江苏省徐州市沛县2023-2024学年高三上学期期初模拟测试(一)数学试题

2023-2024学年江苏省徐州市沛县高三（上）期初数学试卷（一）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，则B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}2．（5分）已知复数z1，z2满足，则|z1|＝（）A．1 B． C． D．3．（5分）设α，β均为锐角，则“α＞2β”是“sin（α﹣β）＞sinβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为（）A． B． C． D．5．（5分）贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3：3：5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（）A．3：6：10 B．3：9：25 C．3：21：35 D．9：21：356．（5分）若，则＝（）A． B． C． D．17．（5分）已知在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，以斜边AB的中点O为圆心，AB为直径，在点C的另一侧作半圆弧AB，点M在圆弧上运动，则的取值范围为（）A． B．[0，4] C．[0，6] D．8．（5分）设，，，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9．（5分）已知向量＝（1，3），＝（2，﹣4），则下列结论正确的是（）A． B． C．向量的夹角为 D．在方向上的投影向量是（多选）10．（5分）已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x﹣6）2+y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则（）A．|AB|的最小值为 B．P到l的距离的最大值为 C．的最小值为 D．|PR|的最大值为（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，椭圆．过点作斜率分别为和的两条直线l1，l2，其中l1与C交于P，Q两点，l2与C交于S，T两点，且＝2，则（）A．C的离心率为 B．|ST|＝6 C． D．P，Q，S，T四点共圆（多选）12．（5分）已知数列{an}，{bn}的项数均为k（k为确定的正整数，且k≥2），若，，则（）A．{an}中可能有k﹣1项为1 B．{bn}中至多有k项为1 C．可能是以为公比的等比数列 D．可能是以2为公比的等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（5分）数列{an}满足a1＝2，，则＝14．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC＝PC，且∠APC＝∠BPC＝∠ACB＝30°，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为．15．（5分）已知直线2x﹣y﹣2＝0与双曲线C：x2﹣y2＝1交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．P（x3，y3）为C上一点，且x1＜x3＜x2，y1＜y3＜y2，则△PAB的面积最大值为．16．（5分）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，当x∈[1，2]时，2+mf（x）+2x＞0恒成立，则m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b1＝1，a2+a3＝10，b2b3＝﹣a4．（1）求数列{an}，{bn}通项公式；（2）设数列{cn}中满足cn＝an+bn，求和c1+c3+c5+…+c2n﹣1．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝c﹣b．（1）求B；（2）若＝4，求的值．19．（12分）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为＝4.7x﹣9495.2，且销量y的方差，年份x的方差为．（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动汽车购买电动汽车总计男性302050女性153550总计4555100能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关？（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式；（ⅰ）线性回归方程：，其中，；（ⅱ）相关系数：，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；（ⅲ），其中n＝a+b+c+d．附表：α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.82820．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，AC⊥PB．（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；（2）若PB⊥BC，直线PB与平面PAC所成的角为30°，求PD的长．21．（12分）已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，且，F到C的渐近线的距离为1，过点B（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线MB，NB的斜率分别为k1，k2，判断k1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝ex+（2﹣a）cosx．（1）若f（x）在[0，+∞）单调递增，求a的取值范围；（2）当x≥0时，f（x）≥a（x﹣1）+3，求a的取值范围．

2023-2024学年江苏省徐州市沛县高三（上）期初数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，则B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}【考点】元素与集合关系的判断．【答案】C【分析】先化简集合A，再根据集合B的条件化简B即可得解．【解答】解：∵A＝[﹣2，2]，又B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，∴x﹣1∈[﹣2，2]，∴x∈[﹣1，3]，又x∈N*，∴x＝1，2，3，∴B＝{1，2，3}，故选：C．2．（5分）已知复数z1，z2满足，则|z1|＝（）A．1 B． C． D．【考点】复数的模；复数的运算．【答案】A【分析】设z2＝a+bi（a，b∈R），根据求得z2，根据z1+z2＝iz1求得代入运算，再根据模长公式即可求解|z1|．【解答】解：设z2＝a+bi（a，b∈R），因为，所以a2﹣b2+2abi＝2i，所以，解得或，所以z2＝1+i或z2＝﹣1﹣i，因为z1+z2＝iz1，所以，当z2＝1+i时，，则|z1|＝1；当z2＝﹣1﹣i时，，则|z1|＝1．故选：A．3．（5分）设α，β均为锐角，则“α＞2β”是“sin（α﹣β）＞sinβ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；三角函数线．【答案】C【分析】分别说明充分性和必要性，即可解出．【解答】解：因α，β均为锐角，若＞α＞2β＞0，＞α﹣β＞β＞0，∴sin（α﹣β）＞sinβ，若α，β均为锐角，即＜α﹣β＜，0＜β＜，又∵sin（α﹣β）＞sinβ，∴α﹣β＞β，即α＞2β，故α，β均为锐角，则“α＞2β”是“sin（α﹣β）＞sinβ”的充要条件，故选：C．4．（5分）某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】A【分析】设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为2r，小锥体的高为h，大锥体的高为2h，通过表示大圆锥和小圆锥体积，作差能求出圆台体积．【解答】解：设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为2r，小锥体的高为h，大锥体的高为2h，则大圆锥的体积即为＝1，整理得，∴小圆锥的体积为，∴该圆台体积为1﹣＝．故选：A．5．（5分）贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3：3：5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（）A．3：6：10 B．3：9：25 C．3：21：35 D．9：21：35【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】D【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得．【解答】解：设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，由上到下的三个几何体体积分别记为V1，V2，V3，则V1＝3mS，，，所以．故选：D．6．（5分）若，则＝（）A． B． C． D．1【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数．【答案】C【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简已知等式，求出tan2α＝，结合α的范围求出α的值，再进行计算即可得解．【解答】解：因为，可得3（1+tan2α）＝8×＝8×，可得3（1+tan2α）2＝8﹣8tan2α，解得tan2α＝，因为α∈（0，），所以tanα＝，所以α＝，所以＝cos＝．故选：C．7．（5分）已知在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，以斜边AB的中点O为圆心，AB为直径，在点C的另一侧作半圆弧AB，点M在圆弧上运动，则的取值范围为（）A． B．[0，4] C．[0，6] D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出半圆弧所在的圆的方程，利用数量积的坐标形式可求数量积的取值范围．【解答】解：∵直角三角形ABC为等腰直角三角形，∴可建立如图所示的平面直角坐标系，则C（0，0），A（2，0），B（0，2），∴AB为直径的圆的方程为：x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，设M（m，n），则，∴，∵M在半圆上运动变化，∴，故的取值范围为，故选：A．8．（5分）设，，，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较；利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】由题意可知，a＝，b＝，c＝，构造函数f（x）＝（x＞0），求导得到函数f（x）的单调性，进而比较大小即可．【解答】解：由题意可知，＝＝，b＝＝，c＝＝，设f（x）＝（x＞0），则f'（x）＝，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又因为4＞＞e，所以f（4）＜f（）＜f（e），所以b＜a＜c，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9．（5分）已知向量＝（1，3），＝（2，﹣4），则下列结论正确的是（）A． B． C．向量的夹角为 D．在方向上的投影向量是【考点】平面向量数量积的性质及其运算；投影向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的含义与物理意义．【答案】AC【分析】根据向量数量积的坐标运算，向量模的定义，向量夹角公式，投影向量的定义即可分别求解．【解答】解：对A，∵＝（3，﹣1）•（1，3）＝3×1+（﹣1）×3＝0，∴，∴A正确；对B，∵＝（4，2），∴＝＝2，∴B错误；对C，∵cos＝＝＝，∴＝，∴C正确；对D，∵在方向上的投影向量是＝（）＝﹣，∴D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）已知点P（2，4），若过点Q（4，0）的直线l交圆C：（x﹣6）2+y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则（）A．|AB|的最小值为 B．P到l的距离的最大值为 C．的最小值为 D．|PR|的最大值为【考点】直线与圆的位置关系．【答案】ABC【分析】如图所示，当CQ⊥l时，圆心到直线l的距离d最大，而弦长|AB|＝2才最小，且求出此时的弦长|AB|的值，判断A正确；由直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，并求出最大距离可得B正确；设R的参数坐标，求出数量积•，由函数的单调性可得其最小值，判断C正确；当P，C，R三点共线时，|PR|最大，求出其最大值，判断D不正确．【解答】解：如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为，所以A正确；当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为，所以B正确．设R（6+3cosθ，3sinθ），则•＝（2，﹣4）•（4+3cosθ，3sinθ﹣4）＝6cosθ﹣12sinθ+24＝6cos（θ+φ）+24，tanφ＝2，当cos（θ+φ）＝﹣1时的最小值为，所以C正确；当P，C，R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r＝+3＝4+3，所以D错误；故选：ABC．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，椭圆．过点作斜率分别为和的两条直线l1，l2，其中l1与C交于P，Q两点，l2与C交于S，T两点，且＝2，则（）A．C的离心率为 B．|ST|＝6 C． D．P，Q，S，T四点共圆【考点】椭圆的性质；直线与椭圆的综合．【答案】ABD【分析】求得P点坐标并代入椭圆方程，由此求得a，进而求得椭圆的离心率．设出直线l1和l2的参数方程并与椭圆方程联立，根据根与系数关系、圆的知识求得正确答案．【解答】解：依题意，即，所以，解得a＝4（负根舍去）．所以椭圆，则．依题意可知直线l1的倾斜角α为锐角，且，由解得．直线l2的倾斜角β为钝角，且，由解得．设直线l1的参数方程为（t为参数），由整理得，解得（不妨设）．设直线l2的参数方程为（t为参数），由整理得t2﹣9＝0，解得tS＝3，tT＝﹣3（不妨设）．所以|ST|＝|tS﹣tT|＝6，B选项正确.，C选项错误．，所以，而∠SMQ＝∠PMT，所以△SMQ∽△PMT，所以∠MSQ＝∠MPT，所以P，Q，S，T四点共圆．所以D选项正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）已知数列{an}，{bn}的项数均为k（k为确定的正整数，且k≥2），若，，则（）A．{an}中可能有k﹣1项为1 B．{bn}中至多有k项为1 C．可能是以为公比的等比数列 D．可能是以2为公比的等比数列【考点】等比数列的性质．【答案】AC【分析】由题意，利用an＝Sn﹣Sn﹣1求出数列{an}，{bn}，再根据k的取值判断即可．【解答】解：∵①，∴②，①﹣②得．同理可得．所以数列{an}，{bn}中仅有1项为1，当k＝2时，故A正确．因为k≥2，故B错误．由于，所以当k≥2时，是以为公比的等比数列，C正确，D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（5分）数列{an}满足a1＝2，，则＝【考点】数列递推式．【答案】．【分析】由已知整理得，先利用累乘法求数列{an}的通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从而得到结果．【解答】解：由得：，；设Sn＝a1+a2+⋅⋅⋅+an，则，∴，∴＝2+2n﹣2﹣（n+1）⋅2n＝﹣n⋅2n，∴，即，∴，，∴．故答案为：．14．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC＝PC，且∠APC＝∠BPC＝∠ACB＝30°，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【答案】．【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得PE⊥面ABC，从而得到∠PCE为直线PC与平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理与勾股定理求得cos∠PCD，从而求得cos∠PCE，由此得解．【解答】解：记AB的中点为D，连结PD，CD，过P作PE⊥CD交CD的延长线于E，如图，因为AC＝BC，D为AB的中点，所以AB⊥CD，因为AC＝BC，∠APC＝∠BPC，PC＝CP，所以△APC≅△BPC，则PA＝PB，又D为AB的中点，所以AB⊥PD，因为CD∩PD＝D，CD，PD⊂面PCD，所以AB⊥面PCD，又PE⊂面PCD，所以AB⊥PE，因为PE⊥CD，CD∩AB＝D，CD，AB⊂面ABC，所以PE⊥面ABC，所以∠PCE为直线PC与平面ABC所成角的平面角，不妨设AC＝BC＝PC＝m，在△ABC中，∠ACB＝30°，则，，在Rt△BCD中，，在△PBC中，∠BPC＝30°，则BC2＝PC2+PB2﹣2PC⋅PBcos30°，即，故，在Rt△PBD中，，所以在△PCD中，，又，则，即，所以，所以，故直线PC与平面ABC所成角的余弦值为．故答案为：．15．（5分）已知直线2x﹣y﹣2＝0与双曲线C：x2﹣y2＝1交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．P（x3，y3）为C上一点，且x1＜x3＜x2，y1＜y3＜y2，则△PAB的面积最大值为．【考点】双曲线的性质．【答案】．【分析】依题意当P距离AB最远时，三角形PAB的面积取得最大值，设直线2x﹣y+t＝0与双曲线C：x2﹣y2＝1相切于P点，联立方程，利用判别式求得t即可．【解答】解：依题意，x1＜x3＜x2，y1＜y3＜y2由解得或，故A（1，0），B（，），|AB|＝＝为定值，由于x1＜x3＜x2，y1＜y3＜y2，所以P在双曲线A，B两点间的曲线上，P在第一象限，当P距离AB最远时，三角形PAB的面积取得最大值，设直线2x﹣y+t＝0与双曲线C：x2﹣y2＝1相切于P点，由消去y并化简得3x2+4tx+t2+1＝0，由Δ＝16t2﹣12（t2+1）＝4t2﹣12＝0解得t＝﹣（正根舍去），故切线方程为2x﹣y﹣＝0，直线2x﹣y﹣2＝0与直线2x﹣y﹣＝0的距离为，所以△PAB的面积最大值为＝．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，当x∈[1，2]时，2+mf（x）+2x＞0恒成立，则m的取值范围是（﹣2﹣5，+∞）．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质与判断．【答案】（﹣2﹣5，+∞）．【分析】先由f（x）是奇函数求出a，b，得到f（x）＝．利用分离参数法把题意转化为m＞﹣恒成立．令t＝2x﹣1∈[1，3]．记h（x）＝﹣＝﹣，利用基本不等式求出﹣的最大值，即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即＝0，解得：a＝1．又f（﹣1）＝﹣f（1），所以﹣＝﹣，解得：b＝1．所以f（x）＝＝1﹣．因为y＝2x在x∈[1，2]上单调递增，所以y＝2x+1在x∈[1，2]上单调递增，所以y＝在x∈[1，2]上单调递减，所以f（x）＝＝1﹣在x∈[1，2]上单调递增，所以f（x）≥f（1）＝＞0．所以要使2+mf（x）+2x＞0恒成立，只需m＞﹣＝﹣恒成立．因为y＝2x在x∈[1，2]上单调递增，所以2≤2x≤4，所以1≤2x﹣1≤3，令t＝2x﹣1∈[1，3]．记h（x）＝﹣＝﹣＝﹣（t++5）≤﹣（2+5）＝﹣（2+5）（当且仅当t＝，即t＝时，等号成立），所以h（t）max＝﹣2﹣5．所以m＞﹣2﹣5．即m的取值范围为（﹣2﹣5，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b1＝1，a2+a3＝10，b2b3＝﹣a4．（1）求数列{an}，{bn}通项公式；（2）设数列{cn}中满足cn＝an+bn，求和c1+c3+c5+…+c2n﹣1．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【答案】（1）an＝2n，bn＝（﹣2）n﹣1；（2）2n2+（4n﹣1）．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，设正项等比数列{bn}的公比为q，分别运用通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；（2）cn＝an+bn＝2n+（﹣2）n﹣1，设S2n﹣1＝c1+c3+c5+…+c2n﹣1，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a2+a3＝10，所以2a1+3d＝10，又a1＝2，所以d＝2，即an＝2+（n﹣1）×2＝2n，设正项等比数列{bn}的公比为q，因为b2b3＝﹣a4＝﹣8，即，因为b1＝1，所以q＝﹣2，所以bn＝（﹣2）n﹣1；（2）cn＝an+bn＝2n+（﹣2）n﹣1，设S2n﹣1＝c1+c3+c5+…+c2n﹣1，则S2n﹣1＝（2+1）+（6+22）+…+[2（2n﹣1）+22n﹣2]＝（2+6+…+2（2n﹣1）]+（1+22+…+22n﹣2）＝n（2+4n﹣2）+＝2n2+（4n﹣1）．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝c﹣b．（1）求B；（2）若＝4，求的值．【考点】解三角形．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，求出a2+c2﹣b2＝ac，再结合余弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及余弦定理，即可求解．【解答】解：（1）∵＝c﹣b，∴由正弦定理可得，a（c﹣a）＝（c﹣b）（c+b），即a2+c2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得，cosB＝，∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sinB，∴＝＝＝，∵，∴，∴b2＝2ac，由（1）可知，a2+c2﹣b2＝ac，∴a2+c2﹣3ac＝0，∴，解得，∴．19．（12分）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为＝4.7x﹣9495.2，且销量y的方差，年份x的方差为．（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动汽车购买电动汽车总计男性302050女性153550总计4555100能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关？（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式；（ⅰ）线性回归方程：，其中，；（ⅱ）相关系数：，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；（ⅲ），其中n＝a+b+c+d．附表：α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）r＝0.94，y与x线性相关较强；（2）有99%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关；（3）分布列见解析，．【分析】（1）利用相关系数r的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；（2）直接利用独立性检验公式求出χ2，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；（3）采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出X的取值0，1，2，3，4，求出对应概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．【解答】解：（1）相关系数为＝，所以，故y与x线性相关较强．（2）零假设为H0：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（3）11人中，男性车主人，女性车主人，则X的可能取值为0，1，2，3，4，故，，，，，故X的分布列为：X01234P．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，AC⊥PB．（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；（2）若PB⊥BC，直线PB与平面PAC所成的角为30°，求PD的长．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线PB的方向向量及平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式及两点间的距离公式即可求解．【解答】（1）证明：在平面四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD是等腰梯形，过点C作CE⊥AB于E，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以，，，所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC，又AC⊥PB，BC⋂PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面PAC，所以，平面PAC⊥平面PBC．（2）解：因为PB⊥BC，AC⊥PB，BC⋂AC＝C，BC，AC⊂平面ABCD，所以PB⊥平面ABCD，由（1）知，AC⊥BC，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示：则，因为AC⊥平面PBC，PB⊥BC，可设PB＝a（a＞0），所以P（0，1，a），则，设平面PAC的法向量为，则，即，令y＝a，则x＝0，z＝﹣1，所以，因为直线PB与平面PAC所成的角为30°，所以，解得或（舍），所以，又，所以．21．（12分）已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，且，F到C的渐近线的距离为1，过点B（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线MB，NB的斜率分别为k1，k2，判断k1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与双曲线的综合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由，得F到渐近线的距离为b＝1，又c2＝a2+b2，解得a，b，c，即可得出答案．（2）设直线l：x＝my+4，﹣2＜m＜2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l与双曲线的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，写出直线AP的方程，即可得出M点的坐标，同理可得N的坐标，再计算k1k2，即可得出答案．【解答】解：（1）因为，所以F到渐近线的距离为b＝1，又因为c2＝a2+b2，所以a＝2，b＝1，，故双曲线C的标准方程为．（2）设直线l：x＝my+4，﹣2＜m＜2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组得（m2﹣4）y2+8my+12＝0，所以，．因为直线AP的方程为，所以M的坐标为，同理可得N的坐标为．因为，，所以＝，即k1k2为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝ex+（2﹣a）cosx．（1）若f（x）在[0，+∞）单调递增，求a的取值范围；（2）当x≥0时，f（x）≥a（x﹣1）+3，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】（1）；（2）（﹣∞