考研数学二（解答题）模拟试卷159

考研数学二(解答题)模拟试卷159

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

］、J1+sinr

tatkr-----+(

标准答案：C。"

知识点解析：暂无解析

2、设二维随机变量(X,Y)在区域b={(x,y)I1秘3号殍3}上服从均匀分布,求

Z=IX—YI的概率密度fz(z).

十.(x,y)ED9

标准答案：由已知，(X.Y)的概率密度为f(x,y)=其他•设Z=IX—

YI的分布函数为Fz(z),则Fz(z)=P{IX-YI<z}.当zVO时,Fz⑵=0,

当0Wz<2时，,z(z)=生华亚=

44

-^-(2-x),0<z<2,

当zN2时，/z(z)=l,从而〃z)=2'八

0,其他.

知识点解析：暂无解析

lncos(x-1)

vhm-----------------

z—11-s•in不7t工

3、

标准答案:

-sin(z-1)

sin(jr-1)

limIncosQ—立=limcosQT)=Alim7一

LIFTCx-*lKK7rliCOSVX-L)n

1—Sin-yx——cos-yxcos-x

sin(z-1)cos(z-1)£

cosfK工

乙

知识点解析：暂无解析

⑴咪IO),其中/⑷三阶可导,且尸3”燃，富条

fX=cos/2,

及富妨

(n)设的值.

y=/CO8f2-|cosu2du,

标准答案：

W'⑴-/(DJ'_…).

(I)-7=———II.J.—1—一■

<ixX,/”⑴广⑴

吗=t（如凯）=（）£=看=击，

dt

亚.当I也一1:广⑷

“<i/l/'（!）Jdx广2（,）广⑷

cos/2-2/2sinr2-cos/

(U也=L=（>。八翳=9）43=-短，

<lxX'(-sin/2)•2t

dy1

故吐=--------.

dxi=Hdx2

t=更

知识点解析：暂无解析

5、设y=y(x)由方程eX+6xy+x2-l=0确定，求尸(0).

标准答案：将x=0代入得y=0,ey+6xy+x2-l=0两边对x求导得

©3+6y+6z取+2z=0

dzdx将x=0,y=0代入得

e，驶+6y+6%里+2/=0两边再对x求导得

drax

呼「+e'尝+12¥+6z翱+2=0,

yXO)=O.dxdxzdxdr将x=0,y=0,

y'(0尸0代人得y''(0)=-2.

知识点解析：暂无解析

6、计算下列不定积分:

U）p^；

（I）

1+X2

dxra.sinx+6.cosx--

(ID)/(a•6)；(N)I——r—dM?+620)；

^(x-a)(b-x)Ja^inx+6COBX

(I+x2)arcsinx,

----------_—dx(VI)

x2yr^?J(1+x2)

标准答案：（I）采用凑微分法，并将被积函数变形，则有

J篇"以号靖=S（E-犬#-2）

=-1-（1+/）+-/FT?♦c.

（口）如果令匚

/1ZF

“1-4.计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便.于是

xdxx2dx

上运dx=f也22面=---+

/八一X2RM-7对于右端第一个积分，使用

（/="/]—?+C,

凑微分法,即可得到J/iF而第二个积分可使用代换

x=sint,则

=f业。“市=《-jiQ+C

Jcos/224

=---arceinx--%J\-x2+C

22

[x/，+!=-^-arcsinx-；(x+2)J\-B+C•

JVI-x22(HI)配方

dx________f_________dx_________=f___________dx___________

/(x-a)(A-x)J+6)x-x2-ab[(a-b)2(上a+C『

法.(W)对

此三角有理式，如果分子是asinx+bcosx-^（asinx+bcosx）,=acosx-bsinx的线性组

合，就很容易求其原函数，故设aisinx+bicosx=A（asinx+bcosx）+B（acosx—

bsinx).

a4-bBaa,+66.ab,一6a.

为此应有解得“拳学八丁丁

bA+aB

(也竺上竺空&=fdx+5fq土”小

故4

Jasinx+bco&xJJasinx+6cosx

aa+661abf-ba、.、

=­；1------x+------『In,asinx+6cosx+C.

a2+62a2+621(V)

.(arcsinx.farcsinx/记，.

J=—————dx+Idx=J|+J2.

记原式为J，先分项：J//F易凑微分得

I

J2=farcsinxdarcsinx=2arcsin2x+C.下求J].(VI)记原积分为J.作变量替换x=

TT

tanfIT

=sinfln/tanl+-）-f--d*

\cos!/Jcosr

=sintln（tant+」一）♦In|cos||

\cost/

变量还原得k）-yIn（l♦，）+C.

+x

知识点解析:暂无解析

7、设中，m，邛为3个11维向量，已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用

m,T]2,Q3线性表示，并且r(A尸n—3,证明中，碓，邛为AX=0的一个基础解

系.

标准答案：因为r(A)=n—3,所以AX=0的基础解系包含3个解.设YI，丫2,八是

AX=0的一个基础解系，则条件说明y,Y2，丫3可以用“1，1]2，巾线性表示.于是

有下面的关于秩的关系式:3=r(Yi，Y2，73)夕011，丹2,m；力，丫2，Y3)=r(ni，Q2,

n3H3,从而r(Yi，Y2，Y3尸r(ni，42，旦3；Yb72,Y3尸「011，3巾)，这说明川，

Q2,Q3和Y1，72，丫3等价，从而加，川2,"3也都是AX=0的解;又r(T)l，92，

T|3)=3,即1]],T|2，1]3线性无关，因此是AX=0的一个基础解系.

知识点解析：暂无解析

8、设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续(a,b>0),在(a,b)内可导.试证：在(a,b)

_±-|ab

内至少有一点：，使等式“一"/(。)/⑹=麓)一自?《)成立。

标准答案：

令FCr)=△型,GO；)=上，它们在区间［内切上连续，在(。㈤内可导，且GCr)=

xx

一方声0.满足柯西中值定理的三个条件,于是在(。而内至少有一点a使得

/(6)_/(g)

1。b=Qf(b)-bf(a)=ba

Qi/(a)/(6)-ai1二.

ba

=黜器=舞=狡)WO

知识点解析：暂无解析

9、设函数f(x)在［0,兀］上连续，且Jo"f(x)dx=J071f(x)cosdx=0.试证明在(0,兀)内至少

存在两个不同的点言，啦，使的1尸熊2)=0.

标准答案：令F(x)=Jo'f(t)dt,0<x<7t,则有F(0)=0,F(7C)=0.又因为

cosxdF(x)

=F(x)cosx|+(F(x)s\nxdx

=(F(x)sinx(lz,

所以存在乐(0,兀)，使F(9si忧=0,不然，则在

(0,兀)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与Jo'FJ/inxdxW)矛盾，但当斤(0,兀)时，

sin学0,故F《)=0.由以上证得，存在满足的&,使得F(O)=F《尸F(©=0,

再对F(x)在区间［0,反，&句上分别用罗尔定理知,至少存在引€(0,4)，殳€&

兀)，使得F(S=F&)=0,即f曰尸fa)=0.

知识点解析：暂无解析

maxmax/(x)<一

10、设f(x)=nx(l-x)n(n为自然数),(I)求，°」/f(x)；(口)求证：

,令［xl

标准答案：(I)先求「(x尸(nl-x)n"［l-(n+l)x］=O,得唯一驻点x=Xn=.又(口)

注意单调下降极限为

知识点解析：暂无解析

,oI-----dy

11、设函数x=x(y)由方程x(y—入厂=丫所确定，试求不定积分)丁一才.

标准答案：今y—x=t,则(y—t"2=y,故

k一，

N=yr=再、・

A_3产d-D—2c%_?-3i2.

dy——(”D尸.一布中

从而有

田上钙n

由

——3f_A,B,C.D

(产-1)2=E十(£-1产十中十a+1)2得R

3t=A(t3+r—t-*I)+B(r+2t+1)+C(t3-t2—t+l)+Dit2-2t+1)=(A+C)t3+(A+B-

C+D)t2+(-A+2B—C—2D)t-A+B+C+D.比较t的同次事的系数得

A+C=1,

A+B-C+D=O,

—A+2B—C—2D=-3*

—A+B+C+D=O.

解出A=C=D=],3=一孑,所以

J合力=当[占一^^+岩+^^]&

=}(inIL1+ln|f4-1-)+C

=帮"-1|+£)+c

lln10—l+__?)2_]+C

知识点解析：暂无解析

12、设函数f(y,v)具有二阶连续偏导数，函数g(y)连续可导，且g(y)在y=l处取

得极值g(l)=2.求复合函数z=f(xg(y),x+y)的二阶混合偏导数"打在点(1,1)处的

值.

dz

标准答案：计算可得8%=g(y)门(xg(y),x+y)+f2(xg(y),x+y),回

=g'(y)/l(xg(y)，x+y)+g(y)[『u(xg(y),x+y).xg'(y)+「i2(xg(y),x+y)]+f*”i(xg(y),

x+y).xg〈y)+「22(xg(y),x+y).将x=l与y=l代入并利用g(l)=2,g'⑴=0即得

=g'(l)fi(2,2)4-g(l)[f，n(2,2)g5(l)+f，i2(2,2)]+产21(2,2)g()+「22(2,2)

=2产12(2,2)+产22(2,2).

知识点解析：暂无解析

（）zz

13、设z=z（%,y）由%—yz+yJ厂丫=0确定，求'卫及dz.

标准答案：方程/一次+丫2一厂丫=0两边对为求偏导得

dz__

—五+八一=0,

解唬=一]

—1)'

方程%—yz+yZ*丫=0两边对y求偏导得

dz傍-1）=①

-3^——x+ey+ye

女=—2"二土

加=工二号出+

y(e“-r-1)

知识点解析：暂无解析

14、从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层.设在扩散的

过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变.已知其厚

度h的减少率与I?成正比，试证明：其半径r的增加率与J成反比.

标准答案：把V=7rJh看作隐式方程，其中「，h均为关于时间［的函数，两边同时

2rh当+/半=0，

对I求导.由于兀和V都是常数，所以有市dz由题意条件

生=_6〃3"=_二•他=且史，

力（ki为比例系数），代入上式，可得出2hdr2再将

人=工业=处._1=殳自=也），

一代入上式，可得由2//八2K2）即半径「的增

加率与F成反比.

知识点解析：暂无解析

15、设A,B均为n阶矩阵,E+AB可逆，化简(E+BA)叵B(E+AB).A].

标准答案：(E+BA)[E-B(E+AB)_,A]=E+BA-E(E+AB)'1A-BAB(E+AB)-1A=E+BA-

B(E+AB)(E+AB)',A=E+BA-BA=E.

知识点解析：暂无解析

某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将不熟练工

支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及

2

实践至年终考核有5成为熟练工。设第n年I月份统计的熟练工与非熟练工所占百

11同

分比分别为Xn和yn，记成向量”V。口

IJn.s

⑹求“丁晨系式-k

5x2/I\

31

标准答案：由题意得6化成矩阵形式为

「92_-「9

10r10

A

L.i13_1

LL

io亍」可见io亍」S

知识点解析：暂无解析

4T]

V21

17、验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应

的特征值；

4

标准答案：因为行列式1口，Q2I二11