江苏省南京市燕子矶中学2023-2024学年高一上学期9月学分认定考试数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市栖霞区燕子矶中学高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、单选题1．（5分）命题“∃x＞1，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∃x≤1，x2﹣x＞0 B．∀x＞1，x2﹣x≤0 C．∃x＞1，x2﹣x≤0 D．∀x≤1，x2﹣x＞02．（5分）下列元素与集合的关系表示不正确的是（）A．0∈N B．0∈Z C． D．π∈Q3．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，}，B＝{﹣1，m}，B⊆A，则m＝（）A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1（多选）5．（5分）若，使得成立是假命题，则实数λ可能取值是（）A． B． C．4 D．56．（5分）已知全集U＝R，集合，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（）A．[﹣1，0） B．[﹣1，0）∪[1，2） C．（1，2） D．（0，1）7．（5分）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（）A．A＝B⊇C B．A＝B⊆C C．A＝B＝C D．A⊆B＝C8．（5分）若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（）A．{m|﹣4＜m＜1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|m＜0或m＞3}二、多选题（多选）9．（5分）下列函数最小值为2的是（）A． B． C． D．（多选）10．（5分）已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是（）A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b＞1，则（多选）11．（5分）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3（多选）12．（5分）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（）A．﹣5 B． C．π D．5三、填空题13．（5分）若集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则A∪B＝．14．（5分）已知正数a，b满足，求a+b的最小值是．15．（5分）已知条件p：2k﹣1≤x≤3，q：﹣5≤x≤3，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是．四、解答题17．（10分）（1）比较（a﹣2）（a﹣6）和（a﹣3）（a﹣5）的大小；（2）已知2＜x＜3，2＜y＜3，求x﹣y和的取值范围；18．（12分）已知集合A＝{x|x2≥9}，B＝{x||x﹣2|≥4}，．（1）求集合B和C；（2）若全集U＝R，求A∩（∁UB）．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|1﹣m＜x＜2m+3}．（1）若A∪B＝B，求实数m的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20．（12分）已知关于x的不等式x2+bx+c﹣3＜0的解集为（﹣1，2）．（1）当x∈（0，3]时，求的最小值；（2）∀x＞0，函数y＝x2+bx+c的图象恒在直线y＝mx的上方，求实数m的取值范围．21．（12分）（1）当a＞0，若关于x的不等式ax2﹣3x+2＜0的解集不空，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞ax﹣1的解集．22．（12分）某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件．已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）计算k的值为多少，并将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数：（2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

2023-2024学年江苏省南京市栖霞区燕子矶中学高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）命题“∃x＞1，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∃x≤1，x2﹣x＞0 B．∀x＞1，x2﹣x≤0 C．∃x＞1，x2﹣x≤0 D．∀x≤1，x2﹣x＞0【考点】特称命题的否定．【答案】B【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x＞1，x2﹣x＞0”的否定是：∀x＞1，x2﹣x≤0．故选：B．2．（5分）下列元素与集合的关系表示不正确的是（）A．0∈N B．0∈Z C． D．π∈Q【考点】元素与集合关系的判断．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可．【解答】解：根据元素与集合的关系知，0∈N，选项A正确；0∈Z，选项B正确；∈Q，选项C正确；π∉Q，选项D错误．故选：D．3．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．【解答】解：由＜1，可得a＞1或a＜0，故由a＞1，能够推出＜1，故a＞1是＜1的充分条件，由＜1，不能够推出a＞1，故a＞1是＜1的不必要条件，综上所述，a＞1是＜1的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，}，B＝{﹣1，m}，B⊆A，则m＝（）A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】B【分析】利用子集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，}，B＝{﹣1，m}，∴由集合元素的互异性知m≠0，由B⊆A，得m＝1，∴实数m的值是1．故选：B．（多选）5．（5分）若，使得成立是假命题，则实数λ可能取值是（）A． B． C．4 D．5【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【答案】AB【分析】由题意得到，3x2﹣λx+1≥0成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案．【解答】解：由题意得：，3x2﹣λx+1≥0成立是真命题，故在上恒成立，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立．故．故选：AB．6．（5分）已知全集U＝R，集合，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（）A．[﹣1，0） B．[﹣1，0）∪[1，2） C．（1，2） D．（0，1）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【答案】C【分析】由图可知所求集合为A∩B在A中补集，运算即可．【解答】解：由图可知所求集合为A∩B在A中补集，A∩B＝（0，1]，∴阴影部分表示的集合是（1，2）．故选：C．7．（5分）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（）A．A＝B⊇C B．A＝B⊆C C．A＝B＝C D．A⊆B＝C【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】A【分析】化简各集合，明确各集合表示的数的特点，即可判断各集合的关系，即得答案．【解答】解：由题意知，，，由此可知集合A，B表示被3除余1的数再除以6的数的集合，集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合，故A＝B⊇C．故选：A．8．（5分）若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（）A．{m|﹣4＜m＜1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|m＜0或m＞3}【考点】不等式恒成立的问题．【答案】C【分析】首先把不等式恒成立转化为求的最小值，再解关于m的不等式即可．【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y＝3，∴x+1+y＝4，∴＝（）（x+1+y）＝（20++）≥（20+2）＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，∴（）min＝9，∴若不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则应9＞m2﹣3m+5，解得，﹣1＜m＜4，故选：C．二、多选题（多选）9．（5分）下列函数最小值为2的是（）A． B． C． D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】BC【分析】利用基本不等式对各个选项逐个判断即可求解．【解答】解：A：当x＜0时，y＝x+＝﹣[（﹣x）+（﹣）]＝﹣2，所以最小值不是2，故A错误，B：y＝＝＝2，当且仅当，即x＝0时取得最小值为2，故B正确，C：因为y＝x＝2，当且仅当x，即x＝±1时取得最小值为2，故C正确，D：因为x（4﹣x）≥0，解得0≤x≤4，y＝＝2，当且仅当x＝4﹣x，即x＝2时取得最大值为2，故D错误，故选：BC．（多选）10．（5分）已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是（）A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b＞1，则【考点】命题的真假判断与应用；等式与不等式的性质．【答案】CD【分析】AB选项可举反例，C选项两边同时除以c2得到a＞b，C正确；D选项作差判定符号即可．【解答】解：A选项：若a＜b＜0，比如a＝﹣3，b＝﹣2，则a2＞b2，A错误；B选项：当c＝0时，a＞b，则ac2＝bc2，B错误；C选项：若ac2＞bc2，则c≠0，两边同时除以c2得到a＞b，C正确；D选项：a＞b＞1，＝，D正确；故选：CD．（多选）11．（5分）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值．【答案】AB【分析】讨论k是否为0，利用判别式列方程求值即可．【解答】解：由题意，k＝0时，4x+4＝0，解得x＝﹣1，符合题意；k≠0时，Δ＝42﹣4×4k＝0，解得k＝1；即实数k的值为0或1．故选：AB．（多选）12．（5分）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（）A．﹣5 B． C．π D．5【考点】其他不等式的解法．【答案】ABD【分析】先求解不等式x2﹣2x﹣8＞0得x＞4或x＜﹣2，解方程2x2+（2k+7）x+7k＝0可得x＝﹣k或x＝﹣，结合二次不等式的求法对k与的大小分类讨论，进而可求．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得x＞4或x＜﹣2，解方程2x2+（2k+7）x+7k＝0可得x＝﹣k或x＝﹣，显然k，若﹣k＜﹣即k＞时，不等式2x2+（2k+7）x+7k＜0的解集为（﹣k，），由题意得﹣5≤﹣k＜﹣4，解得4＜k≤5，若﹣k＞﹣即k＜时，不等式2x2+（2k+7）x+7k＜0的解集为（，﹣k），由题意得﹣3＜﹣k≤5，解得﹣5≤k＜3，综上，k的取值范围为[﹣5，3）∪（4，5]，故选：ABD．三、填空题13．（5分）若集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞﹣3}．．【考点】并集及其运算．【答案】{x|x＞﹣3}．【分析】根据并集的运算可解．【解答】解：因为集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，所以A∪B＝{x|x＞﹣3}．故答案为：{x|x＞﹣3}．14．（5分）已知正数a，b满足，求a+b的最小值是．【考点】基本不等式及其应用．【答案】．【分析】由已知结合乘1法，利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数a，b满足，所以a+b＝（a+b）（）＝（2+）＝，当且仅当a＝b＝时取等号．故答案为：．15．（5分）已知条件p：2k﹣1≤x≤3，q：﹣5≤x≤3，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【考点】充分条件与必要条件．【答案】（﹣∞，﹣2]．【分析】根据必要条件的概念列不等式，解之可得实数k的取值范围．【解答】解：根据条件p：2k﹣1≤x≤3，q：﹣5≤x≤3，设集合A＝{x|2k﹣1≤x≤3}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，因为p是q的必要条件，所以B⊆A．可得2k﹣1≤﹣5，解得k≤﹣2，即k的取值范围是是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．16．（5分）已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】．【分析】根据已知条件，求出x1，x2，再结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），解得a＜x＜3a，则x1＝a，x2＝3a，故＝＝4a+≥，当且仅当，即a＝时，等号成立，故的最小值是．故答案为：．四、解答题17．（10分）（1）比较（a﹣2）（a﹣6）和（a﹣3）（a﹣5）的大小；（2）已知2＜x＜3，2＜y＜3，求x﹣y和的取值范围；【考点】不等式比较大小．【答案】（1）（a﹣2）（a﹣6）＜（a﹣3）（a﹣5）；（2）﹣1＜x﹣y＜1，．【分析】（1）利用作差比较法进行判断即可；（2）利用不等式的基本性质进行求解即可．【解答】解：（1）因为（a﹣2）（a﹣6）﹣（a﹣3）（a﹣5）＝（a2﹣8a+12）﹣（a2﹣8a+15）＝﹣3＜0，所以（a﹣2）（a﹣6）＜（a﹣3）（a﹣5）；（2）∵2＜y＜3，∴﹣3＜﹣y＜﹣2，又∵2＜x＜3，∴﹣1＜x﹣y＜1，∵2＜y＜3，，又∵2＜x＜3，∴．18．（12分）已知集合A＝{x|x2≥9}，B＝{x||x﹣2|≥4}，．（1）求集合B和C；（2）若全集U＝R，求A∩（∁UB）．【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．【答案】（1）B＝{x|x≥6或x≤﹣2}，C＝{x|﹣1＜x≤7}；（2）A∩（∁UB）＝{x|3≤x＜6}．【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式即可得到答案．（2）解二次不等式得到A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，再求A∩（∁UB）即可．【解答】解：（1）因为|x﹣2|≥4⇒x﹣2≥4或x﹣2≤﹣4，解得x≥6或x≤﹣2，所以B＝{x|x≥6或x≤﹣2}．因为，所以C＝{x|﹣1＜x≤7}．（2）A＝{x|x2≥9}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，∁UB＝{x|﹣2＜x＜6}，所以A∩（∁UB）＝{x|3≤x＜6}．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|1﹣m＜x＜2m+3}．（1）若A∪B＝B，求实数m的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】充分条件与必要条件．【答案】（1）[4，+∞）；（2）．【分析】（1）解不等式得集合A，由A∪B＝B得A⊆B，再由集合包含关系得不等关系，从而求得结论；（2）由x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件得B是A的真子集，然后按B是否为空集分类讨论求解．【解答】解：（1）由题意知A＝{x|﹣3＜x＜2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，则，解得m≥4，则实数m的取值范围是[4，+∞）；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，当B＝∅时，1﹣m≥2m+3解得；当B≠∅时，（等号不能同时取得），解得，综上，．20．（12分）已知关于x的不等式x2+bx+c﹣3＜0的解集为（﹣1，2）．（1）当x∈（0，3]时，求的最小值；（2）∀x＞0，函数y＝x2+bx+c的图象恒在直线y＝mx的上方，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象．【答案】（1）1；（2）（﹣∞，1）．【分析】（1）依题意可得，﹣1和2是方程x2+bx+c﹣3＝0的两根，从而可求得b，c的值，再利用基本不等式即可求解；（2）依题意可得，已知条件等价于x2﹣x+1＞mx在x∈（0，+∞）上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解．【解答】解：（1）因为关于x的不等式x2+bx+c﹣3＜0的解集为（﹣1，2），所以﹣1和2是方程x2+bx+c﹣3＝0的两根，所以，解得，当x∈（0，3]时，，当且仅当x＝1时，等号成立，所以的最小值为1；（2）结合（1）可得y＝x2+bx+c＝x2﹣x+1，对于∀x＞0，函数y＝x2+bx+c的图象恒在函数y＝mx的图象的上方，等价于x2﹣x+1＞mx在x∈（0，+∞）上恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立，则即可，结合（1）可得当x＝1时，取得最小值1，所以m＜1，所以实数m的取值范围为（﹣∞，1）．21．（12分）（1）当a＞0，若关于x的不等式ax2﹣3x+2＜0的解集不空，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞ax﹣1的解集．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）；（2）当a＜0时，不等式的解集为，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}，当0＜a＜3时，不等式的解集为，当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}，当a＞3时，不等式的解集为或x＞1}．【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解，即可得到本题的答案．（2）根据实数a的正负，结合一元二次方程根之间的大小关系分类讨论进行求解即可．【解答】解：（1）因为a＞0，关于x的不等式ax2﹣3x+2＜0的解集不空，所以一元二次方程ax2﹣3x+2＝0的判别式大于零，即，结合