2026年函数及其性质测试题及答案

2026年函数及其性质测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.D2.A3.D4.A5.B6.C7.A8.A9.A10.A二、填空题（总共10题，每题2分）1.对应法则2.原点3.(2,+∞)4.45.y=(x+2)/36.同增异减7.-18.2和39.210.-1；0三、判断题（总共10题，每题2分）1.错2.对3.错4.对5.对6.对7.错8.对9.对10.对四、简答题（总共4题，每题5分）1.设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I。若对于D内任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，则称f(x)在D上单调递增；若当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，则称f(x)在D上单调递减。单调递增或单调递减的函数统称为单调函数，D称为单调区间。2.奇函数性质：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称；若定义域含0，则f(0)=0；在对称区间上单调性相同。偶函数性质：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称；在对称区间上单调性相反。奇偶函数定义域均关于原点对称。3.求定义域常见情况：分式分母不为0；偶次根号下被开方数≥0；对数函数真数>0、底数>0且≠1；正切函数x≠kπ+π/2（k∈Z）；实际问题需满足变量实际意义；复合函数需保证内层函数值域在外壳函数定义域内。4.存在条件：函数是一一映射（即严格单调或定义域上一一对应）。性质：反函数定义域是原函数值域，值域是原函数定义域；原函数与反函数图像关于y=x对称；若原函数单调递增（减），反函数也单调递增（减）；若f(a)=b，则f⁻¹(b)=a。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.单调性：f(x)=x³在R上单调递增。任取x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=x₂³-x₁³=(x₂-x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²)，x₂-x₁>0，x₂²+x₁x₂+x₁²=(x₁+x₂/2)²+3x₂²/4>0，故f(x₂)>f(x₁)。奇偶性：f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，是奇函数，图像关于原点对称。2.判断方法：先分解为外层f(u)和内层u=g(x)，分别判两者单调性，再用“同增异减”：若f、g同增或同减，复合函数增；若一增一减，复合函数减。例：f(u)=lnu（u>0增），g(x)=x²（x≥0增，x<0减），则f(g(x))=lnx²，当x>0时，g(x)增、f(u)增，复合增；x<0时，g(x)减、f(u)增，复合减。3.应用：①求函数值：周期T=2，f(5)=f(5-2×2)=f(1)=3；②简化性质研究：只需研究一个周期内单调性、奇偶性，再扩展到全体；③解不等式：f(x)>1，周期T=3，先解[0,3)内x范围，再加kT（k∈Z）；④图像绘制：只需画一个周期图像，再平移复制。4.求法：①单调性法：f(x)=2x+1在[1,3]增，最值在端点f(1)=3、f(3)=7；②配方法：f(x)=x²-4x+5=(x-2)²+1，x∈[0,3]，最小值f(2)=1，最大值max(f(0),f(3))=5；③基本不等式：f(x)=x+1/x（x>0）≥2，x=1时取最小2；④导数法：f(x)=x³-3x，f’(x)=3x²-3，极值点x=±1，x∈[-2,2]，最值max(f(-2),f(1),f(-1),f(2))=2，min=-2。注意：最值需在定义域内，开区间单调函数无最值，基本不等式要“一正二定三相等”。答案解析一、单项选择题1.D（A非全体对应，B、C一x对多y，D满足函数定义）2.A（√(x-2)>0→x>2）3.D（A减，B对称轴x=1，(0,1)减，C减，D指数函数增）4.A（f(-x)=-x³-x=-f(x)）5.B（f(x+4)=-f(x+2)=f(x)）6.C（A、B、D非一一映射，C线性函数一一对应）7.A（1≤2x-1≤3→1≤x≤2）8.A（f(x)=(x-1)²+2，[0,3]内x=1最小2，x=3最大6）9.A（奇函数对称区间最值相反）10.A（x₁<x₂→f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁)=(x₂-x₁)f(1)>0）二、填空题1.对应法则（函数三要素：定义域、对应法则、值域）2.原点（奇偶函数定义域必关于原点对称）3.(2,+∞)（对称轴x=2，开口向上，右增）4.4（f(x+4)=f(x)）5.y=(x+2)/3（反解x=(y+2)/3，互换x、y）6.同增异减（复合函数单调性法则）7.-1（偶函数f(-3)=f(3)）8.2和3（x²-5x+6=0→x=2或3）9.2（x>0时x+1/x≥2√(x·1/x)=2）10.-1；0（f(-1)=2×(-1)+1=-1，f(1)=1²-1=0）三、判断题1.错（一x对多y，非函数）2.对（f(-x)=-f(x)）3.错（在(-∞,0)、(0,+∞)分减，非定义域内减）4.对（周期定义）5.对（反函数图像性质）6.对（