人教版七年级数学下册期末复习 专题01 相交线与平行线(期末复习知识清单)

专题01相交线与平行线相交线的相关概念1.相交线的定义在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。图1图2图32.对顶角的定义若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。3.对顶角的性质：对顶角相等。4.邻补角的定义如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。垂线1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．图4如图4所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离。平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.同位角，内错角和同旁内角的定义两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。

平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）图形的平移1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。3.平移的性质（1）对应点的连线平行(或共线)且相等（2）对应线段平行(或共线)且相等；（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法（1）找关键点；（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形定义﹑命题﹑定理

1.定义与命题

（1）一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．（2）判断一件事情的语句叫做命题．（3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．（4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．2.真命题、假命题

（1）正确的命题叫做真命题．（2）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．（3）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

3.公理与定理

（1）如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．（2）如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．（3）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．（4）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论对顶角的识别【例1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了对顶角的定义，观察各个选项中的图形，根据对顶角的定义对各个选项中的∠1与∠2进行判断即可．【详解】解：∵对顶角的定义是有一个公共顶点，角的两边互为反向延长线，∴A选项中的∠1与∠2是对顶角，B，C，D选项中的∠1与∠2不是对顶角，故选：A．【变式1】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作AO,BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数，这个方案的依据是【答案】对顶角相等【分析】本题主要考查了对顶角相等．根据对顶角相等解答即可求解．【详解】解：根据题意得：∠COD与∠AOB是对顶角，∴∠COD=∠AOB（对顶角相等），即这个方案的依据是对顶角相等．故答案为：对顶角相等．【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的定义以及画一条线段等于已知线段进行判断即可．【详解】解：选项A，选项B，选项C中的工具，利用了对顶角相等，而选项D利用的是“画一条线段等于已知线段”，故选：D．

对顶角和邻补角的有关计算【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知直线AD与BE交于点O，∠AOB+∠DOE=56°,∠BOF=70°，则∠AOF的度数为______°．【答案】98【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角相等得∠AOB=28°，再利用角的和差关系求∠AOF的度数即可．【详解】解：∵∠AOB=∠DOE，∠AOB+∠DOE=56°，∴∠AOB=28°，∵∠AOF=∠AOB+∠BOF，∠BOF=70°，∴∠AOF=28°+70°=98°．故答案为：98．【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠AOC:∠EOD=1:3，则∠BOD的度数为【答案】36°/36度【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，设∠AOC=α，则∠EOC=2α，∠EOD=3α，根据∠EOC+∠EOD=180°列方程，再根据对顶角相等即可求解．【详解】解：设∠AOC=α，∵OA平分∠EOC，∠AOC:∠EOD=1:3，∴∠EOC=2α，∠EOD=3α，∵∠EOC+∠EOD=180°，∴2α+3α=180°，∴α=36°，∴∠BOD=∠AOC=α=36°，故答案为：36°．【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O,EO⊥AB，垂足为O,OF平分∠BOD，若∠COE=20°，则∠BOF的度数为________．【答案】35°/35度【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，以及对顶角相等，由垂直的定义求出∠AOE=90°，进而可求出∠AOC，由对顶角的性质求出∠BOD，然后根据角平分线的定义求出∠BOF的度数是解题的关键．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°．∵∠COE=20°，∴∠AOC=90°−20°=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1故答案为：35°．垂线段最短【例3】（24-25七年级下·云南昆明·期末）某班数学学习小组在“设计学校田径运动会比赛场地”的项目式学习中，分别设计出了如图所示立定跳远和铅球场地的示意图，点B，E为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（）A．AB和EF的长 B．AB和DE的长C．BC和EF的长 D．BC和DE的长【答案】C【分析】此题考查了点到直线垂线段最短和两点之间线段最短，根据点到直线垂线段最短和两点之间线段最短求解即可．【详解】解：由垂线段最短和两点之间线段最短可知，立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段BC和EF的长．故选：C．【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）嗨！同学这一学期你参加体育测试了吗？如图是琪琪同学本学期立定跳远的示意图，琪琪从点A起跳，落到了点B处，若AB=2.1米，则琪琪的跳远成绩可能是（

）A．2.3米 B．2.2米 C．2.1米 D．2.0米【答案】D【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短可知BC<2.1米，四个选项中只有D选项符合条件，所以琪琪的跳远成绩是2.0米．【详解】解：由图可知BC⊥AC，∴琪琪的跳远成绩应是垂线段BC的长度，又∵BC<AB，∴BC<2.1米，∴琪琪的跳远成绩应是2.0米．故选：D．平行线的相关概念【例4】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（

）A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点之间的所有连线中，线段最短D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c【答案】A【详解】解：A、平行公理的内容是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误，故选项符合题意；B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的性质，原说法正确，故选项不符合题意；C、两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，原说法正确，故选项不符合题意；D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若a∥b，b∥c，那么a∥c，原说法正确，故选项不符合题意；【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，如果直线a与b相交，且直线a与c平行，则这三条直线中所有交点的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题考查相交线，平行线．根据题意画图即可得到答案．【详解】解：如图，∴这三条直线中所有交点的个数为2个．故选：C．同位角，内错角和同旁内角的定义【例5】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，∠2的内错角是（

）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【答案】D【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成”Z“形作答．【详解】解：∠2的内错角是∠4故选：D．【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，∠2与∠4是一对（

）A．对顶角 B．内错角 C．同旁内角 D．同位角【答案】A【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的鉴别．利用对顶角定义“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”判断即可．【详解】解：如图，∠2与∠4是一对对顶角，故选：A．【变式2】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中正确的是（

）

A．∠3与∠4互余 B．∠3与∠4是同位角C．∠1与∠3不是对顶角 D．∠2与∠4是同位角【答案】D【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可．【详解】解：A、∠3与∠4是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误；B、∠3与∠4是同旁内角，故原题说法错误；C、∠1与∠3是对顶角，故原题说法错误；D、∠2与∠4是同位角，故原题说法正确；故选：D．平行线判定【例6】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，E为AC延长线上一点，下列条件中能判断AB∥CD的是（A．∠3=∠4 B．∠A+∠ABD=180°C．∠D=∠DCE D．∠1=∠2【答案】D【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、∠3=∠4B、∠A+∠ABD=180°，由同旁内角互补，两直线平行，能得到AC∥BD，不符合题意；C、∠D=∠DCE，由内错角相等，两直线平行，能得到AC∥BD，不符合题意；D、∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行，能得到AB∥CD，符合题意；故选：D．【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，∠1=∠2，能确定AB∥A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【详解】解：A、由∠1=∠2能判定AE∥DF，不能判定B、由∠1=∠2，结合内错角相等，两直线平行判定AB∥C、由∠1=∠2，不能判定AB∥D、由∠1=∠2不能判定AB∥故选：B．【变式1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（CD）与它的对边（AB）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（

）A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行B．画一条直线，分别与AB，CD相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行C．画一条直线，分别与AB，CD相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行D．将直角三角板EFG的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边EF，FG分别与刻度尺的两条边CD，AB相交于点M，N，度量∠DMF与∠ANF，若相等，则平行【答案】D【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定方法，即可判断．【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定CD∥AB，故A不符合题意；B、由内错角相等，两直线平行判定CD∥AB，故B不符合题意；C、由同位角相等，两直线平行判定CD∥AB，故C不符合题意；D、如图所示，∵∠DMF与∠ANF不是同位角，也不是内错角，∴两角相等不能判定CD∥AB，故D符合题意．故选：D．

利用平行线性质求角度【例7】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，AM与BC平行，若AC平分∠MAB，∠BCD=70°，则∠BAC的度数为（

）A．45° B．55° C．65° D．70°【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据AB∥CD可得∠ABC=∠BCD=70°，根据AM与BC平行可得∠MAB=110°，再根据角平分线的定义即可解答．【详解】解：∵AB,CD都与地面平行，∠BCD=70°，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=70°，∵AM与BC平行，∴∠ABC+∠MAB=180°，∴∠MAB=110°，∵AC平分∠MAB，∴∠BAC=1故选：B．【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，AB∥CD，若∠A=65°，则∠1的度数是（

）A．100° B．105° C．115° D．125°【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到∠CEA=∠A=65°，再根据平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：如图：∵AB∥CD，∠A=65°，∴∠CEA=∠A=65°，∴∠1=180°−∠CAE=180°−65°=115°，故选：C．【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠B=55°，∠E=150°，则∠BCE的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质可得∠BCD=∠B=55°，∠DCE+∠E=∠DCE+150°=180°，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∠B=55°，∠E=150°，∴∠BCD=∠B=55°，∠DCE+∠E=∠DCE+150°=180°，∴∠DCE=30°，∴∠BCE=∠BCD−∠DCE=25°．故选：C【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且∠BOC=55°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证∠OCD=______°．【答案】115【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念、平行线的性质是解题的关键．如图：过点O作OE∥AB，根据题意可得：∠ABF=90°、CD∥AB，从而可得AB∥OE∥【详解】解：如图：过点O作OE∥由题意得：∠ABF=90°，CD∥∴AB∥∵∠OBF=30°，∴∠ABO=∠ABF+∠OBF=120°，∵OE∥∴∠BOE=180°−∠ABO=60°，∵∠BOC=55°，∴∠COE=∠BOC+∠BOE=115°，∵OE∥∴∠DCO=∠COE=115°．故答案为：115．平行线的判定与性质综合【例8】（24-25七年级下·重庆·期末）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，AB与CD都平行于EF，OE与OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM．(1)求证：OE∥DM．(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求∠ANM的度数．【答案】(1)见解析(2)105°【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明∠AOE=∠AND，即可得证；（2）根据平行线的性质可求∠BOD的度数，进而可得∠AOF的度数，再由角平分线的性质可得∠EOF的度数，从而得到∠BOE的度数，最后根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）证明：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，∴∠AOE=∠AND，∴OE∥DM；（2）解：∵AB与CD都平行于EF，即AB∥CD∥EF，∴∠BOD=∠ODC=30°，∵∠AOF+∠BOD=180°，∴∠AOF=180°−30°=150°，∵OE平分∠AOF，∴∠EOF=1∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，∵OE∥DM，∴∠ANM=∠BOE=105°．【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）完成下面的证明并填上推理的根据：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为H，F，∠AEF+∠ADG=180°．求证：∠BIG=∠C．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（________），∴∠AHB=90°，∠BFE=90°（________），即∠AHB=∠BFE（________），∴AD∥EF，∴______+∠EAD=180°．∵∠AEF+∠ADG=180°，∴_______=∠ADG（________），∴∥，∴∠BIG=∠C（________）．【答案】见解析【详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠AHB=90°，∠BFE=90°（垂直的定义）即∠AHB=∠BFE（等量代换），∴AD∥EF，∴∠AEF+∠EAD=180°．∵∠AEF+∠ADG=180°，∴∠EAD=∠ADG（同角的补角相等）∴AC∥DG∴∠BIG=∠C（两直线平行，同位角相等）．【变式2】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠A=75°，∠ACE=2∠3，求∠CEB的度数．【答案】(1)见解析(2)145°【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可；（2）根据平行线的性质进行计算即可．【详解】（1）证明：∵∠1+∠2=180°，∴CE∥DB，∴∠B=∠AEC．∵∠B=∠3，∴∠AEC=∠3，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°．∵∠A=75°，∴∠ACD=105°．又∵∠ACE=2∠3，∴3∠3=105°，∴∠3=35°．∵AB∥CD，∴∠3+∠CEB=180°，∴∠CEB=180°−35°=145°．【变式3】（24-25七年级下·广东潮州·期末）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中∠ACB=∠EDF=90∘，∠A=30【初步感知】(1)如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当CE∥AB时，【自主探究】(2)如图3，当CA平分∠ECF时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由．【探究拓展】(3)将一副三角板如图4所示摆放，直线GH∥MN，若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒3∘的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒(0<t<120)，求当旋转到DF【答案】(1)30∘(2)BC∥(3)40或100．【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；（1）根据平行线的性质得到∠BCE=120∘，再结合直角三角板中（2）根据图形，结合角平分线，易得∠BCF=∠ACE=45∘，推出（3）分类讨论当DF在MN上方时，和DF在MN下方时两种情况下，∠FDM的度数变化，得到不同的t值．【详解】（1）解：如图（2），∵CE∥AB，∴∠BCE+∠B=180∘∴∠BCE=120∵∠FCE=90∴∠BCF=∠BCE−∠FCE=30故答案为：30∘（2）解：BC∥∵CA平分∠ECF，∠ECF=90∴∠ACE=∠ACF=1∵∠ACB=∠EDF=90即∠ACF+∠BCF=90∘，∴∠BCF=∠ACE=45∵∠F=∠E=45∴∠F=∠BCF，∴BC∥（3）解：①如图所示，当DF在MN上方时，延长BC交MN于T，∵GH∥MN∴∠BTM=180∵DF∥∴∠FDM=∠BTM=120∴t=120②如图所示，当DF在MN下方时，延长BC交MN于T，∵GH∥MN∴∠BTM=180∵DF∥∴∠FDN=∠BTM=120∴t=180综上所述，当旋转到DF∥BC时，t的值是40或判断命题的真假【例9】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列命题中，是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角B．含有两个未知数的方程叫二元一次方程C．两点之间，直线最短D．在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数【答案】D【分析】本题考查了对顶角、二元一次方程、线段的性质以及实数的分类等知识，解题的关键是熟练掌握相关概念．依次分析每个选项，根据相关概念判断命题的真假．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该命题是假命题；B、含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程，仅含有两个未知数的方程不一定是二元一次方程，所以该命题是假命题；C、两点之间，线段最短，而不是直线最短，所以该命题是假命题；D、实数包括有理数和无理数，所以在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数，该命题是真命题．故选：D．【变式1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）下列命题中，为真命题的是（

）A．相等的角是对顶角B．若a2=C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D．直线a, b, c【答案】D【分析】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角的定义，平行线的判定以及性质等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定以及性质判断即可．【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；B．若a2=b2，则C．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；D．直线a，b，c在同一平面内，a⊥b，a⊥c，则b∥c是真命题，故该选项符合题意；故选：D．【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）下列命题是真命题的是（

）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补C．相等的两个角是对顶角D．两个锐角的和是钝角【答案】A【分析】本题主要考查了平行线的判定、对顶角的定义、角的和差等知识点，掌握相关定义是解题的关键．根据平行线的判定、对顶角的定义、角的和差等知识逐项判断即可．【详解】解：A．在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们的方向相同，根据平行线判定定理，这两条直线必平行．故A为真命题，符合题意；B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行．若两直线不平行，同旁内角不互补．因此B是假命题，不符合题意；C．对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角，故C是假命题，不符合题意；D．两个锐角的和可能为锐角（如30°+30°=60°）、直角（如45°+45°=90°）或钝角（如60°+70°=130°），因此D是假命题，不符合题意．故选：A．写出命题的题设与结论【例10】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果______，那么______．【答案】两条直线都与第三条直线平行这两条直线互相平行【分析】本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以改写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．【详解】解：命题可改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：两条直线都与第三条直线平行，这两条直线互相平行．【变式1】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果a>b,b>c，那么a>c”的题设和结论，题设是______，结论是______．【答案】a>b,b>ca>c【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可．【详解】解：根据题意可知：题设是a>b,b>c，结论是a>c，故答案为：a>b,b>c，a>c．逻辑与推理【例11】（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为40cm的大正方形地砖，一种是边长为20cm的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为4m【答案】64【分析】根据已知图形找出基本单元，求解基本单元内大正方形数量，根据场地面积求解其内有几个基本单元，从而得到大正方形的数量．本题主要考查了推理与论证，根据图形找出基本可重复的最小单元图形是本题解题的关键．【详解】解：如图：可以发现，红框部分是一个可重复的基本单元，每个基本单元内大正方形的数量为4个，∴红框边长为：20+40×2=100(cm∴正方形场地内基本单元的数量为：4×4=16（个∴大正方形的数量为：16×4=64（个）故答案为：64【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________．【答案】丙【分析】本题考查了推理和论证，掌握数学推理能力是解题的关键，根据数学推理与论证的关系求解即可；【详解】解：因为如果语文老师说的正确，所以地理老师和政治老师的话也都正确，又只有两个两个老师得话正确，所以语文老师的话是错误的；又地理老师的话和历史老师的话和政治老师的话是矛盾，而只有两个老师正确，故只有历史老师和政治老师的话是正确的；故冠军一定是丙，故答案为：丙图形的平移【例12】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可．【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质，∴只有C选项的图形是通过平移得到，∴C选项符合题意，故选：C．【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）现实生活中，下列现象不属于平移的是（

）A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行【答案】D【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键．【详解】解：A、电梯的升降，属于平移，不符合题意；B、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意；C、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意；D、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意；故选：D．【变式2】（24-25七年级下·广西贺州·期末）下列四个汽车标志中，能用平移得到的是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查平移的定义；根据平移是图形整体沿某一直线方向移动，平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可．【详解】解：四个汽车标志中，只有A选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到的；故选：A．利用平移的性质求解【例13】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图所示，将周长为24cm的直角三角形ABC沿BC方向平移5cm，得到直角三角形DEF，连接AD．若AB=5cm，则四边形ABFDA．34cm B．16cm C．30cm【答案】A【分析】考查了平移的性质．根据平移的性质可得CF=AD=5cm，AC=DF【详解】解：∵将周长为24cm的直角三角形ABC沿BC方向平移5cm，得到直角三角形DEF，∴AC+BC=24−5=19cm，CF=AD=5cm，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BC+CF+FD=AD+CF+AB+AC+BC=34cm故选A．【变式1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，三角形ABC沿射线BC方向平移到了三角形DEF所在的位置（点E在线段BC上），如果BC=20 cm,EC=12 cmA．6cm B．8 cm C．10 cm【答案】B【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，得平移的距离=BE=20−12=8cm【详解】解：由题意平移的距离为BE=BC−EC=20−12=8(cm故选：B．【变式2】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若AB=9cm，BC=6cm，EC=3cm则四边形ABFD的周长为（

）A．26cm B．27cm C．28cm【答案】D【分析】本题考查平移的性质，理解题意，找出线段间的数量关系是解题关键．根据平移的性质得出BE=AD=3cm，即△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，【详解】解：∵BC=6cm，EC=3∴BE=AD=BC−EC=3cm，即△ABC沿BC方向平移3cm得到∵DE=AB=AC=DF=9cm∴AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF=9+6+9+3+3=30(cm即四边形ABFD的周长为30cm故选：D．平移的实际应用【例14】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2A．24 B．36 C．56 D．48【答案】D【分析】本题考查了平移的性质．用总面积减去石子路面积即可．【详解】解：种植鲜花的面积为12×6−2×6−2×6=48m故选：D【变式1】（24-25七年级下·天津蓟州·期末）如图，在一块长为11m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1mA．66m2 B．60m2 C．【答案】B【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得，这块草地可看作是一个长为11−1m，宽为6【详解】解：由题意得：11−1×6=10×6=60∴这块草地的绿地面积为60m故选B．【变式3】（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB=70米，宽BC=35米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（

）A．140米 B．136米 C．124米 D．100米【答案】B【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为AB+AD−2【详解】解：由图可知，横向距离等于AB的长，纵向距离等于AD−2的2倍，∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为70+35−2故选B．平移-作图【例15】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，已知点A−2,1，B−3,−2，(1)请画出三角形ABC；(2)将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为点A′、B′、C′，请画出平移后的三角形【答案】(1)见解析(2)作图见解析，A′0,4，B【分析】本题考查了作图