚举样本空间。）

3.在使用这些工具时，最需要我们警惕、确保的关键前提是什么？（明确“所有等可能的结果”是什么，必要时通过编号、区分顺序来保证等可能性。）

4.你能举例说明，在生活中的哪些决策或分析中，可能会用到今天学到的方法吗？

教师进行纲要性总结，并升华主题：树状图和列表法是我们为“不确定性”绘制“确定性地图”的强大工具。它们将混沌的随机世界，通过清晰的逻辑与结构呈现出来，使我们能够进行理性的量化分析。这正是数学的力量所在。

设计意图：引导学生从具体方法上升到思想层面，梳理知识结构，凝练核心观点。通过联系生活实际，强化学科价值认同。总结不仅回顾知识，更点明数学在认识世界中的理性力量，完成情感与价值观的升华。

四、教学评析与拓展

分层作业设计：

1.必做题：教科书对应章节的基础练习题，重点巩固用树状图或列表法求两步试验概率的规范步骤。

2.选做题：（探究性）设计一个对双方都公平的“猜拳”进阶游戏规则（例如，涉及两次出拳，或混合其他元素），并用今天所学方法验证其公平性。（实践性）调查一种简单的抽奖活动规则（如超市转盘抽奖），尝试用概率工具分析顾客中奖的可能性。

3.挑战题：（为学有余力者准备）探究：有三张卡片，分别写有数字1,2,3。随机依次取出两张（不放回），用树状图列出所有可能结果。请问，第一次取出的数字比第二次大的概率是多少？若改为“放回”抽取呢？比