2027届新高三数学热点突破复习+直线、平面垂直的判定与性质

2027届新高三数学热点突破复习直线、平面垂直的判定与性质五年高考考点直线、平面垂直的判定与性质1.★★★(2023全国甲理,11,5分)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=

PD=3,∠PCA=45°,则△PBC面积为

()A.2

B.3

C.4

D.6

C

解析过P作PO⊥平面ABCD交平面ABCD于点O,取DC的中点E,连接PE,OE,

∵PC=PD,∴PE⊥CD,∵PO⊥平面ABCD,AB,CD⊂平面ABCD,∴PO⊥AB,PO⊥CD,又PE∩PO=P,PE,PO⊂平面PEO,∴CD⊥平面PEO,∴CD⊥OE,延长EO交AB于点F,则F为AB中点,且OF⊥AB,连接PF,∵PO⊥AB,PO∩OF=O,PO,OF⊂平面PFO,∴AB⊥平面PFO,∵PF⊂平面PFO,∴AB⊥PF,又F为AB的中点,∴PA=PB.在△PCA中,PC=3,AC=4

,∠PCA=45°,由余弦定理得PA2=PC2+AC2-2PC·AC·cos∠PCA=32+(4

)2-2×3×4

×

=17,∴PA=

.在△PBC中,PB=

,BC=4,PC=3,则cos∠PCB=

=

=

,∴sin∠PCB=

,∴S△PBC=

BC·PC·sin∠PCB=

×4×3×

=4

,故选C.2.★★★(2023全国甲文,18,12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=

90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.解析

(1)证明:∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,又∵A1C,AC⊂平面ACC1A1,且A1C∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1,又∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.【面面垂直的判定定理】(2)过A1作A1O⊥CC1,垂足为O,∵平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1O⊂平面ACC1A1,∴A1O⊥平面BB1C1C,即A1O是四棱锥A1-BB1C1C的高.由(1)知∠A1CB=∠BCA=90°.在Rt△A1CB与Rt△ACB中,A1B=AB,BC=BC,∴Rt△A1CB≌Rt△ACB,∴A1C=AC,∴A1C=A1C1,又知A1C⊥A1C1,∴△CA1C1为等腰直角三角形,∴A1O=

CC1=

AA1=1,即四棱锥A1-BB1C1C的高为1.

3.★★★(2021新高考Ⅰ,20,12分)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=

AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小

为45°,求三棱锥A-BCD的体积.解析

(1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.(2)解法一:在△ABD中,过E作EN∥AO交BD于N,则由AO⊥平面BCD得EN⊥平面BCD,∴EN⊥BC,∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.在△BCD中,过N作NM∥CD交BC于M,则NM⊥BC.连接EM,∵BC⊥EN,BC⊥NM,EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,∴EM⊥BC,∴∠EMN为二

面角E-BC-D的平面角,又知二面角E-BC-D的大小为45°,∴∠EMN=45°,∴△EMN为等腰直角三角形,又由DE=2EA得DN=2NO,∴MN=

CD=

=EN=ND,∴AO=OD=1,∴VA-BCD=

S△BCD·AO=

×

×1×

×1=

.故三棱锥A-BCD的体积为

.

解法二:由OC=OD=OB得BC⊥CD,由(1)知AO⊥平面BCD,以C为原点,

,

,

的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,

则C(0,0,0),B(0,

,0),设AO=a.则E

,∴

=(0,

,0),

=

,设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则

即

令x=a,则z=-1,∴n=(a,0,-1),易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),由题可知|cos<m,n>|=

=

=

,∴a=1,即AO=1.∴VA-BCD=

S△BCD·AO=

×

×1×

×1=

,故三棱锥A-BCD的体积为

.三年模拟1.★★★(多选)(2026届湖南九校联盟联考,9)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,侧棱BB1

垂直于底面ABCD,则下列结论正确的是

(

)A.若AB=AD,则AC⊥BD1B.若AC=BD,则AC⊥BD1C.若A1D=A1B,则BD⊥平面ACC1A1D.若AD=AA1,则AD1⊥平面DA1B1C

AC

解析对于A,BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AC,因为AB=AD,所以底面为菱形,则AC⊥BD,

又BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面DBB1D1,所以AC⊥平面DBB1D1,所以AC⊥BD1,A正确;对于B,因为AC=BD,所以底面为矩形,无法得到AC⊥BD1,B错误;对于C,设AC与BD交于点O,由A1D=A1B,O为BD中点,得A1O⊥BD,又A1A⊥BD,A1A∩A1O=

A1,A1A,A1O⊂平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,C正确;对于D,四边形ADD1A1为正方形,AD1⊥A1D,而AD1与A1B1不一定垂直,D错误.2.★★★(多选)(2026届福建泉州质量监测,9)在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠ABC=90°,BB'=

AB=

BC,M为BB'的中点,则

(

)A.A'C∥C'MB.A'C'∥平面AMCC.AM⊥B'C'D.平面AMC⊥平面A'MC'

BCD

解析取A'C',CC'的中点E,D,连接BD,DE,则有DE∥A'C,BD∥C'M,所以A'C,C'M不平行,

A错误;因为A'C'∥AC,A'C'⊄平面AMC,AC⊂平面AMC,所以A'C'∥平面AMC,B正确;易证BC⊥平面ABB'A',因为AM⊂平面ABB'A',所以AM⊥BC,又BC∥B'C',所以AM⊥B'C',

C正确;取AC的中点F,连接EF,EM,FM,易知AC⊥平面EFM,所以平面EFM与平面AMC及平面A'MC'均垂直,所以∠EMF即为平面AMC与平面A'MC'的二面角的平面角,由BB'=

AB=

BC,可知EM=FM=

EF,所以∠EMF是直角,所以平面AMC⊥平面A'MC',D正确.故选BCD.

3.★★★(2026届河北沧州质量监测,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面AB1C1,AA1=λBC.(1)证明:B1C1⊥A1C1;(2)若直线B1C与平面AB1C1所成角为

,求λ.

解析

(1)证明:由A1C⊥平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,可得A1C⊥B1C1,易知B1C1⊥CC1,又CC1∩A1C=C,CC1⊂平面A1CC1,A1C⊂平面A1CC1,所以B1C1⊥平面A1CC1.由A1C1⊂平面A1CC1,可得B1C1⊥A1C1.(2)由A1C⊥平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,得A1C⊥AC1.由题意可知四边形AA1C1C是矩形,故四边形AA1C1C是正方形,于是A1C1=AA1.显然CC1⊥平面A1B1C1,由(1)知B1C1⊥A1C1,故以C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设B1C1=1,则B1(1,0,0),C(0,0,λ),A1(0,λ,0),故

=(-1,0,λ).易知平面AB1C1的一个法向量为

=(0,-λ,λ).故sin

=

=

=

.解得λ2=1,由λ>0知λ=1.4.★★★(2026届湖南第一次联考,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,AB⊥

BC,AB∥DC,AB=BC=1,CD=2,PC=

,点M在侧棱PB上运动.(1)证明:平面PAC⊥平面PAD;(2)当直线AM与直线PD所成的角最小时,求三棱锥P-CDM的体积.

解析

(1)证明:因为PC⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PC⊥AD.由已知得△ABC为等腰直角三角形,则AC=

=

,且∠ACB=45°.在△ACD中,∠ACD=90°-∠ACB=45°,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos45°=2,则AD2+AC2=4=CD2,所以AC⊥AD.因为PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以AD⊥平面PAC.因为AD⊂平面PAD,所以平面PAC⊥平面PAD.(2)以C为原点,CD,CB,CP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(1,1,0),B(0,1,0),D(2,0,0),P(0,0,

).所以

=(-1,0,0),

=(0,-1,

),

=(-2,0,

).设

=λ

(0≤λ≤1),则

=

+

=(-1,-λ,

λ).设直线AM与DP所成的角为θ,则cosθ=|cos<

,

>|=

=

=

·

.设λ+1=t(1≤t≤2),则

=

=

=

=

.所以当

=

,即t=

时,cosθ取最大值,从而θ取最小值,即直线AM与DP所成的角取最小值,此时λ=t-1=

,则

=

.从而点M到平面PCD的距离为h=

BC=

,所以VP-CDM=VM-PCD=

×

×2×

×

=

.5.★★★(2026届湖北孝感高级中学月考,16)如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,

P,Q分别是AB,AC的中点.(1)求证:四边形B1PQC1是矩形;(2)若A1B1=A1A,求直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值.

解析

(1)证明:∵P,Q分别是AB,AC的中点,∴PQ∥BC,PQ=

BC.∵几何体ABC-A1B1C1为正三棱台,AB=2A1B1,∴B1C1=

BC,B1C1∥BC,∴PQ∥B1C1,PQ=B1C1,∴四边形B1PQC1为平行四边形.延长AA1,BB1,CC1交于点T,过点T作TO⊥平面ABC,垂足为O,连接