概率论与数理统计章节练习题及答案

习题10：综合提高题1．在一元线性回归分析中，对于给定的，相应的因变量的取值记为，的点预测为．证明：．证明：令，则可得上式表明是的线性组合．由于相互独立，并且因此服从正态分布．由于可知于是所以．2．一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关．现通过试验测定在不同温度（℃）下吸附的重量（mg），结果如下表：1.51.82.43.03.53.94.44.85.04.85.77.08.310.912.413.113.615.3（1）根据表中的数据绘制散点图；（2）求吸附重量关于温度的一元线性回归方程；（3）对回归方程进行显著性检验（取）；（4）估计温度为6℃时的吸附重量．解：根据已知数据计算得（1）散点图如下：（2）假设关于的理论回归方程为则所以关于的经验回归方程为（3）对回归方程进行显著性检验的原假设和备择假设为计算得和的自由度分别为1和7，，，从而得方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方值临界值回归112.48391112.4839387.60825.59残差2.031770.2902总计114.51568由上表可知，所以拒绝原假设，关于的回归方程是显著的．（4）的预测值为．取，则，又，可得从而可得与对应的的置信水平为95%的预测区间如下：3．抽查某中学16名学生的体测成绩，数据见下表：序号身高/cm体重/kg肺活量/L1174.261.64.4152165.9573.4673175.261.34.5604176.255.44.6815170.563.44.7526175.857.14.5577171.357.83.8568169.966.34.7769165.159.73.98310161.952.22.91811170.151.94.09512169.455.54.23813157.446.32.47514159.2532.42215166.760.24.27516168.751.73.544求肺活量关于身高和体重的二元线性回归方程，并对回归方程进行显著性检验（取）．解：经计算得,,（1）假设关于的理论回归方程为列出如下方程组解方程组得故关于的经验回归方程为（2）对回归方程进行显著性检验的原假设和备择假设为经计算得由题意知，和的自由度分别为2和13，，，于是可得方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方值临界值回归7.966223.983149.72663.81残差1.0413130.0801总计9.007515由上表可知，所以拒绝原假设，认为关于的回归方程是显著的．4．请根据例10.1.1中的人体耗氧能力测试数据（见表10-1），求耗氧能力与诸因素的多元线性回归方程．解：假设关于的理论回归方程为令可得参数的估计值为所以，关于的经验回归方程为5．重新考虑例10.4.1，假设头围关于月龄的理论回归方程为，其中为未知参数．试求的估计值．解：由于为未知参数，因此不能通过变量代换的方式将非线性函数化为线性函数．对于这种不能线性化的非线性回归，通常的做法是借助计算软件（如Python或MATLAB），利用迭代算法求参数的估计值．为此，令求解函数的最小值点，即得未知参数的最小二乘估计．相应的Python代码如下：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromscipyimportoptimize#定义数据x=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,24,36,48,60,72,84,96,108,120)y=(37.8,39.4,40.7,41.8,42.8,43.7,42.9,44.7,46.1,45.4,46.9,\47.0,49.7,51.2,51.4,52.3,52.9,53.1,53.3,53.0,53.5)#定义目标函数deffun(b):yhat=b[0]*np.exp(b[1]/(x+b[2]))r=y-yhatreturnnp.sum(r**2)#求解并显示参数值b=optimize.fmin(fun,(55,-3,9))print(b)#绘制拟合效果图plt.figure()plt.scatter(x,y,25,"red")x1=np.arange(1,120,1)y1=b[0]*np.exp(b[1]/(x1+b[2]))plt.plot(x1,y1,"blue")plt.xlabel("月龄",fontsize=16)plt.ylabel("头围",fontsize=16)plt.legend(["散点","回归曲线"],fontsize=13)plt.xticks(f