高等数学（上册）课件 第5章第5节定积分的几何应用

第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用Advancedmathematics高等数学（上册）（第2版）上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的微元法一、直角坐标系中平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、平行截面面积已知的立体的体积四、旋转体的体积*五、极坐标系中平面图形的面积Oabxy一、直角坐标系中平面图形的面积下面我们分情形讨论如何用定积分求直角坐标系中平面图形的面积.图5.8情形1()由定积分定义知，由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形（见图5.8）的面积为.图5.9一、直角坐标系中平面图形的面积情形2由情形1，由连续曲线和()及直线，围成的平面图形（见图5.9）的面积为.如果大小不能确定,可改写为.情形3图5.10一、直角坐标系中平面图形的面积由连续曲线()及直线，与轴围成的平面图形（见图5.10）的面积为.实际使用时,必须按的大小把分成若干个小区间再计算积分.图5.11一、直角坐标系中平面图形的面积情形4由连续曲线和及直线，围成的平面图形（见图5.11）的面积为.【例1】解图5.12一、直角坐标系中平面图形的面积求曲线及直线围成的平面图形的面积.作草图（见图5.12），得曲线与直线的交点坐标为和.解方程组解法1解法2一、直角坐标系中平面图形的面积选择为积分变量,则所求平面图形的面积为选择为积分变量,则所求平面图形的面积为【例2】解图5.13y

一、直角坐标系中平面图形的面积求由曲线,及直线，围成的平面图形的面积.作草图（见图5.13），得曲线与在内的交点坐标为，解方程组故一、直角坐标系中平面图形的面积【例3】解求由曲线与围成的平面图形的面积.图5.14O28 xy

4

-2一、直角坐标系中平面图形的面积作草图5.14，得曲线与直线的交点坐标和.解方程组选择为积分变量,一、直角坐标系中平面图形的面积则所求平面图形的面积为【例4】解求由抛物线及其在点处的切线和轴围成的平面图形的面积.所以抛物线在处的切线方程为作草图5.15，

图5.15O一、直角坐标系中平面图形的面积坐标为，因为，切线与轴的交点选择为积分变量,一、直角坐标系中平面图形的面积则所求平面图形的面积为e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的微元法一、直角坐标系中平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、平行截面面积已知的立体的体积四、旋转体的体积*五、极坐标系中平面图形的面积在上一小节中,我们主要从定积分的几何意义入手,分几种情形讨论了如何使用定积分求直角坐标系中平面图形的面积.这一小节我们将利用牛顿－莱布尼茨公式,介绍一种普遍的使用定积分解决实际问题的思想——定积分的微元法.其过程是“分割、近似、求和、取极限”,利用定积分的定义可得换言之,因为积分区间是固定的,而如何确定被积表达式就是微元法中最核心的一步.二、定积分的微元法显然,则由牛顿－莱布尼茨公式可得所求量二、定积分的微元法对比定积分的定义,未知的情形下,如何确定其微分呢?我们可以利用一阶微分的定义,最后由牛顿－莱布尼茨公式得到所求量这个方法称为微元法.二、定积分的微元法总结一下,（1）定区间：根据实际问题建立适当的坐标系,（2）定微元：（3）定积分：注意为了方便起见,在下文中,积分变量,将相对于该小区间的部分量使得二、定积分的微元法e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的微元法一、直角坐标系中平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、平行截面面积已知的立体的体积四、旋转体的体积*五、极坐标系中平面图形的面积图5.16三、平行截面面积已知的立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,图5.17平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.三、平行截面面积已知的立体的体积【例5】则圆的方程为如图所示取坐标系,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的微元法一、直角坐标系中平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、平行截面面积已知的立体的体积四、旋转体的体积*五、极坐标系中平面图形的面积四、旋转体的体积图5.18（1）（2）情形1由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形轴旋转一周所得旋转体（见图5.18）的体积为绕四、旋转体的体积情形2由连续曲线和及直线，围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为O xy

d

c

O xy

d

c图5.19四、旋转体的体积情形3由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积（见图5.19）为四、旋转体的体积情形4由连续曲线和及直线，围成的平面图形由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为轴旋转一周所得的旋转体的体积为绕情形5

(柱壳法)图5.20四、旋转体的体积【例6】设平面图形由曲线与直线及轴围成，求（1）此平面图形的面积；解作草图5.20，（2）此平面图形绕

轴旋转一周所得旋转体的体积.四、旋转体的体积（1）当时，曲线及直线与轴围成的平面图形（2）当时，曲线及直线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积的面积或此平面图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积为四、旋转体的体积【例7】设平面图形由曲线与直线围成，如图5-12所示，求此平面图形分别绕轴和轴旋转一周而成旋转体的体积.解此平面图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积为；此平面图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积为.图5.21

O四、旋转体的体积【例8】求及在处的切线与轴围成的平面图形分别绕轴和轴旋转一周而成旋转体的体积.解在处切线的斜率为切线方程为，即，如图5.21所示．的体积为，轴旋转一周而成旋转体平面图形绕平面图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积为四、旋转体的体积或此平面图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积为四、旋转体的体积e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的微元法一、直角坐标系中平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、平行截面面积已知的立体的体积四、旋转体的体积*五、极坐标系中平面图形的面积*五、极坐标系中平面图形的面积１.极坐标系极坐标系是平面内由定点以及从引出的一射平面内的任一点都一一对应于一个有序二元数组称其为点如图5-22所示．组成的坐标系．条射线我们称定点为极点，线为极轴．与直角坐标系类似，的极坐标，这里是点到的距离，是极轴与极径的夹角，称为极角．一般而言，我们选择逆时针方向为极角的正方向．称为极径；*五、极坐标系中平面图形的面积２.直角坐标与极坐标的转换若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，习惯上，我们选取且则平的两类坐标和之间存在如下转换关系

面内点(5-1)注意的取值需检验象限.或者(5-2)*五、极坐标系中平面图形的面积将(-1,-1)转换为极坐标形式例如，它是圆心在半径为的圆周曲线.例如，由式(5-1)，我们可以将转换为直角坐标形式(-1,-1).反之，可由式(5-2)，我们一般用表示极坐标系中曲线的方程.是一个圆周曲线的方程.该曲线在直角坐标系中的方程为由式(5-1)，*五、极坐标系中平面图形的面积３.极坐标系中平面图形的面积由定积分的微元法，示为由连续曲线以及射线围成的平面图形，称为曲边扇形.如图5-23所示.以为积分变量，则在区间内的小曲边扇形的面积可以用近似替代.曲边扇形的面积可表*五、极坐标系中平面图形的面积此图形的面积为图形的面积.例10求心形线围成的平面解心形线围成的平面图形如图5-24所示.e7d195523061f1c01da