数学压轴试题及答案

数学压轴试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，若f(-1)=0，f(1)=4，f'(0)=3，则f(2)的值为（）（2分）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】由f(-1)=0得-a+b-c+d=0，由f(1)=4得a+b+c+d=4，两式相减得2b=4，b=2。由f'(x)=3ax^2+2bx+c，f'(0)=c=3。代入f(1)=4得a+2+c+d=4，即a+d=1。代入f(2)=8a+4b+2c+d得f(2)=8a+8+6+d=8a+d+14=8(a+d)+14=22，所以f(2)=9。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则角B的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+9-7)/(2×2×3)=3/4，B=arccos(3/4)=60°。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_(n-1)+2n，则a_5的值为（）（2分）A.21B.25C.29D.33【答案】B【解析】a_2=a_1+4=5，a_3=a_2+6=11，a_4=a_3+8=19，a_5=a_4+10=29，所以a_5=25。4.若函数y=f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为3，则f(2)-f(1)等于（）（2分）A.3B.6C.9D.无法确定【答案】A【解析】函数的平均变化率=(f(2)-f(1))/(2-1)=3，所以f(2)-f(1)=3。5.已知圆O的半径为2，点P在圆上，则OP与圆O的切线之间的距离的最大值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】设切线为l，OP与l垂直，切点到圆心的距离为半径2，所以OP与l之间的距离的最大值为2。6.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，则向量AB的模长为（）（2分）A.√2B.2√2C.3√2D.√10【答案】D【解析】|AB|=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3。8.若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为（）（2分）A.1B.-1C.√2D.1/√2【答案】A【解析】斜率k=tan45°=1。9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)等于（）（2分）A.1B.-2C.2D.-1【答案】B【解析】奇函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，所以f(-1)=-f(1)=-2。10.在等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则a_3等于（）（2分）A.4B.8C.2√2D.4√2【答案】B【解析】由等比数列的性质得a_3^2=a_1a_4=16，a_3=±4，又因为a_4>0，所以a_3=8。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若a>b，则a^2>b^2C.若函数f(x)在x=x_0处取得极值，则f'(x_0)=0D.增函数一定有反函数【答案】A、C【解析】A.空集是任何集合的子集，正确；B.若a>b>0，则a^2>b^2，不一定成立，如a=-1，b=-2；C.可导函数在极值点处导数为0，正确；D.增函数不一定有反函数，如y=x^3在R上单调递增，但不是一一对应的，所以没有反函数。2.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2-xC.y=1/xD.y=lnx【答案】A、D【解析】A.y=x^2在(0,1)上单调递增；B.y=2-x在(0,1)上单调递减；C.y=1/x在(0,1)上单调递减；D.y=lnx在(0,1)上单调递增。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n，则{a_n}是（）（4分）A.等差数列B.等比数列C.常数列D.以上都不对【答案】A【解析】由a_n=S_n/n得a_1=S_1/1=a_1，a_2=S_2/2=(a_1+a_2)/2，解得a_2=2a_1，同理a_3=3a_1，所以a_n=na_1，{a_n}是等差数列。4.下列函数中，在定义域内存在零点的有（）（4分）A.y=x^2-1B.y=1/xC.y=sin(x)D.y=cos(x)【答案】A、C、D【解析】A.y=x^2-1在x=±1时取零值；B.y=1/x在x=0时无定义；C.y=sin(x)在x=kπ+π/2(k∈Z)时取零值；D.y=cos(x)在x=kπ(k∈Z)时取零值。5.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则下列命题中，正确的有（）（4分）A.存在x_1∈(0,1/2)，使得f(x_1)=0B.存在x_2∈(1/2,1)，使得f(x_2)=0C.存在x_3∈(0,1)，使得f'(x_3)=0D.存在x_4∈(0,1)，使得f(x_4)=f(x_4+1)【答案】A、C、D【解析】A.由连续函数的零点存在性定理，存在x_1∈(0,1/2)，使得f(x_1)=0；B.不一定成立，如f(x)=x(x-1)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0，但除了x=0和x=1外没有其他零点；C.由罗尔定理，存在x_3∈(0,1)，使得f'(x_3)=0；D.由f(0)=f(1)，存在x_4∈(0,1)，使得f(x_4)=f(x_4+1)。三、填空题（每题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的极小值点为______。（4分）【答案】1【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，所以x=1是极小值点。2.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，则数列的前10项和S_10等于______。（4分）【答案】90【解析】由a_5=a_1+4d得14=2+4d，d=3，S_10=10a_1+10×9/2×d=10×2+45×3=90。3.若直线l过点A(1,2)，且与直线l_1：x-y+1=0垂直，则直线l的方程为______。（4分）【答案】x+y-3=0【解析】直线l_1的斜率为1，所以直线l的斜率为-1，过点A(1,2)，方程为y-2=-1(x-1)，即x+y-3=0。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB等于______。（4分）【答案】3/4【解析】由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+9-7)/(2×2×3)=3/4。四、判断题（每题2分，共10分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上连续。（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增的函数不一定是连续的，如狄利克雷函数在R上单调递增，但不连续。2.若a>b，则√a>√b。（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则√a不存在，√b不存在，不能比较大小。3.若函数f(x)在x=x_0处取得极值，则f'(x_0)=0。（）（2分）【答案】（×）【解析】可导函数在极值点处导数为0，但不可导函数在极值点处导数不一定为0，如f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但不可导。4.等比数列{a_n}中，若a_1>0，q>1，则{a_n}是单调递增数列。（）（2分）【答案】（×）【解析】等比数列{a_n}是单调递增数列的条件是a_1>0且q>1，但如果a_1<0，q>1，则{a_n}是单调递减数列。5.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)在区间[0,1]上必有界。（）（2分）【答案】（√）【解析】由连续函数的有界性定理，连续函数在闭区间上必有界。五、简答题（每题5分，共15分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值。（5分）【答案】最大值为8，最小值为-16。【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，所以最大值为8，最小值为-16。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n-1，求证{a_n}是等差数列。（5分）【答案】证明：由a_n=S_n/n-1得a_1=S_1/1-1=a_1-1，所以a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n/n-1，a_(n-1)=S_(n-1)/(n-1)-1，两式相减得a_n-a_(n-1)=S_n/n-S_(n-1)/(n-1)，即a_n-a_(n-1)=a_n/(n-1)，所以a_(n-1)=(n-1)a_n-a_n，即a_(n-1)=(n-2)a_n，所以a_n/a_(n-1)=(n-1)/(n-2)，所以a_n/a_(n-1)=2，所以{a_n}是等差数列。3.已知直线l过点A(1,2)，且与直线l_1：x-y+1=0垂直，求直线l的方程。（5分）【答案】x+y-3=0【解析】直线l_1的斜率为1，所以直线l的斜率为-1，过点A(1,2)，方程为y-2=-1(x-1)，即x+y-3=0。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点，并判断极值的类型。（10分）【答案】极值点为x=1，x=2，x=1处取得极大值，x=2处取得极小值。【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=0，f''(2)=6>0，所以x=1是极大值点，x=2是极小值点。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n，求证{a_n}是等差数列。（10分）【答案】证明：由a_n=S_n/n-1得a_1=S_1/1-1=a_1-1，所以a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n/n-1，a_(n-1)=S_(n-1)/(n-1)-1，两式相减得a_n-a_(n-1)=S_n/n-S_(n-1)/(n-1)，即a_n-a_(n-1)=a_n/(n-1)，所以a_(n-1)=(n-1)a_n-a_n，即a_(n-1)=(n-2)a_n，所以a_n/a_(n-1)=(n-1)/(n-2)，所以a_n/a_(n-1)=2，所以{a_n}是等差数列。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点，并判断极值的类型。（25分）【答案】极值点为x=1，x=2，x=1处取得极大值，x=2处取得极小值。【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=0，f''(2)=6>0，所以x=1是极大值点，x=2是极小值点。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n，求证{a_n}是等差数列。（25分）【答案】证明：由a_n=S_n/n-1得a_1=S_1/1-1=a_1-1，所以a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n/n-1，a_(n-1)=S_(n-1)/(n-1)-1，两式相减得a_n-a_(n-1)=S_n/n-S_(n-1)/(n-1)，即a_n-a_(n-1)=a_n/(n-1)，所以a_(n-1)=(n-1)a_n-a_n，即a_(n-1)=(n-2)a_n，所以a_n/a_(n-1)=(n-1)/(n-2)，所以a_n/a_(n-1)=2，所以{a_n}是等差数列。---标准答案：一、单选题1.B2.C3.B4.A5.B6.D7.C8.A9.B10.B二、多选题1.A、C2.A、D3.A4.A、C、D5.A、C、D三、填空题1.12.903.x+y-3=04.3/4四、判断题1.（×）2.（×）3.（×）4.（×）5.（√）五、简答题1.最大值为8，最小值为-16。2.证明：由a_n=S_n/n-1得a_1=S_1/1-1=a_1-1，所以a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n/n-1，a_(n-1)=S_(n-1)/(n-1)-1，两式相减得a_n-a_(n-1)=S_n/n-S_(n-1)/(n-1)，即a_n-a_(n-1)=a_n/(n-1)，所以a_(n-1)=(n-1)a_n-a_n，即a_(n-1)=(n-2)a_n，所以a_n/a_(n-1)=(n-1)/(n-2)，所以a_n/a_(n-1)=2，所以{a_n}是等差数列。3.x+y-3=0六、分析题1.极值点为x=1，x=2，x=1处取得极大值，x=2处取得极小值。2.证明：由a_n=S_n/n-1得a_1=S_1/1-1=a_1-1，所以a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n/n-1，a_(n-1)=S_(n-1)/(n-1)-1，两式相减得a_n-a_(n-1)=S_n/n-S_(n-1)/(n-1)，即a_n-a_(n-1)=a_n/(n-1)，所以a_(n-1)=(n-1)a_n-a_n，即a_(n-1)=(n-2)a_n，所以a_n/a_(n-1)=(n-1)/(n-2)，所以a_n/a_(n-1)=2，所以{a