北师版八年级数学下学期期末真题重组考试卷

-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）A． B．C． D．4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（

）A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（

）A． B．1 C． D．26．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（25-26八年级上·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（）A．且 B．且C． D．8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(

)A．关于的方程的解是B．关于的不等式的解集是C．当时，函数的值比函数的值大D．关于，的方程组的解是9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（

）个（1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20A．1 B．2 C．3 D．4第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级上·吉林·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）因式分解：____．13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___．14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______15．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______．16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值．19．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的度数．20．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是．(1)将向下平移6个单位长度得到，请画出；(2)画出关于原点O成中心对称的；(3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是．21．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______；(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．22．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，．(1)直接写出：，；(2)若关于的不等式组无解，求的取值范围；(3)若的解集为，求不等式：的解集．24．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____．（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长．25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F．【初步尝试】（1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由；【深入探究】（2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G，①猜想与的数量关系，并说明理由；②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）．2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“如果一个图形沿一条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”及“如果一个图形绕某个点旋转180度后能够与原图完全重合的图形叫做中心对称图形”进行求解即可．【详解】A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意．2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一分析各选项即可．【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，∴若，则，选项A正确；∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，∴若，则，选项B正确；∵当时，，此时，不满足，∴选项C的说法不正确；∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，∴若，则，选项D正确；故选：C．3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项．【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式，∴A选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解；B选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解；C选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解；D选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解．4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（

）A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数【答案】D【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质．【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误；对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误；对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误；对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确．故选：D．5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长．【详解】解：∵是的中位线，，，∴，，；∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；故选：B．6．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可．【详解】解：正十二边形的每个内角为，∴，正六边形的每个内角为，∴，∴，故选：B．7．（25-26八年级上·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（）A．且 B．且C． D．【答案】B【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围．【详解】∵原方程为，将方程变形为，两边同乘去分母得：，整理求解得：，∵方程的解为正数，且分式分母不能为0，∴，且，解第一个不等式得：，解第二个不等式得：，∴且．8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(

)A．关于的方程的解是B．关于的不等式的解集是C．当时，函数的值比函数的值大D．关于，的方程组的解是【答案】B【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；故选：B．9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案．【详解】解：连接，，由作法得，，垂直平分，，故①正确；，，，由作法得平分，，，，在中，，，，故②正确；在中，，，，，，，，，，故③错误；，

，，垂直平分线段，故④正确．故正确的个数有3个．10．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（

）个（1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据图象，结合运动路程，把握好关键性界点，过点B作于点H，利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中线与三角形的面积等知识解答即可．本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义．【详解】解：根据图形和图象，得当时，，故；点P从点B运动到点D，行走路程为，；当点P运动到点D时，，此时；故平行四边形的周长为；当时，，此时点P为的中点，故的面积与的面积相等，且为的面积的一半，过点B作于点H，∵，∴，故，故的面积为，故的面积为24；故（1）（2）（3）正确；（4）错误；故选：C．第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级上·吉林·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到答案．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得解得．12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）因式分解：____．【答案】【分析】先提取公因式，再运用平方差公式继续因式分解即可．【详解】解：．13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___．【答案】3【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形中位线的性质，是解答本题的关键；取的中点，连接，根据三角形中位线的判定与性质可得，，且有直线与直线重合，进而可得证明，即可得四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解．【详解】解：如图所示，取的中点，连接，∵为的中点，点为的中点，，∴，，，∵，直线与直线重合，∴直线与直线重合，∵，，∴，，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形，∴，故答案为：．14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______【答案】【分析】先设出点的坐标，利用一次函数表达式表示其纵坐标，再根据点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为得到点的坐标，最后将代入一次函数解析式，解方程求出参数，进而得到点的坐标．【详解】解：因为点在一次函数的图像上，设点的坐标为，则点旋转后的对应点的坐标为，因为点在一次函数的图像上，所以，解得将代入点的纵坐标表达式，得，故点的坐标为．15．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______．【答案】【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定符合条件的整数a的值即可．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，∴，解得，将关于y的分式方程的两边都乘以得，，解得，∵关于y的分式方程的解为整数，∴或或，解得或或或或或，又∵分式方程的增根是，∴，即，解得，又∵，∴符合条件的整数a的和为．16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________．【答案】或或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是由等边对等角求出角的度数；分别按三边两两相等进行分情况讨论．【详解】解：当时，顶角为；当时，，顶角为；当时，在边上，，顶角；当时，在边上，顶角为；综上所述：顶角为：或或；故答案为：或或．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】；见解析【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，∴表示在数轴上为：18．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】，当时，原式；当时，原式【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的a的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当或时，原分式没有意义；当时，原式；当时，原式．19．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理；（1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证；（2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，又∵是的角平分线，∴，∴，∴；（2）解：由（1）可知，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．20．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是．(1)将向下平移6个单位长度得到，请画出；(2)画出关于原点O成中心对称的；(3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键．（1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可；（2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可；（3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，据此可得答案．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：如图，连接，交点即为旋转中心点M，由图可知，点M的坐标为．故答案为：．21．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______；(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键；（1）根据上述等式，写出第5个等式即可；（2）根据上述等式，可得第个等式：，再证明整式左边等式右边即可．【详解】（1）解：；故答案为：．（2）第个等式：，证明如下：等式左边等式右边，故等式成立．故答案为：．22．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元(2)最大利润为1998元【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可；（2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可．【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元，根据题意，得，解得：，经检验，是所列分式方程的解，（元）．答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元．（2）解：根据题意，得：，解得：，A款电热毯的售价为（元），B款电热毯的售价为（元），则，∵，∴W随a的增大而增大，∵且x为正整数，∴当时，W的值最大，．答：最大利润为1998元．23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，．(1)直接写出：，；(2)若关于的不等式组无解，求的取值范围；(3)若的解集为，求不等式：的解集．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值；（2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围；（3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．【详解】（1）解：把，代入，得：，解得：；故答案为：，；（2）根据题意得；解得：∵关于的不等式组无解，∴；（3）根据题意得，整理得：，此不等式解集为，，且，整理得：，所求不等式化简得：，即，把代入得：，解得：，∴解得：．24．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____．（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形中