数值分析知识点总结

数值分析知识点总结

说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。

一、第1章数值分析与科学计算引论

1.什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相

对误差有何关系？

答设Z为准确值,Z'为X的一个近似值，称e・=1,为近似值Z•的绝对误差，简称

误差.近似值的误差/W准确值z的比值仁=匚=称为近似值小的相对误差，记作4.

XX

通常我们无法知道误差的准确值,只能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一

个上界£•,£•叫做近似值的误差限.

相对误差限：£；=同的一个上界。

有效数字：如果近似值/的误差限是某一位的半个单位，该位到J的第一位非零数字

共有〃位，就说/共有〃位有效数字。即x*=±/（r><（"+a2x/0-/+…+4〃义/。&”，其中/

W0,并且卜―X*卜gxl（re\其中m位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m

值为0,n值为3,绝对误差限£；=gxio"。

2.一个比较好用的公式：

Ax）的误差限：£（/*'））

例题：

5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少？

解球体体积公式为体积计算的条件数

O

「=."・V'=IRE・4“必=3，

所以，£,”•）~7•金（R・）=3却（R.）.

又因为金（丫・）=1%,所以度量半径R时允许的相对误差限

品（8）=）=JX1%比0.0033.

JJ

二、第2章插值法

1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？

答若n次多项式2,（力）。=0,1,…，n）在“41个节点与〈为V…〈占上满足条件

［】，k=j,

io»卜丰）、

则称这〃+1个〃次多项式J）,…".（N）为节点…，工上的n次拉格朗日插

值基函数.

以0（Z）为例，由乙（外所满足的条件知。（工）以工。，…山…，工人］，…，马为零点，再考虑

到4（4）为〃次多项式,故可设

,,,,

Z*（x）=A（x—x0）**（x—-xt+1）（x—x„）»

其中A为常数,利用人（刈）=1得

1=A（xt-x0）*-（x*-）（x4—工~1）…（n*—X,）»

故

A=____________________1_____________________

（X*一4,）…（1*—X*-j）（x*-N*7）…（"-X,）

即

/（）=（N-No）…—N1）（N—21）…（2-H,〉_TT］一叫.

（土―与）…（处—41）（力—X^）-（X*-X.）悬X*-X/

.

对于Zj（x）（t=0,1•…而，有y］z*Zj（x）=xk（.k=0,1,…,〃），特别当々=0时，有

.y^z,（x）=i.

i-0

例题：

2.给出/Gr）=ln］的数值表:

X0.40.50.60.70.8

Inx-0.916291-0.693147.-0.510826-0.356675-0.223144

用线性插值及一次插值计算In0.54的近似值.

解线性插值.由于1=0.54,介于0.5和0.6之间,故取ro=O.5,x,=0.6,这时插值余

项中的w（幻=（工一工（））（工一工】）的绝对值最小.于是JF0=-0.693147,a=~0.510826.代人

拉格朗日线性插值多项式，得

Li（O.54）=工一旦・y。+匚％.v

Xo-71Xi—工Q

一再x（-0.693147）+X（-0,510826）

=10.I5—0.610.16—0.5j

——0.620219,

所以In0.54^L,（0.54）^-0.620219.

当然还可以按其他方式取％c.©,但近似程度可能差些.

二次插值.由于1=0.54与0.5,0.6及0.4的距离较近,故取7。=0.4,©=；5,生=0.6,这

时插值余项中的“，（工）=（工一与）（#-F—的绝对值最小.于是八=一。,916291,

=-0.693147,2=-0.510826.代入拉格朗日二次插值多项式，得

r；：“、_(^r—Xi)(x—x2)(X—Xo)(x—x2)

L2kU.042------------77--------;,Jo+7----------77-----------r•Vi

(To-XjXjTo(J7i—X)(Xi-X)

—X2)02

,(■1—•[))(J：一亚)

(x2—Xo)(x2—Xi)”2

_(0.54—0.5)(0.54—0.6)(~QIAoon

一70.4-0.5X0.4-0.6)X(—0.91629D

■(0.54—0.4)(0.54—0.6)

X(-0.693147)

(0.5-0.4)(0；5-0.6)

.(0.54-0.4)(0.54-0.5)

(-0.510826)

(0.6-0.4)(0.6-0.5)

〜一0.615320

所以In0.54=，（0.54）2-0.615320.

2.什么是牛顿基函数？它与单项式基｛l,z,…有何不同？

答称｛1,1—4,——）,…，（］一%）•••（4—N._】）｝为节点XmXi，…，工.上的

牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点★，］］，・・•"”上函数/（幻的n次牛顿插值多项式

可以表示为

P„（x）=a04-a1（x-xc）-r+a,（x—x0）…（x一3】），

其中Qk—/L-^O，工】，…，工门*=0,1,…，篦）.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增

加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如

p^.l（X）=PA（N）+M1（N—xc）•••（X—孙），

其中4T是节点/，不，…,与+】上的£十1阶差商，这一点要比使用单项式基口，了，…，/卜方彳

得多.

3.什么是函数的〃阶均差？它有何重要性质？

答称九见，*［=义匕®2为函数八/关于点备,打的一阶均差，称/［四，为，力｝

X4-Xo

心，叩-几w汇为/（公关于点与，为，上的二阶均差,一般地，称

q-©

,［■ZXx~\=…，工”一2，NJ-/1%0，71，…

•2*R«r-I

为f（工）关于点上0，皿，…皿的〃阶均差.

均差具有如下基本性质：

（1）〃阶均差可以表示为函数值/（入），/（皿），…，尸4）的线性组合，即

〃巧）

fL^o,X]，…工]=£

(jCj—Xc)e,,(Xj-N厂1)(可一句+1)…(jj—N”)'

j-o

该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.

,工2/［死出，•“，二一门

(2)/[x0»Xi,•••»X„J=

（3）若，（/〉在可上存在〃阶导数，且节点可，…,/6］。，口,则〃阶均差与«阶1

数的关系为

fboi.]=,:⑥,ae[a,5],

n!

4.写出n+1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？

答给定区间［a,为上n+1个点

。&工0＜工］V…V£6

上的函数值3，=八工,）&=0,1"“，也），则这4+1个节点上的拉格朗日播值多项式为

L.(H)=2城*(工),

k=0,1»n.

这n+1个节点上的牛顿插值多项式为

PK<x>=aa4-aj（x-+**,+%（工一★-工—）,

其中at=/［x0，］i，…，HJ（&=0,1,…，?1）为/（工）在点］。，Zi，…，工*上的上阶均差.

由插值多项式的唯一性（工）与匕（工）是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，

牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加•一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插

值比较方便计算，而拉格朗日插值没有这个优点.

5.给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？

答设厂'（工）在［a,为上连续，尸fQ）在（a力）内存在，节点aW%>Vm<…V4&6,

LGr）是满足条件芍）=yG=0,l,…，“）的插值多项式，则对任何工£［a,b］,插值余项

这里FCQ,6）且与工有关，叫+1（幻=（Z-工0）（Z-上1）…（工一工,）.

若有max|广+1>（工）|=M，…则调近/（工）的截断误差

6.三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？

答三次样条插值要求插值函数SG）在整个区间上是二次连续可微的，即5（工）《（71口，瓦1，

且在每个小区间［与，为+11上是三次多项式，插值条件为

S(x,)=y,,j=0,1,n.

三次分段埃尔米特插值多项式是插值区间［a,打上的分段三次多项式，且八（工）在

整个区间上是一次连续可微的，即。（了）£©［a,<］，插值条件为

11t(NC=f(工C,I：(4)=八］,k—0,1

分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点

处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函

数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值

更优越一些（注意要添加边界条件）.

7.确定〃+/个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什

么条件？

答由于三次样条函数S(z)在每个小区间上是三次多项式，其形式为a+bz+cf+

所以在每个小区间上要确定4个待定参数,〃+1个节点共有〃个小区间，故应

确定4”个参数，而根据插值条件，S(j)=y(j=O,l,….麓)和一次连续可微所隐含的条件

S'(N,-O)=S'(石+0)(3=1,2,…，〃一1),共有4n-2个条件，因此还需要加上2个条件，通常

可在区间［〃，口的端点。=々，6=英上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种：

(1)已知两端的一阶导数值，即

s'(No)—f。,s'li.)=£

(2)已知两端的二阶导数值，即

£'(10)=/J,'(ID=fn

特殊情况为官然边界条件

£'(10)=0,(x,)=0.

(3)当/(★是以二一%为周期的周期函数时，要求S(z)也是周期函数，这时边界条件就

S(z)+0)=S(与一0),6(劭+0)=S'Q.-O),夕(4+0)=夕(工，-0).

这时SCr)称为周期样条函数.

8.二弯矩法；

为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：

S⑺=M,包々J/尸+M,“(二力二十

这里=…，G是未知的.为了确定MG=O，1•…，〃)，对SGr)求导得

—Mm一M,

S'J)=-M,(生万”)+M小马,J+

乙〃)乙〃/

由此可求得

S'(巧+0)十町一”.

obh,

类似地可求出S(«r)在区间Dr-上的表达式，进而得

s'5-0)=SMI++4=』」，

b3hji

利用S'(I,+O)=S'(M-O)可得

M尸।+2M/+A?M,H=d,,j=1.2,,w—1,

_〃，Ta_〃，

+%''hjI4-h,

4=6，［叫，町卜|［一/［工,1，町］

h._、+h：=6j[巧-i,N,,可+J.j=1,2,…,〃-1*

对于第一种边界条件，可导出两个方程：

2Mo+Mi=V(/［/°5］—)«

fl,

Mn1+2M„=/ET，Z”[).

如果令儿=1.4=却仙。闭]-《）必=1.乩=六（/—应]）,那么写成矩

阵形式:

2AoMow

2AiMIdx

•••••

••••••••*

内I2Aw1AC1dn

2M，U

公式1

对于第二种边界条件，直接得端点方程：

M）=/o,M”

如果令儿=产“=0,4=2/）乩=2/：,则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。

对于第三种边界条件，可得：

十分十

M）=M.,A„Mt2MH=dn,

其中

；=儿=]_I=>1

"一人一+自，"”一九一人—+自，

1_4/l^O»Xj]―/[>1，lJ

di，

也可以写成如下矩阵形式：

求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章）

例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7

三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换

1.设同，写出三种常用范数II/13,II/II2及II/II

答若/(/€。[。,幻,则

II/III|I/(N)Id1,

II/II2=([]/(外囚广，

II/IIoc=max|/(x)I.

2.f，gGC[a”],它们的内积是什么?如何判断函数族“。，抄，…，外｝ec[a,切在]叫打

上线性无关？

答若/Q),gQ)eC[a"<],p(z)是可上给定的权函数,定义了与g的内积为

(/(1),2(]))=fjo(x)/(x)g(x)dx,

特别常用的是31)=1的情形，即

(/(x)>g(x))=J/(z)g(x)dx.

设e,p，…，色》ec[a,打，定义其格拉姆矩阵为

(2，*)(外，夕I)…@呼")

<pc，中\，…，<pn在6]上线性无关的充要条件是detG(件，<p\，…，.)X0.

3.什么是团用上带权。(幻的正交多项式？什么是[」』]上的勒让德多项式？它有

什么重要性质？

答设供(公是|>,6］上首项系数呢#0的，i次多项式,p(i)为口上的权函数，如果多

项式序列｛外(外常满足

1(0,j丰h,

(0”)=上(工地包)外(""=以>0,尸3

则称多项式序列(0(外｝/在［>.为上带权pGr)正交，称外(公为［。力］上带权p0)的〃次正交

多项式.

当区间［。，6］为1-1"二,权函数p(i)=l时，由｛l,z,…,彳"，…｝正交化得到的多项式称为

勒让德多项式，通常用PeCr),巴(外，…，PJ#),…表示，其性质如F：

(1)正交性

(0,mn\

fP,(x)PM(x)dx=-2

J-i«---7，m—n.

12”一1

(2)奇偶性

w

P“(一力=(-l)Pn(x).

(3)递推关系

(n+DP+(x)=(2n+DxP,(x)—nPi(a)，〃=1,2,….

(4)巳(%)在区间［-1,1］内有〃个不同的实零点.

4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？

答当权函数p(z)=—，区间为L-1.1］时，由序列“，乃…，丁，…｝正交化得到的

Vl—x

正交多项式称为切比雪夫多项式，可表示为

T„(x)=cos(narccosx).|i|<1,

其重要性质如下：

(1)递推关系

/T0(x)=1,Tt(x)=x»

(TB+I(T)=2xT„(x)—T”-i(工)，”=1,2,….

(2)正交性

0»nm;

f*T„(x)T(x)7T一—八

,-wdx=<丁，n=m0；

JT---------------------2

n=m=0,

(3)T"(％)只含工的偶次解，Gt)只含力的奇次塞.

(4)T.(z)在区间［-1,门上有〃个零点

2k—1*

x*=cos--—式,k=1,2,…,上

Zn-

(5)TJz)的首项系的为21(”一1,2,…).

(6)设亍.G)是首项系数为1的切比雪夫多项式，后.为首项系数为1的次数不超过"次

多项式构成的集合，则

max|T(X)I&max|P(x)|,VP(x)£H„,

一1《Y1R-Kx<l

且

max|f,(a:)|=5^.

5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗Fl插值有何不同？

答切比雪夫多项式零点（切比雪夫点）是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横

坐标在接近区间［-1,1］的端点处是密集的，利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差

最小化，同时还可以避免高次拉格朗日插值所出现的龙格现象，在一定条件下可以保证插值

多项式在整个区间上收敛于被插值函数.

6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什

么不直接求解法方程？

答在最小二乘拟合中,利用求多元函数极值的必要条件并记

m

（9,件）=

>>0

m

（f，佻）=^l（u（.x{'）f（.xi'）<pk（x,'）Sdt,k=0,1

i-0

则称关于a,G=D,l,…，”）的线性方程组

.

2（四,上=0.1,…

>-0

为法方程，也可以写成用阵形式

Ga—d,

T

其中a=（a0,ai»•••.a,）,d=（dt,4

（曾，9）［，p）…3，勺了

，/）（叩，初）（0，）

*

.（伙，曹）•••

当拟合多项式的次数〃较大时，法方程的系数矩阵G一般是病态的，数值求解法方程不

稳定，因此不直接求解法方程.

例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。

四、第4章数值积分与数值微分

1.给出计算积分的梯形公式及中矩形公式.说明它们的几何意义.・

答梯形公式：［八幻七宁［八公+八6）］,其几何意义是用上底为/（a）,下底为

*6）,高为&一&的梯形面积近似曲边梯形的面积（积分值）.

中矩阵公式：。⑴山g3伴铲），其几何意义是用长为br,宽为f（皇）的

矩形面积近似曲边梯形面积（积分值）.

2.什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？

答若某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立,但对于m+1次多项式

不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度，梯形公式的代数精度为1,中矩形公式的代

数精度也为L

3.对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法.

答给定求积公式的节点5+1个）.可取代数精度m=”，令求积公式对〃工）=1,工，…，

x"都精确成立,然后求解关于m+1个求积系数的线性方程组，确定求积系数.

也可以利用求积节点构造关于被积函数的插值多项式，用插值多项式的积分作为积分的

近似值，从而构造出插值型求积公式,事实上这种方法中的求积系数就是插值基函数的积分.

4.什么是牛顿―柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？

答将积分区间作等分，由等距节点构造出的插值型求积公式称为牛顿-柯特斯公式，由

于是插值型的，所以n阶牛顿-柯特斯公式至少具有»次代数精度,但实际上，当n为偶数时，

牛顿―柯特斯公式至少具有»+1次代数精度.

5.什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？

答兀=2时的牛顿柯特斯公式为辛普森公式，即

S=66a［/（&）+，，（：3）+了。），

其余项

河内二一勒（宁『尸＞卬，而，

XOU\uf

辛普森求积公式的代数精度为3.

6.什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式.

答为了提高精度，通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），在每个子区间上用

低阶求积公式，这种方法称为复合求积法.若将积分区间［Q，打分成打个小区间，在每个小区

间上使用梯形公式,则为复合梯形公式•即

T.=5［仆）+2*-/⑹］,

余项

=-.，（［），76

A£»

7.给出复合辛普森公式及其余项表达式,如何估计它的截断误差？

答复合辛普森公式

.ir-1I

S“=+42f(ZH1/2)+22“4)+fS)],

5*=04=1

余项表达式

艮[刀=一哥传)/)卬，"(a㈤.

若/(z)GC"a,刈,则复合辛普森公式的截断误差

编(!)\怒尸⑺

j,f(.x)dx—S„&IL

8.什么是龙贝格求积？它有什么优点？

答龙贝格求积是从悌形公式出发，将区间逐次二分,通过外推算法，逐步提高求积公式

的精度，其优点在于通过一次次的加工,用阶数较低的求积公式得到高精度的结果，便于编程

计算.

9.什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为

何称它是具有最高代数精确度的求积公式？

答高斯型求积公式是适当选取求枳节点和求积系数(£=0,1,…，〃)，使求枳公式

具有2〃+1次代数精度，高斯求积公式的求积节点称为高斯点.方点々，©,…,三是高斯点的

充分必要条件是以这些节点为零点的多项式

31rH(力)=(X—X0)(X—Xi),•,(X—X,)

与任何次数不超过，•的多项式P(外带权pG)正交，即

[p(x)cd^)(x)p(x)dx=0,

所以通常将求积节点取为“+1次带权正交多项式的零点.

10.什么叫高斯-勒让德求积公式？什么叫做高斯-切比雪夫求积公式？

在高斯求枳公式中，若取权函数0(X)三1,区间为卜11],则得公式:

ri

/(•r)dz%2AJ(H&).

*-0

公式3

勒让德多项式的零点就是公式3的高斯点。形如公式3的高斯公式特别地称为高斯-

勒让德求积公式。

若取p,(n=x的零点z0=o做节点构造求积公式

J/(x)dxAo/(O)।

令它对/(T)=1准确成立，即可定出A0=2.这样构造出的一点高斯勒让德求积公式是中

矩形公式.

再取口2(力=4(3/—1)的两个零点±J-构造求积公式

2J3

1=A°f（一%）+4J（专），

»

在例8中已经得到A0=A|=1,因此求积公式为

匚义力业3人—-）+/倩）,

三点高斯勒让德公式的形式是

，」（公业卬f/（-率）+|/（0）+卷/（空）.

表4-7列出高斯勒让德求积公式（6.11）的节点和系数.

表4-7高斯•勒让德求积公式的节点和系数

4nX*A

±0.86113630.3478548

00.00000002.00000003

±0.33998100.652U52

±0.90617980.2369269

1±0.57735031.00000004±0.53846930.4786287

0.00000000.5688889

15±0.93246950.1713245

±0.77459670.5555556

2±0.66120940.3607616

0.00000000.8888889

±0.23861920.4679139

若&=一1"=1,目.取权函数

]

■/1—X2

则所建立的高斯公式

(6.14)

称为高斯切比雪夫求积公式.由于区间［-1,口上关于权函数的正交多项式是切

，1一工

比雪夫多项式（见3.2节），因此求积公式（6.14）的高斯点是”+1次切比雪夫多项式的零

点，即为

/2A+1\

k=0»1,•••

通过计算（见文献［2］）可知（6.14）式的系数4=/『使用时将"+1个节点公式改为n个

节点，于是高斯切比雪夫求积公式写成

化小用/（C

(6.15)

⑵一

cos---------1-)-式,

In

公式余项由（6.10）式可算得，即

咫刀=好急7八'卬'(6.16)

带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.

11.什么叫做中点方法？

数值微分就是用函数值的然性组合近似函数在某点的导数值.按导数定义可以简单地

用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式

八&）一.幺十黑一八。）,

h

|（8.1）

h

/（a）%fQ+h）：八a-h）,

其中/1为一增量，称为步长.后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算

术平均，但它的误差阶却由03）提高到CO上面给出的三个公式是很实用的.尤其是中

点公式更为常用.

中点公式：

G（h）=&+h）­/（口―h）

2h

12.插值型的求导公式：

（I）两点公式：

设已给出两个节点打，为上的函数值八打），八箝），做线性插值得公式

P］（J-）—

对上式两端求导，记©-工o=/l,有

Pf,（X）=］［—/（To）+/（zI）］，

h

于是有下列求导公式：

P；（za）=P；（f）=:［八］1）一八丸）1

而利用余项公式（8.i）知•带余项的两点公式是

/QQ=4＜八工1＞八工。）］一^,《算；

h4

■

/5）=）-/CrJJ+

n/

（2）三点公式:

设巳给出三个节点Ti"I=/。+人，12=怎1+2力I：的函数值，做二次插值

=（—。）+(■T—工0)(了一万2)“)

P（X）

;(4"l—X0)(Xj-J"：)'

(7-zQQ-Zi)

+/(G

(X2—Xo)(Xz-X|

令/=")+〃…上式可表示为

P2(x0-rth)=y(/—l)(z—2)/(x0)—t(t—2)/(x1)4-—1)/(J*Z).

两端对/求导,有

P；（x0+th）=.［⑵-3）/（x0）-（4z-4）/5）+⑵-1）/（X2）］.（8.5）

这里撇号（'）表示对变显/求导数.上式分别取/=。，1，2,得到三种三点公式：

月（了0）=《［-3f（］。）+4八为）一八/2门；

Ln

PJCTJ）=，-/（］«）+/<X2）J«

P-=京/Q。）—+3/《M・

而带余项的三点求导公式如下：

/'（/（,）=/匚一3八工0）4-4/（X1）—/（r：）］十［广（&）;

Lflo

"5）=聂一/（/。）+/（工2）1一。/（&）；（8.6）

^—=却八］。）-4/5）+3/5〉+与/"（&）.

其中的公式（8.6）是我打所熟悉的中点公式.在三点公式中，它由于少用了一个函数值

/（©）而引人注目.

用插值垄项式R"）作为八力的近似函数.还可以建立高阶数值微分公式::

#*>（/）&P?）（z）,k=1.2•….

例如，将（8.5）式再对£求导一次•有

匕（心+比）=3［/（1。）一2八币）+/（72〃，

h~

于是有

匕5）=白［/5—h）—2/（xi）4-/（xi+A）］.

fl

而带余项的二阶三点公式如下：

/"（”】）=，［/（为—h）—2/（xi）+/（JT）+力）【一（S）.

相关例题在教材第4章作业题和课件中。

五、第5章解线性方程组的直接方法

1.用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

答因为高斯消去过程中需要用主元素。伊a=i,2,…，〃-1）作除数，所以如果出现

溜=o,那么消去过程将无法进行，而且即使主元索谓ro,但其值很小，那么如果用其值作

除数，也会导致其他元索数量级的严重刑长和舍人误差的扩散，最后导致计算解不可靠，因此

用高斯消夫法需要选书元.

当线性方程组的系数矩阵A正定对称时，高斯消去法不需要选主元.

2.高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满

足什么条件？

答当不需要选主元时，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角矩阵相乘的

因式分解，即LU分解,A=LU,且这种分解是唯~的.

当需要进行选主元（列主元）时，而斯消去法相当于先对A进行一系列行交换，然后再进

行一般的高斯消去法，即存在排列阵P，使PA=LU.

能进行LU分解的条件是A非奇异.

3.楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

答当A为对称正定矩阵时，可以进行楚列斯基分解，与LU分解相比，楚列斯基分解具

有数值稳定，计算M、存储量小的优点.

4.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

答当线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对称正定矩阵时，可以使用平方根法进行求

解，由于在A的楚列斯基分解A=LU中满足

aJt—24，j=1,2,…,n,

**-i

即分解过程中元索〃的数星级不会增长且对角元索%恒为正数,所以不选主元的平方根法是

一个数值稳定的方法.

5.什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

答当系数矩阵为对角占优的三对角矩阵时，可以用追赶法求解.由追赶法的计算公式

可以看出计算过程不会出现中间结果数量级的巨大增长和舍人误差的严重积累，所以追赶法

是数值稳定的.

6.何谓向量范数？给出三种常用的向最范数.

答如果向最x£R"（或x6C"）的某个实值函数N（x）=||x||,满足条件：

（1）l|xII20,且i|x|!=0㈡x=0；

（2）H3||=|a|-llxll,%£R（或aSC）;

⑶IIVHXII+II”1,

则称N（x）是R"（或C"）上的一个向量抱数（或模）.・

常用的向量范数有

||xII=maxIXi|（8-范数），

=£1毛1（1-范数），

Ilx||2=2（2-