江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年高二下学期期末调研测试 数学

江苏省宿迁市高二年级调研测验

数学

本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在

答题卡上“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题日指定区域内相

应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不

按以上要求作答无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个样本容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10

人．已知该校高二年级共有学生300人，则不同的抽样结果共有（）种．

A201510B.101520C.201510D.101520

C400C300C200C400C300C200A400A300A200A400A300A200

【答案】A

【详解】用分层抽样抽取样本量为45的样本，高一年级抽20人，高三年级抽10人，

那么高二年级抽45201015人.

151

因为该校高二年级共有学生300人，所以抽样比为0.05.

30020

2010

所以高一年级学生共有400人，高三年级学生共有200人.

0.050.05

所以不同的抽样结果有201510.

C400·C300·C200

故选：A.

2.对于变量x,y有观测数据*，得散点图1；对于变量u,v有观测数据*，得散

(xi,yi)(iN)(ui,vi)(iN)

点图2．r1表示变量x,y之间的线性相关系数，r2表示变量u,v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是

（）

A.r1r1r20B.r2r1r20

C.0r1r2r1D.0r1r2r2

【答案】C

【详解】根据图1和图2可以看出，y随x的增大而增大，v随u的增大而减小，

所以r10,r20.

因为图1的数据点比图2的更集中，所以r1r2.

所以0r1r2r1.

故选：C.

3.已知m,n为两条不同直线，,,为三个不同平面，则下列说法正确的是（）

A.若m//，n，则m//nB.若m//，//，则m//

C.若m//，m//，则//D.若//，//，则//

【答案】D

【详解】对于选项A：

若m//,n，所以m,n可能平行也可能异面，所以A错误；

对于选项B：

若m//,//，所以m可能与平面平行，也可能在平面内，所以B错误；

对于选项C：

若m//,m//，那么//，也可能平面,相交，所以C错误；

对于选项D：

根据平行平面的传递性，若//,//，则//.所以D正确.

故选：D.

4.如果随机变量X~N(3,2)，且PX60.8，那么PX0的值为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.8

【答案】A

【详解】因为随机变量X~N3,2，PX60.8，

所以P3X6PX6PX30.80.50.3.

根据正态分布的对称性可得P0X3P3X60.3.

所以PX0PX3P0X30.50.30.2.

故选：A.

5.在空间直角坐标系Oxyz中，向量a1,1,t（tR）在面xOy上的投影向量为m，在向量

b1,0,0上的投影向量为n，则m与n的夹角为（）

ππ3π

A.B.C.D.与t有关

424

【答案】A

【详解】因为向量a1,1,t在面xOy上的投影向量为m，

则m1,1,0.

因为在向量b1,0,0上的投影向量为n，

a·b1

则n2bb1,0,0.

b1

m·n12

所以cosm,n.

mn212

π

所以向量m,n的夹角为.

4

故选：A.

4

6.在n重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为p，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变

9

量X~B6,p，则X的方差为DX（）

24

A.B.C.1D.2

33

【答案】B

4

【详解】因为2次试验中恰好发生1次的概率为，

9

4

所以PC1p1p，化简得9p29p20.

29

12

解得p或.

33

因为随机变量X~B6,p，所以DX6p1p.

1124

当p时，DX6p1p6；

3333

2214

当p时，DX6p1p6.

3333

4

综上，DX.

3

故选：B.

7.某位同学用一根直径3cm，长度30cm，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为10cm

的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油

漆可以选取，则漆出的外观有（）种可能．

A.18B.15C.12D.9

【答案】D

【详解】根据题意，如只使用两种颜色，则两端颜色一定相同，共有11种，

C3C26

A3

如使用三种颜色，考虑对称性（如红、黄、蓝与蓝、黄、红实际是一种情况），共有33种，

2

总方案数为639种.

故选：D.

8.已知正四棱锥的侧棱长为4，其顶点均在同一个球面上，若球的表面积为64π，则该正四棱锥的体积为

（）

A.16B.24C.32D.36

【答案】A

【详解】因为球的表面积为64π，所以4πR264π，解得R4.

所以正四棱锥外接球的半径为4.

O为正四棱锥的球心，则OP平面ABCD，因为正四棱锥侧棱长为4，

所以EP2CP216①.

2

根据勾股定理OP2CP24EPCP2OC216②.

②-①解得EP2，CP23.

2

则根据勾股定理2BC2223可求得底面正方形的边长为26.

2

所以.

SABCD2624

1

所以正四棱锥的体积为V22416.

3

故选：A.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9.从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下

列估计结论正确的有（）

A.成绩的众数为75

B.成绩的上四分位数为84

C.成绩的极差为60

D.已知落在50,60的平均成绩是54，方差是2：落在60,70的平均成绩为66，方差是5，则两组成绩

的总标准差为6

【答案】ABD

【详解】由频率分布直方图可知，0.0050.0100.0200.025a0.010101，

解得a0.03.

7080

由图可以看出众数在70,80区间内，所以众数为75，所以A正确；

2

上四分位数指的是第75百分位数，

因为0.0050.0100.020a100.65，而0.0050.0100.020a0.025100.90.

所以第75百分位数位于80,90区间内.

0.750.65

设上四分位数为x，则x8084.所以B正确；

0.25

901004050

成绩的极差通过频率分布直方图只能估计，估计极差值为50，所以C错误；

22

由频率分布直方图可求得50,60的样本数为0.0101010010，

60,70的样本数为0.0201010020.

54106620

所以总的平均数为x62.

1020

22

10254622056662

2

总的方差为s36，

1020

所以总的标准差为6.所以D正确.

故选：ABD.

10.已知事件X,Y满足PX0.4,PY0.5，则下列判断可能正确的是（）

A.X,Y独立B.X,Y对立

C.P(XY)P(XY)D.PX|Y0.9

【答案】AC

【详解】对于选项A：

若X,Y独立，则PXYPXPY0.2，在00.4范围内，所以A可能正确.

对于选项B：

因为PXPY0.40.50.91，所以X,Y不对立，所以B错误；

对于选项C：

PXYPYPXY，

PXY1PXY1PXPYPXY1PXPYPXY.

若PXYPXY，则PYPXY1PXPYPXY，

所以1PX2PY2PXY0，解得PXY0.20.4.

当X,Y独立时，PXYPXPY0.2，C可能正确.

对于选项D：

PXY

PX|Y0.9，解得PXY0.90.50.450.4，所以D错误.

PY

故选：AC.

π

11.在平行六面体ABCDABCD中，各棱长均为6．AABAADDAB，则下列结论正

1111113

确的有（）

A.

AC163

B.四边形A1BCD1为正方形

3

C.AA1与平面ABCD所成角的余弦值为

3

π

D.四边形CCDD内存在点P，使得直线AP与BD所成角为

1116

【答案】BC

【详解】对于选项A：

因为，

AC1AA1A1C1AA1A1D1A1B1AA1ADAB

22

所以

AC1AA1ADAB

222

,

AA1ADAB2AA1AD2ADAB2AA1AB

222

因为，

AA1A1D1A1B136

1

而AA·ADAAADcosAAD6618，

1112

同理，，

A1D1·AB18AA1·AB18

2

所以，

AC1363636218218218216

所以，A错误；

AC121666

对于选项B：

因为，所以，

BC·BA1AD·AA1ABAD·AA1AD·AB18180BCBA1

又AA1AB6,A1AB60，故△A1AB为等边三角形，故BA16.

因为BC//A1D1,BCBA1A1D16,BA1BC，

所以平行四边形A1BCD1为正方形，B正确；

对于选项C：设平面的法向量为且，

ABCDnnaABbADcAA1

2

nABaABbADABcAAAB036a18b18c0

则1，故，

2

18a36b18c0

nADaADABbADcAA1AD0

取，故，

ab1,c3nABAD3AA1

结合A中计算可得：

2

11，

nABAD3AA11136126626666

22

设AA1与平面ABCD所成角的为，

ABAD3AAAA

nAA111726

故，

sincosn,AA1

nAA1AA1ABAD3AA16663

3

故cos，故C正确；

3

对于选项D：因为在四边形内的动点，故可设，

PD1DCC1APADmDD1nDC

其中，故，

0m1,0n1APADmAA1nAB

2

故22，

APADmAA1nAB36(1mn)36(mn)36mn

2

，

BD1ADAA1AB33636363662

而

APBD1ADmAA1nABADAA1AB

36181818m36m18m18n18n36n

3636m，

π3APBD1361m

故cos，

6222

AP·BD16261mnmnmn

2

整理得3(1m2n2)3(mn)3mn2m1，

整理得m23n1m3n23n10，

此时(3n1)212n212n43n218n30，故方程无解，

π

故四边形CCDD内不存在点P，使得直线AP与BD所成角为，故D错误，

1116

故选：BC.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．

12.设随机变量X~H10,30,100，则X的均值为EX______．

【答案】3

【详解】由超几何分布的期望公式，

30

EX103，

100

故答案为：3.

13.在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)9的展开式中，x的奇次项的系数和为______．

【答案】511

【详解】设23929，

1(1x)(1x)(1x)(1x)a0a1xa2xa9x

令，则2910，

x1122221a0a1a2a9

令x1，则1a0a1a2a9，

10

两式相减可得，222a1a3a9，

解得9.

a1a3a921511

故答案为：511

14.我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为

“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学

研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部

分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为

______．

【答案】66π

【详解】因为半球台下底面半径R5，上底面半径r4，

所以半球台高度hR2r23.

由祖暅原理得，半球台的体积等于底面半径为R、高为h的圆柱的体积减去底面半径为h、高为h的圆锥的

体积，

1

所以半球台的体积VπR2hπh2h75π9π66π.

3

故答案为：66π.

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

n

15.已知n满足2n1，在2的展开式中，求：

Cn1Cn28x

3x

（1）二项式系数最大的项：

（2）所有有理项的系数和．

8

【答案】（1）

1120x3

（2）2241

【小问1详解】

nn1

由2n1可得，

Cn1Cn28n28

2

解得n8或n7（舍去），

8

2

所以x展开式中，二项式系数最大的项为

3x

4

288

444433.

T5C8x2C8x1120x

3x

【小问2详解】

8r4

228r

二项式展开式的通项为r8rr3r，

xTr1C8xC8x2

3x3x

4

0r8且rN*，当8r为整数时，r0或r3或r6，

3

所以8，3344，660，

T1xT42C8x448xT72C8x1792

故展开式所有有理项的系数和为144817922241.

16.如图，PA是圆柱的母线，AC是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面PAD⊥平

面PAB．

（1）证明：AD//平面PBC；

（2）若PAAC2,BC1，求点D到平面PBC的距离．

【答案】（1）证明见解析

（2）221

7

【小问1详解】

因为平面PAD⊥平面PAB，PA为交线，ABPA,AB平面PAB，

所以AB平面PAD，又AD平面PAD，

所以ABAD，即BAD90，

又AC是底面圆的直径，所以ADCABC90，

所以四边形ABCD为矩形，所以AD//BC，

又AD平面PBC，BC平面PBC，

所以AD//平面PBC.

【小问2详解】

设点D到平面PBC的距离为h，

11

由VVV可知，S△hS△PA,

DPBCPDBCPADB3PBC3DAB

由PAAC2,BC1，

可得ABAC2BC2413，

PBPA2AB2437，ADBC1，

又BCAB,BCPA,PAABA,PA,AB平面PAB,

所以BC平面PAB，又PB平面PAB，

所以BCPB，

故117，113，

S△PBBC71S△ABAD31

PBC222DAB222

73221

所以h2，解得h，

227

221

即点D到平面PBC的距离为.

7

17.某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得费游览资格，第3天

开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况

第t天1234567

预约量y

9.0398.588.78.768.748.79

（万张）

717i7

经计算得：2，，．

ti140yyi8.8tiyi245.34

i17i1i1

（1）由于前两天预约游览免费，所以剔除第1、2两天数据，求y关于t的线性回归方程及第5天的残差：

（2）为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所

得的部分数据见下表：

50岁以下50岁（含50）以上合计

通过APP预约人数70

其它方式购票人数80

合计100

①完成以上2×2列联表：

②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针

对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传．

20.100.050.0250.0100.0050.001

Px0

x02.7063.8415.0246.6357.87910.828

n

xynxy

iin(adbc)2

参考公式：ˆi1，ˆ，2

bnaˆybx

22(ab)(cd)(ac)(bd)

xin(x)

i1

【答案】（1）y0.046t8.484，残差为0.046

（2）①列联表见解析；②需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传，理由见解析

【小问1详解】

7

剔除掉第1、2两天数据后，2，

ti14014135

i3

8.879.039i7

，，

y18.714tiyi245.3419.0329218.31

5i3

34567

t5，

5

7

ty5ty

ii1218.31558.714

故ˆi3，

b70.046

22135525

ti5(t)

i3

ˆ，

aˆy1bt8.7140.04658.484

故y关于t的线性回归方程为y0.046t8.484，

第5天的残差为8.760.04658.4840.046；

【小问2详解】

①列联表如下：

50岁以下50岁（含50）以上合计

通过APP预约人数7050120

其它方式购票人数305080

合计100100200

②需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传，理由如下：

零假设H0:认定游客通过APP预约游览与其年龄无关，

200(70503050)225

则23.841，

120801001003

根据小概率事件原理，可知零假设不成立，故认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，

需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传.

18.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且AEA1B，AFA1D，

（1）求证：A1C平面AEF；

（2）若AB1，AD2．

①求平面AEF与平面CB1D1夹角的余弦值的最大值；

②若平面AEF截长方体的截面为五边形，求平面AEF与平面CB1D1夹角的余弦值的范围．

【答案】（1）证明见详解

6586

（2）①，②,

9299

【小问1详解】

在长方体ABCDA1B1C1D1中,BC平面AA1B1B，

又AE平面AA1B1B，所以BCAE，

又AEA1B，BCA1BB,BC,A1B平面A1BC，

所以AE平面A1BC，又A1C平面A1BC，

所以AEA1C，同理可证AFA1C，

又AEAFA,AE,AF平面AEF，

所以A1C平面AEF.

【小问2详解】

①以A为原点建立空间直角坐标系，设AA1a，

则A10,0,a,C1,2,0,C11,2,a,B11,0,a,D10,2,a，

A1C1,2,a,B1D11,2,0,B1C0,2,a，

设平面CB1D1的一个法向量nx,y,z，

nBDx2y0

11ya

则，不妨取，n2a,a,2，

nB1C2yaz0

由（1）知A1C1,2,a为平面AEF的一个法向量，

设平面AEF与平面CB1D1夹角为，

nAC2a

则coscosn,AC1

122

nA1Ca55a4

2a2

4220，

5a29a205a229

a2

2020

又2，当2，即时取等，

5a229210029495a210a2

aa

又点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且AEA1B，AFA1D，

20

所以a2，则5a22954，

a2

26

cos

所以209，

5a229

a2

6

即平面AEF与平面CB1D1夹角的余弦值的最大值为.

9

②在平面BB1C1C中，过E作EMB1C，

同（1）的证明理由可得A1CEM，即EM平面AEF，

所以当M在棱CC1时，截面为四边形，

当M在棱B1C1（不包含端点）时，且F不在棱DD1端点时，截面为五边形，

BE11

AEAB，tanBAEtanBAABE，

1AB1aa

2

B1Maa1a1

又EMB1C，tanB1EMtanC1B1CB1Ma，

B1E22a22

a21

又M在棱B1C1（不包含端点），所以BM2，解得a5，

122

又F不在棱DD1端点，所以2a5，

20586

由①知2，所以cos,，

5a22954,58

a299

586

所以平面与平面夹角的余弦值的范围为.

AEFCB1D1,

299

19.某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有N种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在

本超市消费，抽奖规则如下：

顾客先在抽奖机上随机抽取一个数n（nN,nN）．

（Ⅰ）当n0时，随机抽得一张代金券；

（Ⅱ）当n1时，随机抽取n张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩

下的（Nn）张代金券中逐个随机抽取，一但出现比这n张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若

后面没有比这n种的面值都高的，则抽得最后一张代金券．

某位顾客购物后参加抽奖活动．

（1）当N3，且三张代金券的面值分别为5元，10元，15元时．

①若其抽取的数n1，求其抽得代金券的面值的均值和方差；

②求其抽得15元代金券的概率．

（2）当N=5，顾客抽取n为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？

351257

【答案】（1）①，；②；

3918

（2）n2.

【小问1详解】

①设最后抽得代金券的面值为X，则X可能取值为5,10,15.

11

若先抽取的代金券面值为5的概率为，此种情况下最后抽得10元或15元的概率均为；

32

1

先抽取的代金券面值为10的概率为，此种情况下最后抽得15元的概率为1；

3

11

先抽取的代金券面值为15的概率为，此种情况下最后抽得10元或5元的概率均为.

32

111111111111

综上可得，PX15，PX10，PX5

323232323326

11135

则抽得代金券的面值的均值为EX15105.

2363

222

2351351351125

方差s15105.

3233369

11

②抽取的数n0的概率为，此种情况下抽得15元概率为；

33

11

抽取的数n1的概率为，此种情况下由①分析可得抽得15元概率为；

32

11

抽取的数n2的概率为，此时先抽取的两张代金券面值为5,10的概率为，此种情况下抽得15的概率

33

为1；

2

先抽取的两张代金券面值中含有15的概率为，此种情况下抽得15的概率为0.

3

1111117

综上可得：抽得15元代金券的概率为.

33323318

【小问2详解】

不妨设5张代金券面值为1元，2元，3元，4元，5元，

由题可得0n4，nN，

1

当抽取的数，则抽到5的概率为；

1n0P0

5

1

2当抽取的数n1，参考面值为1时，概率为.此时逐个随机抽取剩余代金券，

5

1

只有第1张为5时，才能抽中5元，概率为；

4

1

参考面值为2时，概率为.此时逐个随机抽取剩余代金券，只有第1张为5或第1张为1，第2张为5时，

5

才能抽中5元.

1111

对应的概率为；

4433

1

参考面值为3时，概率为.此时逐个随机抽取剩余代金券，

5

只有第1张为5或第1张为1，第2张为5或第1张为2，第2张为5或前2张为1或2，

第3张为5时，才能抽中5元.

第一张抽到5的情况有3种，第一张抽中1，第二张抽中5的情况有2种，第1张为2，第2张

A36A22

为5的情况有2种，

A22

前2张为1或2，第3张为5的情况有2种，又总情况有24种，

A22

6321

则对应概率为；

242

1

参考面值为4时，概率为.此时因剩余代金券中只有5大于4，则总能抽到5，对应概率为1；

5

1

参考面值为5时，概率为，此时抽到5的概率为0.

5

11111115

综上，当抽取的数n1，抽到5的概率为P；

15453