第8节　向量法、几何法求空间距离

数学数学高考总复习索引索引01知识诊断自测 a2__(a·u)______________索引是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因索引诊断自测诊断自测概念思考辨析+教材经典改编索引索引索引2因为PA＝(－2,0,－1),索引6 索引BC1＝(－2,0,3),索引考点一向量法求点到直线的距离例1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA丄平面ABCD.若解析则BP＝(－3,0,1),BD＝(－3,4,0),索引5索引感悟提升(1)勾股定理法.求向量AM在向量AB上投影向量的长度,则其与|AM|和所求距(2)三角函数法.通过向量夹角公式求得cos<AM,AB>,再由平方关系求得sin<AM,AB>,进而通过|AM|sin<AM,AB>即可得到答案.索引索引52,则sin<EB,DB>＝1__cOS2<EB,DB>＝352,索引所以点E到直线BD的距离为|EB|·sin<EB,DB>1+×=索引考点二向量法求点到平面的距离例2(2026·河南部分学校联考)如图,在直三棱柱ABC-索引又AB1C平面AA1B1B,所以AC丄AB1,又因为A1B∩A1D＝A1,A1B,A1DC平面A1BD,索引索引所以点A到平面BCD的距离为‘.2索引感悟提升索引训练2(2026·盐城质检)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD(1)证明:AF丄EF;又PA丄底面ABCD,CDc平面ABCD,又AD∩AP＝A,AD,APc平面PAD,索引又CDc平面PCD,AFc平面PAD,又EFc平面PCD,所以AF丄EF.索引A(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,3),F(0,,,索引又BP＝(－3,0,3),索引考点三几何法求空间距离例3(1)如图,在四棱锥P－ABCD中,PB丄平面ABCD,PB＝AB=2BC＝4,AB丄BC,则点C到直线PA的距离为2又BCc平面ABCD,索引又因为AB丄BC,PB∩AB＝B,PB,ABc平面PAB,所以BC丄平面PAB,又BC丄PA,BM∩BC＝B,BM,BCc平面BCM,又CMc平面BCM,所以CM丄PA,即CM为点C到直线PA的距离.在Rt△BCM中,CM索引索引索引感悟提升索引解析又PM∩MN＝M,PM,MNc平面PMN,所以AB丄平面PMN,又ABc平面PAB.索引又PM＝PA2-AM2＝4-1＝3,PN＝PD2-DN2＝3-1＝2,MN＝AD＝2,在△PMN中,cosLMPN则sinLMPN索引2.____________A1B1C1D1,A1C1C平面A1B1C1D1,索引由VA1-BB1C1＝VB1-A1BC1,索引则D1(0,0,2),E(2,1,0),B1(2,2,2),D1E=取y＝2,则x＝3,ζ=4,2.如图,在三棱锥A－BCD中,平面ABD丄平面BCD,AB=(1)证明:OA丄BC;又平面ABD丄平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,AOc平面ABD,又BCc平面BCD,所以OA丄BC.过点O作OM聂CF交BC于点M,所以点E到直线BC的距离为|BE|sin<BC,BE>=×=.面PCD.因为平面APC丄平面PCD,平面APC∩平面PCAHc平面PAC,AH丄PC,所以AH丄平面PCD,又CDc平面PCD,因为PA丄平面ABCD,CDc平面ABCD,因为PB4平面AEC,OEc平面AEC,所以CD丄AC.S△ABC=×3×4＝6.2因为PB4平面AEC,OEc平面AEC,又ACc平面PAC,所以CD丄AC.底面为矩形,平面AA1D1DT平面CC1D1D,且CC1＝CD1=DD1＝2C1D1＝1.(1)证明:ADT平面CC1D1D;作DHTD1C1于H(图略),则D1H＝,7DD1H＝,所以7DD1C1＝.平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1,DC1C平面CC1D1D,又因为ADC平面AA1D1D,所以AD丄DC1.又因为AD丄DC,DC∩DC1＝D,DC,DC1C平面CC1D1D,解连接A1C1,D1C