课时2 正方形的判 定课件 2026-2027学年北师大版 数学 九年级上册

1.4课时2正方形的判定1.正方形的定义：有一组

，且有

的平行四边形是正方形.邻边相等

一个角是直角邻边相等矩形〃〃正方形〃

菱形一个角是直角正方形∟〃矩形、菱形还可以补充什么条件得到正方形？正方形不仅是平行四边形，还是矩形和菱形.2.观察下图，并说说你有什么发现？探究一:正方形的判定活动1：观察由一张矩形纸片折叠剪出一个正方形的视频，说说你的发现，猜想满足怎样条件的矩形是正方形?猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形.猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.证一证已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形.猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.证一证猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.正方形的判定：符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，所以四边形ABCD是正方形.定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四边形ABCD是正方形.定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.ABCDO活动2：由活动1可知，满足一些条件的矩形是正方形，那么同学们猜想一下，满足怎样条件的菱形是正方形？可活动的菱形框架怎么进行活动才会变成正方形.正方形？猜想1:有一个角是直角的菱形是正方形.猜想2:对角线相等的菱形是正方形.证一证猜想1:有一个角是直角的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°，求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.证一证猜想2:对角线相等的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，AC=BD，求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD，∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）.又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.符号语言：在菱形ABCD中，∵∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.符号语言：在菱形ABCD中，∵AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.定理4：对角线相等的菱形是正方形.ADCBOABCD正方形的判定：正方形判定的几条途径：先判定菱形先判定矩形平行四边形正方形①有一个直角；②对角线相等矩形条件(二选一)正方形①一组邻边相等；②对角线垂直菱形条件(二选一)正方形①一组邻边相等且有一个直角②对角线相等且垂直1.满足下列条件的四边形是不是正方形？(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；(2)对角线互相垂直的矩形；(3)对角线相等的菱形；(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.()()()()√√√√已知：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形？FABECD探究二：正方形判定定理的综合应用问题1：要证明BECF是正方形，完整的思路是什么？先证明BECF是平行四边形再证明BECF是菱形（矩形）最后证明BECF是正方形FABECD问题2：写出证明过程，说说你解答过程中应用到的知识.证明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□

BECF是菱形.在△EBC中，∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.探究三：中点四边形我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.问题1:任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？画完和同学对比，说说你的发现.正方形问题2：得到猜想后，证明一下猜想是否正确.

ABCDHGFE213问题3：以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？和同学们进行交流，再说说理由.菱形的中点组成的四边形是矩形.矩形的中点组成的四边形是菱形.决定中点四边形形状的关键因素:对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形回顾这节课所学内容，回答下列问题.1.我们是从哪些角度探究正方形的判定定理的？2.运用正方形判定解决几何问题时，核心解题思路是什么？3.结合中点四边形的探究，你发现了什么规律？1.下列命题正确的是（）A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形D2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝ACB．BD＝DFC．AC＝BFD．CF⊥BFC3.