2025-2026学年《11.5线段的垂直平分线》同步测试题鲁教版（五四制）七年级下学期数学 含答案

/2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.5线段的垂直平分线》同步自主达标测试题一、单选题（满分24分）1．如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（

）A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处2．如图，AC=AD,A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．△ABC是等腰三角形 D．AB与CD3．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+ADA．AB B．AC C．BC D．不确定4．如图，点O是△ABC三条边的垂直平分线的交点，连接BO，CO，若∠A=A．90°+12α B．2α C．5．如图，△ABC的边AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD，若△BCD为等边三角形，且周长为12，则AD的长为（A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=45°

A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=15cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，交AB的垂直平分线于点FA．5cm B．10cm C．15cm 8．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12，BC=20，点E在边BC上，且BE=4，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，点P为直线MN上一动点，点F为边A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（满分24分）9．如图，点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6 cm，则AO10．如图，小杭在数学实践课上用直尺和圆规作图，设∠B=α，∠C=β11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E12．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线与BC分别交于D，13．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E，若AB=18，AC=1014．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，30°<∠ACB<45°，BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，在BD上取一点E，使得EC=15．如图，OE，OF分别垂直平分AC，BD，垂足分别为E，F，且AB=CD，∠ABD=120°，∠CDB= 16．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△三、解答题（满分72分）17．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC(1)若∠ABE=40°，求(2)若△ABC的周长为41cm，BC=1118．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点F为线段BC上一点，连接AF，过点C作CE⊥(1)尺规作图：过点B作AF的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：点D为AE的中点．证明：∵BD⊥AE∴∠BDA∵∠BAC∴∠BAD在Rt△ABD中，∴__________．在△ABD与△∠∴△ABD∴___________．∵AE∴AE即点D为AE的中点．19．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连接BE，(1)求证：∠EBC(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC．20．（8分）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E(1)求△OEF(2)连接PM，PN，若∠APB=45°，判定21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，连接AD，CD，BD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点(1)求证：BD垂直平分AC；(2)若BC=9，DE=5，求22．（8分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N(1)若△CMN的周长为20cm，求(2)若∠ACB=106°，求23．（8分）如图，已知在等腰直角三角形DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A(1)延长BF交AC于E，证明：BE垂直平分AC；(2)在（1）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．请猜想CE，GE，BG之间的数量关系．24．（10分）已知在Rt△ABC中，AB=AC，点D在(1)如图1，若AD=AC，设∠B(2)如图2，取BC中点F，证明：Rt△ABC三边的垂直平分线交于点(3)如图3，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P．当线段AC与线段BD互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：△PDE25．（10分）在学习《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段与角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系．【活动初探】（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC【变式再探】（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，△CFA和△BEA分别为等边三角形，CF与BE相交于点G，连接AG并延长，交BC于点D【类比深探】（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∠ABC=30°，点F为直线AD上一动点，点E为CA延长线上一动点，且满足FB=FE，连接BE答案1．D【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键．由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答．【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；C．三角形高的交点为垂心，不符合题意；D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意．故选D．2．B【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题．【详解】解：∵AC=AD，∴A、B在CD的垂直平分线上，即AB垂直平分CD（但CD不一定垂直平分AB）．∴△ABC∴A，C，D错误，B正确，故选：B．3．B【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键．由BC=BD+AD，【详解】解：∵BC而BC=∴DA∴点D在AC的垂直平分线上．故选：B．4．B【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，由线段垂直平分线的性质推出OA=OB=OC，得到∠OCA=∠OAC【详解】解：如图，点D是AO延长线上一点，∵点O是△ABC∴OA=∴∠OCA=∠OAC∵∠COD=∠OCA∴∠COD∴∠BOC∵∠BAC∴∠BOC故选：B．5．B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出AD的长度．【详解】解：∵△BCD为等边三角形，且周长为12∴BC=∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=∴AD=4故选：B．6．B【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得MN垂直平分BC，则有BD=CD=AC=2【详解】解：由作图可知：MN垂直平分BC，∴BD=∵CD=AC，∴CD=AC=2∴∠ACD∴S△故选B．7．C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得AD=CD，【详解】解：∵AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于F，∴AD=CD，∴△BDF的周长是BF故选：C.．8．B【分析】本题考查了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，正确找出PE+PF的值最小时，点作点E关于直线MN的对称点G，连接PG,FG，得出相等的线段，根据两点之间线段最短和垂线段最短确定点【详解】解：如图，作点E关于直线MN的对称点G，连接PG,则EN=∴PE+由两点之间线段最短可知，当点F，P，G共线时，PG+PF的值最小，最小值为FG，由垂线段最短可知，当FG⊥AB时，∵MN垂直平分BC，且BC=20∴BN=∵BE=4∴GN=∴BG=∵FG⊥∴∠BGF∴BF=∵AB=12当PE+PF的值最小时，AF的长为故选：B．9．18【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；根据垂直平分线的性质可知AO=【详解】解：∵点O为△ABC∴AO∴AO故18．10．180°−2【分析】此题考查了垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握等边对等角和垂直平分线的性质是关键．根据垂直平分线的性质和等边对等角得到∠B=∠BAD【详解】解：由作图可知，DE垂直平分AB，∴BD=∴∠B∴∠ADC∴∠C=β∴∠故180°−211．3【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，根据中垂线的性质，得到AE=BE，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到【详解】解：∵DE垂直平分AB交BC于点E，BE=6∴AE=∴∠BAE∴∠AEC∵∠C∴AC=故3．12．50°【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，由线段垂直平分线的性质得到DB【详解】解：∵∠BAC=115°，∴∠B∵AB，AC的垂直平分线与BC分别交于∴DB=∴∠DAB∴∠DAB∴∠DAE故50°．13．28【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到MN为BD的垂直平分线．根据作法可得AD=AC，再由垂直平分线的画法可得MN为BD的垂直平分线，由此可得【详解】解：∵以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，∴AD=∵以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点∴MN为BD的垂直平分线，∴EB=∵AB=∴AE+∴△ADE的周长为AE故28．14．55【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．如图：连接BF并延长交CD于G，由垂直平分线的性质可得BD=CD,BF=CF，利用等边对等角可得∠DBC=∠ACB=35°,∠GBC=∠ECB【详解】解：如图：连接BF并延长交CD于G，∵BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，∴BD=∴∠DBC∴∠BAC=90°−∠ACB∴∠DBG∵BD=∴△DBG∴BG=∵EC=∴BG=∴∠BGD∴∠DEC故55．15．41°【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角度的和差关系，掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定是解题的关键．先连接OA、OC、OD，利用垂直平分线性质得OA=OC，OB=OD，再用SSS证明△ABO【详解】解：如图，连接OA，OC，OD．∵OE，OF分别垂直平分AC，BD，∴OA=OC∴∠OBD在△ABO和△OA∴△ABO∴∠ABO设∠OBD=∠ODB则∠ABD=α∴α= 故41°．16．14【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．如图，连接PC，可得PB=PC，从而可得PA+PB=PA+PC≥AC，当P在EF与【详解】解：如图，连接PC．∵EF垂直平分线段BC，∴PB=∴PA+∴PA+PB的最小值为∴△ABP的周长的最小值为6+8=14故14．17．(1)30°(2)26【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，则∠ABE=∠A=40°；由（2）根据三角形的周长公式可得AB+AC=30cm，推出AB=AC=15【详解】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=∴∠∵AB=∴∠ABC∵∠A∴∠∴∠EBC（2）解：∵△ABC的周长为41∴AB+∴BC=11∴AB+又∵AB=∴AB=∵AE=∴△BCE的周长=18．(1)图见解析(2)∠CAD，∠CAD【分析】（1）根据高线的作法作图即可；（2）根据垂直可得直角，再由等量代换可得∠CAD=∠ABD，根据角角边的证明方法证明△ABD与【详解】（1）解：以点B为圆心，BF长为半径画弧与AE交于两点，分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的12连接两侧交点，必定经过B点，与AE相交于D点，此时BD⊥（2）证明：∵BD⊥AE∴∠BDA∵∠BAC∴∠BAD在Rt△ABD中，∴∠CAD在△ABD与△∠∴△ABD∴CE=∵AE∴AE即点D为AE的中点．故∠CAD，∠CAD=∠19．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SAS证明△DBC（2）连接AF，根据全等三角形的性质得出FB=FC，根据线段垂直平分线的判定可得出点F在线段BC的垂直平分线上，同理得出点A在线段【详解】（1）证明：∵AB=AC∴BD=CE又∵BC∴△DBC∴∠EBC（2）证明：连接AF，∵∠FBC∴FB∴点F在线段BC的垂直平分线上，∵AB∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴过点A，F的直线垂直平分线段BC．20．(1)10(2)△PMN【分析】（1）根据轴对称的性质可得EM=EO，（2）根据轴对称的性质可得∠APM=∠APO，∠【详解】（1）解：∵M，N分别是点O∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON∴EM∴EO∵MN∴△OEF的周长为10（2）解：△PMN连接OP，∵M，N分别是点O关于∴PA垂直平分MO，PB∴PM∴∠APM=∠APO∵∠APB∴∠MPN∴∠MPN=2∠又PM=∴PM∴△PMN21．(1)证明见解析(2)EF的长为4【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可；（2）证明△CEF是等边三角形得EF=CE【详解】（1）证明：∵△ABC∴AB∵AD∴点B、点D在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC（2）解：∵△ABC∴∠ACB∵DE∴∠CEF∴∠CEF∴△CEF∴EF由（1）可知BD垂直平分AC，∴∠CBD∴∠BDE∴∠BDE∴DE∴CE∴EF22．(1)AB的长为20(2)∠MCN的度数为【分析】（1）由题意易得AM=CM，BN=CN，则有AB=（2）由题意易得∠A+∠B【详解】（1）解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM∴AB∵△CMN的周长为20∴CM∴AB（2）解：在△ABC中，∠∴∠A∵AM=CM∴∠MCA=∠A∴∠MCA∴∠MCN即∠MCN的度数为32°23．(1)证明见解析(2)C【分析】（1）容易证明△BDF≌△CDASAS，则∠ACD=∠DBF，结合对顶角相等可得∠ACD+∠CFE=∠（2）连接CG，由等腰三角形的性质可得DH垂直平分BC，则BG=CG，由勾股定理可得CE【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形DBC中，∠BDC∴DB=DC，在△BDF和△DB=∴△BDF∴∠ACD∵∠DBF又∵∠BFD∴∠ACD∴∠BEC=180°−∠ACD∴∠BEA∵BF平分∠DBC∴∠ABE在△ABE和△∠ABE∴△ABE∴AE=∴BE垂直平分AC；（2）解：如图，连接CG，∵DB=DC，H是∴DH⊥BC，即DH垂直平分∴BG=由（1）可知，∠BEC在Rt△CEG中，∴CE24．(1)45°(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可知：∠B=x°，则∠B=∠ADB（2）过点F作FM⊥AB，FN⊥AC，由题意可知△ABF和△ACF都为等腰直角三角形，又因为FM⊥AB，FN⊥（3）过点P作PH⊥CD，PG⊥AC，由中心对称可知AO=CO，BO=DO，可证△AOB≌△COD，可得AB=CD，∠【详解】（1）解：∵AB=AC，∴AD=∴∠B=∠ADB∵∠B∴∠B∴∠BAD∵∠BAC∴∠DAC∵AD=∴∠ADC∴∠BDC（2）证明：如图所示，连接AF，过点F作FM⊥AB，∵AB=AC，且F为∴AF⊥BC，且△ABF又FM⊥AB，∴点M和点N分别是AB和AC的中点，∴FM和FN分别是AB和AC的中垂线，故Rt△ABC三边的垂直平分线交于点（3）证明：如图所示，过点P作PH⊥CD，∵线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P，∴EP=∵点D正好和点B关于线段AC的中点O对称，∴AO=CO，BO=∴△AOB∴A