2027届新高三数学热点突破复习三次函数的性质综合

2027届新高三数学热点突破复习三次函数的性质综合类型1三次函数的图象与性质1.★★(2025届河南部分高中第四次考试,5)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1在R上单调递减,

则实数a的取值范围为

()A.

B.

C.

D.

D

解析由题意知f

'(x)=3ax2-4x-3≤0在R上恒成立,所以

解得a≤-

.故选D.2.★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数f(x)=x3-x+1,则

(

)A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

AC

解析∵f(x)=x3-x+1,∴f

'(x)=3x2-1,令f

'(x)=0,得x=±

,当x∈

时,f

'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈

时,f

'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈

时,f

'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)有两个极值点,故A正确.∵f

=

-

+1=

>0,∴f(x)的极小值大于0,∴f(x)仅有一个零点.故B错误.由于函数f(x)的图象是由奇函数y=x3-x的图象向上平移1个单位长度得到的,故f(x)的图

象关于点(0,1)对称,即点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确.曲线y=f(x)的切线斜率为2,即f

'(x)=2,得x=±1,故曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程为y=2x-1或y=2x+3,故D错误.故选AC.3.★★★(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x.(1)当a=1时,求函数的极值;(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.解析

(1)当a=1时,f(x)=x3-2x2+x,故f

'(x)=3x2-4x+1.令f

'(x)=0,解得x=1或x=

.f

'(x),f(x)随x的变化情况如表:x

-∞,

,1

1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)极大值=f

=

,f(x)极小值=f(1)=0.(2)f'(x)=3x2-2(1+a)x-(a2-2a)=[3x+(a-2)](x-a),令f

'(x)=0,解得x1=a,x2=

.当x1=x2时,a=

,解得a=

,所以若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a≠

,且-1<a<1或-1<

<1,解得-1<a<1或-1<a<5且a≠

.故a的取值范围为

∪

.类型2三次函数的极(最)值问题1.★★★(多选)(2026届广东深圳联考,10)已知函数f(x)=x3-3x+1,则

(

)A.f(x)有两个极值点B.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心C.f(x)有三个零点且三个零点的和为0D.直线y=3x是曲线y=f(x)的切线

ABC

解析因为函数f(x)=x3-3x+1,所以f

'(x)=3x2-3,令f

'(x)=3x2-3=0,∴x=±1,当x<-1或x>1时,f

'(x)>0,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,当-1<x<1时,f

'(x)<0,f(x)在(-1,1)上单调递减,故x=-1为函数的极大值点,x=1为函数的极小值点,即f(x)有两个极值点,A正确;因为f(x)+f(-x)=x3-3x+1+[(-x)3+3x+1]=2,故点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,B正确;由A可知f(x)有两个极值点x=±1,且f(-1)=3>0,f(1)=-1<0,f(-2)=-8+6+1<0,f(2)=8-6+1>0,结合f(x)的单调性可知函数在(-2,-1),(-1,1),(1,2)上各有一个零点,即函数f(x)有3个零点,不妨设这3个零点为x1,x2,x3,故满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,即x3-3x+1=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)·x-x1x2x3,故x1+x2+x3=0,C正确;假设直线y=3x是曲线y=f(x)的切线,令f'(x)=3x2-3=3,则x=±

,即切点坐标为(

,3

),(-

,-3

),而f(

)=-

+1≠3

,f(-

)=

+1≠-3

,说明假设不成立,即直线y=3x不是曲线y=f(x)的切线,D错误.故选ABC.2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则

(

)A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)

ACD

解析由题意知f

'(x)=3(x-1)(x-3).对于A,令f

'(x)>0,得x<1或x>3,令f

'(x)<0,得1<x<3,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上

单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以x=3是f(x)的极小值点,故A正确;对于B,当0<x<1时,0<x2<x<1,由f(x)在(0,1)上单调递增,得f(x2)<f(x),故B错误;对于C,由1<x<2,得1<2x-1<3,由f(x)在(1,3)上单调递减,得f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<

0,故C正确;对于D,f(2-x)-f(x)=(x-1)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2·(-2x+2)=-2(x-1)3,当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)>

0,则f(2-x)>f(x),故D正确.故选ACD.3.★★★★(2019课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.解析

(1)f

'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f

'(x)=0,得x=0或x=

.若a>0,则当x∈(-∞,0)∪

时,f

'(x)>0;当x∈

时,f

'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),

单调递增,在

单调递减;若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;若a<0,则当x∈

∪(0,+∞)时,f

'(x)>0;当x∈

时,f

'(x)<0.故f(x)在

,(0,+∞)单调递增,在

单调递减.(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在

单调递减,在

单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f

=-

+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-

+2,M=

所以M-m=

当0<a<2时,可知2-a+

单调递减,所以M-m的取值范围是

.当2≤a<3时,

单调递增,所以M-m的取值范围是

.综上,M-m的取值范围是

.类型3三次函数的零点问题1.★★★(多选)(2026届重庆一中月考,9)设函数f(x)=x3-3x2-9x+1,则

(

)A.f(x)有极大值点B.f(x)仅有2个零点C.f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为9x+y-1=0D.f(x)图象的对称中心是(1,-10)

ACD

解析

f(x)=x3-3x2-9x+1,则f

'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),所以x∈(-∞,-1)时,f

'(x)>0,f(x)单调

递增;x∈(-1,3)时,f

'(x)<0,f(x)单调递减;x∈(3,+∞)时,f

'(x)>0,f(x)单调递增.对于A,B,f(x)

在x=-1处取得极大值f(-1)=6>0,在x=3处取得极小值f(3)=-26<0,故A正确,B错误;对于C,因为f

'(0)=-9,故f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为y-1=-9(x-0),即9x+y-1=0,C正确;对于D,因为f

'(x)=3x2-6x-9,所以f(x)图象的对称中心的横坐标为x=

=1,又因为f(1)=-10,所以f(x)图象的对称中心是(1,-10),故D正确,故选ACD.2.★★★(多选)(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,10)已知函数f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R,

则

(

)A.当a=8时,f(x)在R上单调递增B.当a≤6时,f(x)有两个极值C.若f(x)有三个不同零点x1,x2,x3,则x1x2x3=

D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-5<m<-3

ACD

解析当a=8时,f

'(x)=6x2+12x+8⇒Δ=122-4×6×8=-48<0⇒f

'(x)>0恒成立,则函数f(x)在R上

单调递增,故A正确;f

'(x)=6x2+12x+a,由Δ=122-4×6a>0,解得a<6,则f(x)有2个极值,当a=6时,Δ=0⇒f

'(x)≥0恒成立,此时函数f(x)在R上单调递增,无极值,故B错误;由题意可设f(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3),则f(x)=2x3-2(x1+x2+x3)x2+2(x1x2+x2x3+x1x3)x-2x1x2x3,结合f(x)的解析式得-2x1x2x3=-3⇒x1x2x3=

,故C正确;设切点为(x0,f(x0)),f

'(x)=6x2+12x+a,则切线方程为y-(2

+6

+ax0-3)=(6

+12x0+a)(x-x0),把(0,m)代入得m=-4

-6

-3,过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条⇔直线y=m与h(x0)=-4

-6

-3的图象有3个不同的交点,h'(x0)=-12

-12x0≥0⇒-1≤x0≤0,h'(x0)=-12

-12x0<0⇒x0<-1或x0>0,函数h(x0)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递减,在[-1,0]上单调递增,且h(-1)=-5,h(0)=-3,结合图象可得-5<m<-3,故D正确.故选ACD.3.★★★(多选)(2025届安徽合肥第一中学最后一卷,10)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a有三个不

同的零点,从小到大依次为x1,x2,x3,则

(

)A.-27<a<5B.函数y=f(x)+a的图象的对称中心为(1,-11)C.过(x1,f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有且仅有1条D.若x1,x2,x3成等差数列,则a=-11

ABD

解析由题意得f

'(x)=3x2-6x-9,令f

'(x)>0,解得x>3或x<-1,令f

'(x)<0,解得-1<x<3,∴f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减.对于A,若f(x)有3个零点,则f(-1)>0>f(3),解得-27<a<5,故A正确;对于B,令g(x)=f(x)+a,则g(x)=x3-3x2-9x,-

=-

=1,又g(1)=-11,所以g(x)图象的对称中心为(1,-11),故B正确;对于C,结合图象,过(x1,f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有2条,故C错误;

对于D,f(x)=x3-3x2-9x-a=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3,∴x1+x2+x3=3,x1x2+x2x3+x3x1=-9,x1x2x3=a,若x1,x2,x3成等差数列,则2x2=x1+x3,则x2=1,x1+x3=2,故a=x1x3=-9-x2(x1+x3)=-11,故D正确.故选ABD.4.★★★(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,

则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为_______.

-3

解析∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f

'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时,f

'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零

点,∴a>0.当0<x<

时,f

'(x)<0,f(x)单调递减;当x>

时,f

'(x)>0,f(x)单调递增,∴x>0时,f(x)有极小值,为f

=-

+1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f

=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,f

'(x)=6x(x-1).令f

'(x)=0,得x=0或x=1,f'(x),f(x)随x的变化情况如表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+0-0f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.5.★★★(2025届山东泰安模拟预测(三),15)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值.(1)求实数c的值;(2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围.解析

(1)∵f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,∴f

'(x)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c),由已知得f

'(1)=0,即(1-c)(3-c)=0,∴c=1或c=3,当c=1时,f

'(x)=(x-1)(3x-1),∴当x<

时,f

'(x)>0,当

<x<1时,f

'(x)<0,当x>1时,f

'(x)>0,∴f(x)在

上单调递增,在

上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴x=1时有极小值,符合题意.当c=3时,f

'(x)=3(x-3)(x-1),∴当x<1时,f

'(x)>0,当1<x<3时,f

'(x)<0,当x>3时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,∴x=1时有极大值,不符合题意,舍去.∴c=1.(2)g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,即y=f(x)的图象与直线y=-a有三个不同的交点,由(1)知f(x)在x=

处取极大值,f(x)极大值=f

=

×

=

,又f(x)极小值=f(1)=0,∴0<-a<

,∴-

<a<0.类型4三次函数的切线问题1.★★★(2025届湖北武汉武昌三模,6)已知函数f(x)=x3-6x+7,直线l是曲线y=f(x)的切线,

如果切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,那么这样的直线l有

()A.0条

B.1条

C.2条

D.3条

B

解析函数f(x)=x3-6x+7,对其求导得f

'(x)=3x2-6.设切点为(a,f(a)),则切线斜率为f

'(a)=3a2-6,又f(a)=a3-6a+7,所以切线方程