概率论与数理统计拓展阅读

拓展阅读：中国概率论与数理统计的先驱---许宝騄1910年9月1日生于北京，1970年12月18日在北京逝世．中央研究院第一届院士、中国科学院学部委员，北京大学数学系教授．许宝騄于1933年从清华大学毕业，1934年至1936年担任北京大学数学系助教．1936年赴英留学，在伦敦大学学院攻读博士学位，1938年获得哲学博士学位．1940年获得科学博士学位后从英国回到中国，担任北京大学数学系教授，执教于国立西南联合大学．1945年至1947年先后在美国加州大学伯克利分校、哥伦比亚大学、北卡罗莱纳大学任访问教授．1947年至1970年担任北京大学数学系教授，1948年当选为中央研究院院士，1955年当选为中国科学院学部委员．许宝騄主要从事概率论和数理统计研究，最先发现线性假设的似然比检验（F检验）的优良性，给出了多元统计中若干重要分布的推导，推动了矩阵论在多元统计中的应用，与H.Robbins一起提出的完全收敛的概念是对强大数定律的重要加强，成为20世纪数理统计学的奠基人之一．

拓展阅读：圆周率的近似计算之“蒲丰投针”据说，1777年的某一天，法国科学家蒲丰（Buffon1707--1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的．试验开始，只见年已古稀的蒲丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线．接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半．然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我．”图1不知道蒲丰先生要玩什么把戏，客人们只好客随主意，一个个加入了试验的行列．一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而蒲丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头．最后，蒲丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次．总数2212与相交数704的比值为3.142．”说到这里，蒲丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率的近似值！”听蒲丰这么一说，大家吃惊不小，一时异议纷纷，大家全部感到莫名其妙：“圆周率？这可是与圆半点也不沾边的呀．”在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实．由于投针试验的问题，是蒲丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为蒲丰问题，蒲丰得出的一般结果是：若一根长度为的短针，抛在横线间间距为（）的均匀横纹纸上，则针落在一个与某条横线相交的位置的概率恰为．下面利用几何概型来验证这个一般性的结果．假设用表示针的中点与最近的一条平行横纹线间的距离，用表示针与此横纹线形成的夹角（见图2），则有，．图2容易看到，和的取值能够完全确定针落在横纹纸上的位置，且和的取值范围是平面直角坐标系中的一个矩形：．图3为使针与横纹线相交，其充要条件是，以表示上面不等式确定的区域，如图3所示．于是，根据几何概型，可知针落在一个与某条横纹线相交的位置的概率为．根据前面故事中的具体情况可知，当时，；反之，如果已知的值，也可得．而关于的值，可以利用试验得到的频率来近似，即，于是可得当时，的近似计算公式．历史上有很多学者曾利用这种方法计算圆周率的近似值，下表为相应的试验结果．试验者时间投掷次数相交次数圆周率的估计值针长Wolf1850年500025323.15960.8Smith1855年32041218.53.15540.6C.DeMorgan1860年600382.53.1371.0Fox1884年10304893.15950.75Lazzerini1901年340818083.14159290.83Reina1925年25208593.17950.5419蒲丰投针试验是第一个用几何概型表达概率问题的例子，他首次使用随机试验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用．像蒲丰投针试验一样，用通过概率试验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的计算方法称随机模拟法，也称为蒙特卡罗方法（MonteCarlomethod）．

拓展阅读：奇异型随机变量简介在本章的前三节中，我们从随机变量的概念出发，分别给出了离散型和连续型随机变量，除此之外，还有没有其他类型的随机变量呢？事实上还有一种随机变量叫奇异性随机变量（singularrandomvariable），奇异型随机变量的分布函数是连续的，而其分布函数的导数几乎处处为零．可以证明，任何一个随机变量的分布函数都可以表示为离散型、连续型及奇异型随机变量的分布函数的线性组合．思考题：试构造一个随机变量，它既不是离散型也不是连续型的．[提示：先构造一个离散型随机变量和一个连续型随机变量，再取它们的最大值]再如，掷一枚硬币，如果硬币反面朝上就取，如果硬币正面朝上则向区间随机投掷一点作为的取值，此时既不是离散型也不是连续型，可称为一个混合型随机变量，是离散型和连续型的混合，其分布函数的图形如下图所示：更详细的内容可参考：王梓坤．概率论基础及其应用．北京：科学出版社，1979．

拓展阅读：二维离散随机变量---多项分布以二维离散随机变量为基础，可以拓展研究更多维的随机变量，下面介绍多项分布．设在某一随机试验中，如果每次试验的所有可能结果为，对应事件发生的可能性分别为，其中．现将试验独立地重复次，分别以记在这次试验中发生的次数，则有，其中（）为正整数，且．称以上的随机变量服从多项分布，其参数为．注：（1）由于，所以随机变量中只有个变量是可以自由变动的，这说明是维随机变量．（2）“多项分布”名称的来由是因为多项展开式 ， （1）其中表示求和的范围为：为非负整数，且．在式（1）中令，再结合，得．这说明多项分布是一种离散型随机变量的分布类型．（3）当时，试验只有两种可能结果，可认为是的对立事件．这时，即由唯一决定，可只考虑随机变量，此时回到二项分布的情形．（4）一个研究对象按某种属性被分为几类时，就会涉及到多项分布．例如，生产出的一批产品，按其性能分为优等品（）、良等品（）、中等品（）和次品（）四种，每种等级的产品所占的比率分别为、、、．考虑从该批产品中抽取件，若与这一批产品总数相比是极小的一部分，可认为抽取的过程中能够保持独立性和比率不变（即放回抽样）．分别以记抽出的优等品、良等品、中等品和次品的件数，则可认为是服从多项分布．例一批产品中有一等品，二等品，三等品．从这批产品中有放回地每次抽取一件产品，共抽取5次，分别表示取出的5件产品中一等品、二等品的件数，求随机向量的分布．解设｛取出的产品是一等品｝，｛取出的产品是二等品｝，｛取出的产品是三等品｝，分别表示在5次抽取中出现的次数，则服从的多项分布．由题意得，，，所以，其中，．

拓展阅读：二维离散随机变量---多维超几何分布以二维离散随机变量为基础，可以拓展研究更多维的随机变量，下面介绍多维超几何分布．以随机抽取小球为例，设盒子里有种颜色的小球，第种颜色的小球只（），．从盒子里一次随机抽取出只小球，如果以分别记第种颜色的小球出现的数量，则 ，其中（）为正整数，且．称以上的随机变量服从维超几何分布，其参数为．许多实际问题可归结为上述的概率模型．例如，生产出的一批产品共计件，其中包含件一等品（）、件二等品（）、……、件等品（）四种．现从该批产品中一次性抽取出件，分别以记抽出的一等品、二等品、……、等品的件数，则可认为是服从维超几何分布．注：与一维的情况类似，多项分布与多维超几何分布之间有着密切的联系．可以认为，多项分布源于放回抽样问题，而多维超几何分布源于不放回抽样问题．因此，当研究对象中的元素数量很大，抽样的数量相对较小时，放回抽样和不放回抽样的差别会非常小．

拓展阅读：二维离散随机变量---多维泊松分布以二维离散随机变量为基础，可以拓展研究更多维的随机变量，下面介绍多维泊松（Poisson）分布．定义设是个正实数，如果维随机向量取值的概率为，其中，，则称服从维泊松分布，其参数为．参数为的维泊松分布刻划了一类随机试验结果具有特征的个数的概率分布，其中每一个特征出现的个数可能为一切非负整数．

统计学院士---陈希孺数理统计学家1934年2月11日生于湖南望城．1956年毕业于武汉大学数学系．1997年当选为中国科学院院士．2005年8月8日逝世．曾任中国科学技术大学、中国科学院研究生院教授，中国概率统计学会第一届理事长，中国现场统计学会理事长，《应用概率统计》主编等．科研综述陈希孺是中国线性回归大样本理论的开拓者，他在参数统计领域以及非参数统计领域都作出了具有国际影响的工作．他解决了在一般同变损失下位置--刻度参数的序贯Minimax同变估计的存在和形式问题；给出了在种种抽样机制（固定、两阶段和序贯）之下，作为分布泛函的一般参数存在精确区间估计的条件，否定了国外学者关于此问题的某些猜测；特别关于U统计量逼近正态分布的非一致收敛速度的工作被美国出版的“EncyclopediaofStatisticalSciences”所引用，并被苏联学者撰写的专著“TheoryofU-Statistics”作为该领域重要的工作之一作了详细的论述；他在自变量带误差的线性回归模型和广义线性模型的研究方面，获得了若干重要的成果．理论成果陈希孺对线性统计模型作深入系统的研究，解决了一般损失函数下M估计的强、弱相合问题．在非参数计量，特别是极重要的U统计量的研究中获得U统计量分布的非一致收敛速度，具有国际领先水平．在参数估计这个基本分支中，解决了国际统计学界当时致力的一些问题，包括定出了重要的正态分布两参数在一般损失下的序贯Minimax估计，否定了关于某种区间估计存在条件的一个公开猜测，并提出了正确解等．在非参数回归、密度估计与判别中做出了一系列优秀成果，包括定出了错判概率的指数界限，“databased”型估计的收敛条件，以及对几个常用的密度估计和回归估计类定出了其最佳收敛速度等．学术论著截至2017年2月，陈希孺一共发表了130多篇论文，十余本专著、教科书以及科普读物．科研成果奖励截至2017年2月，陈希孺获得过中国科学院科技成果二等奖，中国科学院科技成果一等奖，中国科学院自然科学奖二等奖，国家自然科学奖三等奖，中国科学院自然科学奖一等奖．

拓展阅读：假设检验---p值法关于假设检验的显著性判定除了使用假设检验的统计量的观测值和临界值进行比较之外，在实际应用中常用统计计算软件进行显著性水平的衡量，这种方法称为值检验法．值就是一个“概率值”，是在原假设为真时所得到样本统计量的观测值或者更为极端情况的概率．如果值很小，说明原假设情况的发生的概率很小，而如果出现了，根据小概率原理，就有理由拒绝原假设，值越小，拒绝原假设的理由越充分．总之，值越小，表明结果越显著．但是检验的结果究竟是“显著的”、“中度显著的”还是“高度显著的”需要根据值的大小和实际问题来解决．下面介绍值的计算．一般用表示检验的统计量，当为真时，由样本数据计算出该统计量的值，根据检验统计量的具体分布，计算出值.具体情况如下：左侧检验，，检验统计量小于或等于由样本观测数据计算得到的样本统计量值的概率，也就是值，即．右侧检验，，检验统计量大于或等于由样本观测数据计算得到的统计量值的概率，也就是值，即．双侧检验，的值为检验统计量落在样本统计值为端点的尾部区域内的概率的2倍：（当位于分布曲线的右端时）或（当位于分布曲线的左端时）．若服从正态分布和分布，其分布曲线是关于轴对称的，故其值可表示为．计算出值后，对于任意给定的显著性水平，可以得出以下检验的结论：（1）如果，则在显著性水平下拒绝原假设；（2）如果，则在显著性水平下接受原假设；（3）实践中如果，即统计量的值等于临界值，可增加样本容量，重新进行抽样检验．通常情况下，对于单独一次假设检验，值小于0.05代表假设检验的结果显著，值小于0.01代表结果特别显著，这是许多统计计算软件的判定标准．注意：值是由样本决定的，并不等于犯第一类错误的概率，是与样本数据无关的值，它可以是在假设之前设定的数值，也可以是一个显著性水平．在统计计算软件中，通常只输出值，由用户自己决定值多小时拒绝原假设．在实际问题中，大家一定要注意避免把值与值混淆．例：用值检验法检验本章例8.2.1某车间用一台包装机包装精盐，额定标准每袋净重500g．在机