重庆市九校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项a42bx,1a//bb（​2i 1

1

D.1mnα,β为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（ B.若mn，nα，则m/C.若mα，mβ，则α D.若mα，nα，则m//下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中O为圆台下底O2O1分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为2cm，O1O25cm，OO14cm，圆台下底面圆半径为5cm，则该组合体的表面积为

已知向量a，b满足a2b2ab2，且b1，则ab（

在VABCA，B，Ca，b，cAπb4，满足条件的VABCa的可能取值为A.2D.周长为（）A.

B.

C.

在三棱锥OABC中，VOAC，△OBC均是边长为 的等边三角形，当平面OAB平面ABC时，三棱锥OABC内切球的半径为（）

2

D.2选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.下列命题正确的有（在VABCA，B，Ca，b，c，下列结论正确的是a2b2c2，则VABC若cosAcosBcosC0，则VABC若sin2Asin2B，则VABCAB，则cosAcosD1A1上的动点，则下列说法正确的是（）存在点Q，使得PQ//平面 B.不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共PMBN的体积为

MBCN外接球的表面积为填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分设i是虚数单位，z512i，则z 已知向量a,b满足a ，b1,0，向量a在向量b上的投影向量的坐标为1,0，则a 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤SABCDABCDEFGHSBSDAB，ADSASCSBSD．GH//EFSACABCD​

VABCA，B，Ca，b，c，已知bsinBCasinBa2，求VABC如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，AB2，PAPD 平面PAD平面ABCD，E,F分别是PC，AD的中点.ADPBEBCF的体积2km的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为OAOB分别为公园的两条垂直边界道路.ABP，使得 2 P向OAOBPMPN，围出一个矩形OMPN，用于打造亲子游乐区，记该S1；PAPBAB，在VPABS2.请你尝试P的位置. 1 i enω，1ω2coskπ

i

n1

1

其中n2答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项a42bx,1a//bb（

D.【答案】a//b，所以42x0x222则b2,122

B正确2i 1【答案】

1

12i2i1i22iii231

1i1

1 2mnα,β为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（ B.若mn，nα，则m/C.若mα，mβ，则α D.若mα，nα，则m//【答案】【分析】利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可DmαnαmnD正确下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中O为圆台下底O2O1分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为2cm，O1O25cm，OO14cm，圆台下底面圆半径为5cm，则该组合体的表面积为

【答案】【分析】分别根据公式计算圆柱的底面积侧面及圆台的侧面积，再求和计算可得42(5【详解】圆柱的上底面面积为4π；圆柱的侧面面积为4π42(5

5，所以圆台的侧面面积为π25535π则该组合体的表面积为4π20π25π35π84πcm2 已知向量a，b满足a2b2ab2，且b1，则ab（ 【答案】

【分析】利用平面向量的数量积即可求解

a2b2ab2a4ab4b44a4abb4

→ ab1，所以14ab44ab4在VABCA，B，Ca，b，cAπb4，满足条件的VABCa的可能取值为（A. B.

D.【答案】【详解】若有两解，则bsinAab4

3a4，所以

a4周长为（）A.

B.

C.

【答案】A1EFDA1，D，E三点的正方体的截面，结合四边形的周长公式求解即可//A1EFDA1，D，E三点的正方体的截面， ，EF ，A1EDF 5A1EFDA1DEFA1EDF

在三棱锥OABC中，aOAC，△OBC均是边长为 的等边三角形，当平面OAB平面ABC时，三棱锥OABC内切球的半径为（）

2

D.2【答案】【分析】利用等体积法进行求解如图所示，作ODAB，因为OAOB ，所以D是AB中点，因为平面OAB平面ABC，所ODABC，所以ODCD222设AB2x222在直角三角形OCDOD2CD2OC22x222x2222x1，AB2OD1，因为AB2，ACBC 2，所以VABC和△OAB是直角三角形，Sa

1

1

a

OD1111 O设三棱锥OABCr，则O

1S

a

3223，代入得：11133，解得：r2 ，即：

3

1 棱锥OABC内切球的半径为2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分下列命题正确的有（【答案】ABC选项，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，D.B，由棱台的性质可知，棱台的侧面都是梯形，故正确；CD，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，底面为正五边形时，这个棱锥为五棱锥，故正确在VABCA，B，Ca，b，c，下列结论正确的是a2b2c2，则VABC若cosAcosBcosC0，则VABC若sin2Asin2B，则VABCAB，则cosAcos【答案】A，根据余弦定理cosA

b2c2a2b2c2，则b2c2a20，因此cosA0A0πA为钝角，故aABC为钝角三角形，A正确；BcosAcosBcosC0，说明三个余弦值全为正，或一正两负.三角形中若有两个钝角，则内角和会超过180，矛盾ABCaABC为锐角三角形，B正确；Csin2Asin2B，根据正弦函数性质2A2B或2Aπ2B，ABABπABπaABC为直角三角形，不一定是等腰三角形，CDycosx在0π上单调递减ABAB0π，则cosAcosB，而非cosAcosB，DD1A1上的动点，则下列说法正确的是（）存在点Q，使得PQ//平面 B.不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共PMBN的体积为【答案】

MBCN外接球的表面积为A1C1MNPQMNPQD1MNMND1MNPQD1MNA正确.BA1BCD1NP分别是CC1C1D1的中点，所以CD1PN.即当QA1BNPQB错误.所以 111121，故C错误 M B

DBB1DD1EFMADFEBCN，则经过CMBN四点的球即为MADFEBCN的外接球.设所求外接球的直径为2RMADFEBCN即(2R)2AB2BC2CN24419，所以经过CMBN四点的球的表面积为4πR29πD填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分设i是虚数单位，z512i，则z 【答案】52z512i52

aba

b10，向量a在向量b上的投影向量的坐标为10，则aaxyx1y1axy，因为b10b1abx因为向量a在向量b上的投影向量的坐标为10ab 所以向量a在向量b上的投影向量为→

bxbx010，即x1因为a ，所以x2y22，将x1代入解得y

【答案】 bc3b4c3c4b 2a3c3b4c2a3c3c4b，结合向量不等式，即可求解

【详解】由bcbcbc0，所以bcbc →

→ → → →又由3b 3b4c9b16c24bc25 24bc →

→ →

→ →3c 3c4b9c16b24bc25 24bc 3b4c3c4b

2a3c3b

2a3c3c

2a3c3c4b2a4b2a

2当且仅当2a3c与3c4b同向时，等号成立 2a3c3b4c的最小值为2解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤SABCDABCDEFGHSBSDAB，ADSASCSBSD．GH//EFSACABCDBD．在aSBDE，FSBSD的中点，EF是aSBDEF//BD，同理可得GH//BD，所以GH//EF．（2）BDACOSOACBD互相平分，在aSACSASC，OACSOAC，在aSBDSBSD，OBDSOBD，ACBDOAC,BDABCD，SOABCDSOSAC，SACABCD．（1）（2）1详解】2​

VABCA，B，Ca，b，c，已知bsinBCasinBa2，求VABC（1）A（1）（2）利用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式计算即可1A、B、C0πBCπABCπA 所以bsinBCasinBsinBsinπAsinAsinB 易知sinB0，则cosAsinA2sinAcosA，即sinA1 AπA5πAπ5π（舍去 Aπ2b2c2 由余弦定理知cosA 即b2c24bc2bc4bc4，当且仅当bc2

1sinAbc 3bc a 即VABC面积的最大值 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，AB2，PAPD 平面PAD平面ABCD，E,F分别是PC，AD的中点.ADPBEBCF的体积（1）BDPFQABCDBAD60，aABD是等边三角形，又QFAD的中点，ADPFADBF又QPFBF

PFBFBPF，ADPBBPF，ADPB（2）（1）结合菱形的性质得到线面垂直，再证明线线垂直即可（2）结合题意并利用转换法求解体积即可1详解】2QEPC

1 E 2P又QFAD的中点，

1

1 a

2菱形

4P由（1）PFAD，QPADABCD，PFPAD，PFABCD， 1

11

4P 3菱形11

PF1 32 3 a

2km的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为OAOB分别为公园的两条垂直边界道路.ABP，使得 2 P向OAOBPMPN，围出一个矩形OMPN，用于打造亲子游乐区，记该S1；PAPBAB，在aPABS2.请你尝试P的位置.（2）f

2PB（1）根据三角函数定义求出OMPMS1S2

4 1由题设OP2AOPθ，得OM2cosθPM2sinθ 242sinθπ θπ 4

2 4sin2θπ42sinθπ 4 4 π 22sinθ4

8，0θ Qθππ,3π，sinθπ 4

4

2 fθ0

2，f

2，对应θπPAB 4 sin2θt21y2t214t42t24t6t1,2当t 时，f 2，对应θπ，此时景观点P为弧B的中 1 i enω，1ω2coskπ

i

n1

1

其中n2 3 i2k e i（ⅰ）