2025-2026学年1.2有理数及其大小比较知识归纳与题型突破人教版七年级上学期（十八题型） 含答案

/1.2有理数及其大小比较知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版七年级上册（十八题型）知识归纳知识点1.有理数的概念1.自然数：0和正整数统称为自然数。2.整数：正整数、零和负整数统称整数。3.分数：正分数和负分数统称分数。4.有理数：整数和分数统称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。（1）是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。（2）有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。知识点2.有理数的分类注意：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.1.有理数按符号（正、负）分类如下：2.有理数按定义分类如下：【注意】1.整数中除了正整数和负整数，还有0.2.两个整数的比，如2/3,-1/2等、有限小数(如0.2，－3.14等)、无限循环小数等都是分数；3.小数除有限小数、无限循环小数外，还有一类无限不循环小数(无理数)，不在有理数的学习范围.所以，我们不能说小数都是有理数.4.能约分成整数的数不能算做分数，如15/3。知识点3.数轴的概念1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以用数轴上的点表示。2.数轴的画法.画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.数轴的画法：（1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.（2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.（3）选择适当的长度为单位长度.画数轴注意事项：(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；(2)直线一般画水平的；(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限.【方法总结】一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．知识点4.相反数的概念1.相反数的概念（1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（2）一般地，a和-a互为相反数.（3）特别地，0的相反数是0.2.相反数的几何意义（1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等.（3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a，这两点关于原点对称.【方法总结】1.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有2个，它们分别在原点的左右，表示-a和a，我们说这两点关于原点对称.2.a的相反数是－a，a可表示任意有理数.3.求一个数的相反数方法：在这个数前加一个“－”号．4.化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.知识点5.绝对值的概念概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记做|a|性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即（1）如果a＞0，那么|a|=a（2）如果a=0，那么|a|=0（3）如果a＜0，那么|a|=-a【知识总结】1.任何一个有理数的绝对值都是非负数，|a|≥02.相反数、绝对值的联系是什么？（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.（2）绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.3.几个非负数的和为0，则这几个数都为0.4.注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值.知识点5.有理数大小比较的法则（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.【方法总结】比较有理数大小的方法.方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。题型突破题型01有理数的认识【典例1】下列各数中，是有理数的是（）A． B．π C． D．【正确答案】C．【变式1】在1.5，﹣2，，﹣0.7，6，15%中，负分数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【正确答案】A．【变式2】下列说法正确的是（）A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数【正确答案】A．【变式3】下列说法正确的是（）A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数【正确答案】B．【变式4】下列说法中正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．正整数与正分数统称为正有理数【正确答案】D．【变式5】下列说法正确的个数是（）①0是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③若a是正数，则﹣a是负数；④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正的就是负的；⑥一个有理数不是整数就是分数．A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】B．题型02对有理数进行分类【典例1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．（1）整数集合：{…}；（2）分数集合：{…}；（3）非负整数集合：{…}；（4）负有理数集合：{…}。【正确答案】（1）﹣11，﹣9，0，+12；（2），﹣6.4，﹣4%；（3）0，+12；（4）﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%．【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内：﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%整数集合{…}；正分数集合{…}；非正整数集合{…}；有理数集合{…}．【正确答案】解：整数集合{﹣7，0，10，﹣…}；正分数集合{3.5，，0.03，12%…}；非正整数集合{﹣7，3.5，0，，0.03，﹣3，﹣，12%…}；有理数集合{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%...}．【变式2】把下列各数填在相应的集合中：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，．正数集合{…}；负分数集合{…}；非负整数集合{…}；有理数集合{…}．【正确答案】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，…}；负分数集合{﹣，﹣3.1…}；非负整数集合{15，171，0…}；有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，…}．故15，0.81，，171，3.14，π，；﹣，﹣3.1；15，171，0；15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，．【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内：自然数集合{…}；；整数集合{…}；；正分数集合{…}；；非正数集合{…}；；有理数集合{…}；．【正确答案】解：自然数集合：{0，10…}；整数集合：{﹣7，0，10，﹣…}；正分数集合：{3.5，，0.03…}；非正数集合：{﹣7，﹣3.1415，0，﹣3，﹣0.，﹣…}；有理数集合：{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}．【变式4】把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14（1）正数集合：{…}；（2）负数集合：{…}；（3）整数集合：{…}；（4）分数集合：{…}；（5）非负整数集合：{…}【正确答案】解：（1）正数集合：{+27，，3.14……}；（2）负数集合：{﹣13.5，﹣，﹣10……}；（3）整数集合：{0，+27，﹣10……}；（4）分数集合：{﹣13.5，﹣，，3.14……}；（5）非负整数集合：{0，+27……}，故（1）+27，，3.14；（2）﹣13.5，﹣，﹣10；（3）0，+27，﹣10；（4）﹣13.5，﹣，，3.14；（5）0，+27题型03对“非”字的有理数的理解【典例1】在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】B．【变式1】在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有3个．【正确答案】3．【变式2】在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【正确答案】B．【变式3】在﹣5，2.3，0，π，五个数中，非负有理数共有（）【正确答案】B．【变式4】有理数﹣3，0.618，中，非正数的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【正确答案】C．题型04数轴的画法【典例1】下列表示数轴正确的是（）A． B． C． D．【正确答案】C．【变式1】图中所画的数轴，正确的是（）A． B． C． D．【正确答案】D．【变式2】下列各图中，数轴画正确的是（）A． B． C． D．【正确答案】A．题型05数轴与有理数的关系【典例1】如图，数轴上点P表示的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【正确答案】A．【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5【正确答案】B．【变式2】如图，数轴上表示数﹣1.5的点所在的线段是（）A．AB B．BO C．OC D．CD【正确答案】A．【变式3】分别写出数轴上A、B、C表示的数．【正确答案】解：数轴上A、B、C表示的数分别是：﹣2.5，0，3.5．【变式4】把下列各数：2.5，﹣3，0，，﹣1.6（1）分别在数轴上表示出来：（2）将上述的有理数填入图中相应的圈内．【正确答案】解：（1）在数轴上表示如下：（2）题型06数轴上点与点之间的距离【典例1】在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（）A．3 B． C．﹣3 D．【正确答案】C．【变式1】数轴上到原点的距离等于3的点表示的数是．【正确答案】±3．【变式2】数轴上点A表示﹣4，点B表示3，则A、B两点间的距离是（）A．﹣1 B．﹣5 C．7 D．1【正确答案】C．【变式3】在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（）A． B． C．5 D．﹣5【正确答案】D．【变式4】在数轴上，到表示﹣1的点的距离等于6的点表示的数是（）A．5 B．﹣7 C．5或﹣7 D．8【正确答案】C．【变式5】如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（）A．6 B．6或﹣6 C．11或﹣6 D．11或﹣1【正确答案】D．题型07数轴上的动点问题【典例1】在数轴上，点A表示数﹣5，将点A在数轴上移动7个单位长度到达点B，则点B所表示的数为（）A．7 B．2 C．﹣12 D．2或﹣12【正确答案】D．【变式1】数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（）A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2【正确答案】D．【变式2】如图，一个点在数轴上从原点开始先向右移动1个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为﹣3，则a的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【正确答案】B．【变式3】如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是（）A．π B．﹣1+π C．2π﹣1 D．﹣π【正确答案】D．【变式4】如图，直径为1的圆上有一点A，且点A与数轴上表示﹣1的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点A再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（）A．3与4之间 B．6与7之间 C．﹣7与﹣6之间 D．﹣5与﹣4之间【正确答案】D．题型08数轴的折叠问题【典例1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4【正确答案】C．【变式1】在数轴上，与表示﹣2和4的点距离相等的点所表示的数为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【正确答案】C．【变式2】在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣1的点与表示3的点重合，表示数7的点与点A重合，则点A表示的数是（）A．5 B．﹣3 C．﹣7 D．﹣5【正确答案】D．【变式3】在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数﹣2对应的点与数4对应的点重合．则：（1）数轴上数8对应的点与数对应的点重合；（2）若数轴上两点A，B（点A在B的左侧），折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5，则点A表示的数为．【正确答案】解：（1）记折叠处为点C，∵数轴上数﹣2对应的点与数4对应的点重合，∴点C表示的数为，由折叠的性质可知，8到C的距离和其对应点到C的距离相等，又∵8﹣1＝7，1﹣7＝﹣6，∴数轴上数8对应的点与数﹣6对应的点重合；故﹣6．（2）∵折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5，①当AC﹣BC＝5时，由题知，AC+BC＝50，∴由上面两式整理可得，2AC＝55，解得AC＝27.5，∵点C表示的数为1，点A在B的左侧，∴点A表示的数为1﹣27.5＝﹣26.5，②当BC﹣AC＝5时，由题知，AC+BC＝50，∴由上面两式整理可得，2AC＝45，解得AC＝22.5，∵点C表示的数为1，点A在B的左侧，∴点A表示的数为1﹣22.5＝﹣21.5，综上所述，点A表示的数为﹣21.5或﹣26.5．故﹣21.5或﹣26.5．【变式4】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，回答以下问题：2表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数为：．【正确答案】解：折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，所以折叠点对应的数为；①设2表示的点所对应的点表示的数为x，则，解得x＝﹣4，即2表示的点与数﹣4表示的点重合；故﹣4；②数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数为﹣1﹣＝﹣5.5，故﹣5.5．题型09判断两个数是否为相反数【典例1】下列各组数中互为相反数的是（）A．2与﹣2 B．2与 C．与﹣2 D．﹣2与【正确答案】A．【变式1】下列各对数中，互为相反数的是（）A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1【正确答案】B．【变式2】下列两个数中，互为相反数的是（）A．+3和﹣（﹣3） B．3和 C．﹣2和 D．+（﹣4）和﹣（﹣4）【正确答案】D．【变式3】下列各对数中，互为相反数的（）A．和﹣（+0.5） B．和0.3333 C．和﹣1.25 D．﹣（﹣2）和+（+2）【正确答案】C．【变式4】下列不是互为相反数的是（）A．﹣|﹣3|与+3 B．+（﹣3）与3 C．﹣（﹣3）与3 D．﹣（﹣3）与﹣3【正确答案】C．题型10求数或式子的相反数【典例1】实数﹣的相反数是（）A．2025 B．﹣2025 C．﹣ D．【正确答案】D．【变式1】已知﹣3的相反数是a，则a的值为（）A．3 B．﹣ C． D．﹣3【正确答案】A．【变式2】﹣（﹣6）的相反数是（）A． B． C．﹣6 D．6【正确答案】C．【变式3】a﹣b的相反数是（）A．﹣a+b B．﹣a﹣b C．a+b D．a﹣b【正确答案】A．【变式4】a+b﹣c的相反数是（）A．﹣a﹣b+c B．a﹣b+c C．﹣a+b+c D．﹣a﹣b﹣c【正确答案】A．【变式5】（1）π﹣3的相反数是﹣π+3，π+1的相反数是﹣π﹣1；（2）a﹣b的相反数是﹣a+b，a+b的相反数是﹣a﹣b；（3）﹣a﹣b+c的相反数是C．A．a﹣b+cB．﹣a+b﹣cC．a+b﹣cD．﹣a﹣b﹣c【正确答案】C．题型11相反数的性质【典例1】若a与1互为相反数，则a+1＝（）A．﹣1 B．0 C．2 D．1【正确答案】B．【变式1】若代数式3x和2x﹣5互为相反数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【正确答案】A．【变式2】设a与b互为相反数，则＝．【正确答案】0．【变式3】若a和b互为相反数，则（a+b）2024结果是．【正确答案】0．【变式4】已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是（）A．p•q＝1 B． C．p+q＝0 D．p﹣q＝0【正确答案】C．题型12相反数与数轴【典例1】如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是．【正确答案】﹣2．【变式1】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【正确答案】D．【变式2】已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左边，则点A、B表示的数分别是（）A．﹣4，4 B．4，﹣4 C．8，﹣8 D．﹣8，8【正确答案】A．【变式3】已知：数轴上A点表示+8，B、C两点表示的数为互为相反数，且C到A的距离为3，求点B和点C各对应什么数？【正确答案】解：∵当点C在A的左边时，+8﹣3＝5，当点C在A点的右边时，+8+3＝11，∴C点表示的数是5或11，∴当C表示的数是5，B点表示的数是﹣5或当C表示的数是11，B点表示的数是﹣11．【变式4】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是．（用“＞”连接）【正确答案】解：根据图形可知：|a|＞|b|，a＜0，b＞0，∴﹣a＞b＞﹣b＞a．题型13求数或式子的绝对值【典例1】﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【正确答案】A．【变式1】计算|﹣2|的值是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【正确答案】D．【变式2】若a＜0，则a+|a|的值等于（）A．2a B．0 C．﹣2a D．a【正确答案】B．【变式3】若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【正确答案】C．【变式4】已知ab＞0，则++＝（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3【正确答案】C．【变式5】若|3x﹣5|＝x+2，则x的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【正确答案】B．题型14绝对值的非负性【典例1】已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（）A．2 B．6 C．8 D．4【正确答案】C．【变式1】若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（）A．5 B．1 C．2 D．0【正确答案】A．【变式2】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【正确答案】A．【变式3】已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为．【正确答案】4．【变式4】若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为﹣．【正确答案】﹣4．【变式5】当a＝1时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是．【正确答案】1，5．题型15根据绝对值的意义求字母的取值范围【典例1】当|x|＝﹣x时，则x一定是（）A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0【正确答案】C．【变式1】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1【正确答案】B．【变式2】若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（）A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5【正确答案】C．【变式3】若|a|＞a，则a是（）A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【正确答案】B．题型16绝对值与相反数【典例1】若|x|＝3，则x＝．【正确答案】±3．【变式1】若|x|＝|﹣7|，则x＝；若|x﹣7|＝2，则x＝．【正确答案】±7、9或5；【变式2】如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a的值为，b的值为．【正确答案】3，±1．【变式3】如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（）A．a＝b B．a＝﹣b C．相等或互为相反数 D．a、b均为0【正确答案】C．【变式4】已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（）A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1【正确答案】C．题型17绝对值与数轴【典例1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（）A． B． C． D．【正确答案】A．【变式1】已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b【正确答案】D．【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（）A．a＞﹣1 B．b＜1 C．|a|＜|b| D．﹣a＜﹣b【正确答案】B．题型18有理数的大小比较【典例1】在数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把下列各数连接起来．，3，﹣4，1，2.5．【正确答案】