北京市怀柔区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）

A．{x|﹣2≤x≤1}B．{x|1≤x≤2}C．{x|x≥﹣2}D．{x|x≥2}

2．（4分）已知命题p：x（0，+∞），ex≥x+1，则￢p为（）

A．x（0，+∞），e∃x≤∈x+1B．x（0，+∞），ex＜x+1

C．∃x∈（0，+∞），ex≤x+1D．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1

3．（4分∀）∈在的展开式中，x的系数为（∀）∈

25

A．40(�−�)B．10C．﹣40D．﹣10

4．（4分）已知函数f（x）＝cosx+1，则（）

�

�′(6)=

A．B．C．D．

1133

−−

5．（4分）2已知a，bR，且a2＞b，则下列不等式中一2定成立的是（）2

∈

A．＜B．|a|＞|b|C．ac2＞bc2D．ea＞eb

11

6．（4分�）五�一黄金周，某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计，数据如表：

景点景点1景点2景点3景点4景点5景点6

游客数量

游客人数（万）80.347.656.230.777.265.3

现从这6个景点中任取3个，则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为（）

A．B．C．D．

1133

7．（4分10）甲、乙两人独立解5一道数学题，甲独立解5出的概率为，乙独立1解0出的概率为，则在这道题被

23

解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为（）34

A．B．C．D．

6532

8．（4分11）设函数f（x）的定义11域为[a，b]，则“f（x1）1在区间[a，b]上的最1大1值为f（b），最小值为f（a）”

是“f（x）在区间[a，b]上单调递增”的（）

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

9．（4分）设函数f（x）＝log3x的导函数为f′（x），则下列关系式正确的是（）

A．f′（1）＜f（2）﹣f（1）＜f′（2）

B．f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）

C．f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）

D．f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）

10．（4分）设A、B为两个集合，定义AB＝{（x，y）|xA且yB}，将AB称为“集合A与B的笛卡

尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结⊗论正确的是（∈）∈⊗

①AB＝BA；

②A⊗（B∪⊗C）＝（AB）∪（AC）；

③（⊗AB）C＝A⊗（BC）；⊗

④若集⊗合A中⊗有m个⊗元素⊗，若集合B中有n个元素，则集合AB中有m•n个元素．

A．①②B．②③C．③④⊗D．②④

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）设离散型随机变量X的分布列如表，则“1≤X≤2”的概率为．

X012

Pa

11

12．（5分）当3x＞0时，函数4f（x）的最小值为．

2

�+3

=

13．（5分）在的展开式中，若所�有项的二项式系数和为32，则n＝；其展开式中所有

1�

项的系数和(为2�+�)．（用数字作答）

14．（5分）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，

每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有种．（用数字作答）

15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax，则下列结论中所有正确结论的序号是．

①当a＝2时，x（0，+∞），f（x）≥﹣e恒成立；

②aR，使得函∀数∈f（x）有两个零点；

③∃a∈R，函数f（x）总有一个极值点；

④∀若函∈数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则a（﹣∞，1]．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，∈演算步骤或证明过程．

16．（14分）1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版

和对知识产权的保护．某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况，从全校学生中采用分层抽样的方

法抽取了20名学生，统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图（单位：本）．

假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．

（1）根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率；

（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10

本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）在样本中，男生阅读量的方差为，女生阅读量的方差为．写出方差与的大小关系．（结论

2222

不要求证明）�1�2�1�2

17．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex．

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

18．（15分）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变

革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所

示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90，100]范围的人数，

求X的分布列；

（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80，100]范围的人数，求

Y的分布列．

19．（12分）6.18年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距1000公里处的乙地，

司机工资为每小时96元，装卸费为800元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为V公

里/小时（注V≥50公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为0.002V升/公里，燃油价格为每升8元．假

设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本．

（1）当运输的总费用不超过3360元时，求汽车行驶速度的范围；

（2）若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？

20．（15分）已知函数f（x）（a≥0）．

���

=

（1）若函数f（x）在（1，f（�+1�））处的切线与直线yx平行，求a的值；

1

（2）当a＝0时，证明f（x）≤x﹣1；=2

（3）若函数f（x）在区间（0，e2）上单调递增，求a的取值范围．

21．（15分）已知n是正整数，集合A＝{|＝（t1，t2，…，tn），tk{0，1}，k＝1，2，3，…，n}，对集

2

合A中的任意元素＝（x1，x2，…，xαn）α，＝（y1，y2，…，yn）∈，记N（，）＝（x1﹣y1）+（x2﹣

22

y2）+…+（xn﹣yn）α．βαβ

（1）当n＝2时，若＝（1，0），＝（0，1），＝（1，1），求N（，）和N（，）的值；

（2）当n＝3时，若α＝（0，0，0β），且N（，γ）＝2，求；αββγ

（3）设集合C＝{N（α，）|A，A}，若α集合βC的所有元β素之和不小于100，求n的最小值．

αβα∈β∈

2024-2025学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BDAADCACBD

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）

A．{x|﹣2≤x≤1}B．{x|1≤x≤2}C．{x|x≥﹣2}D．{x|x≥2}

【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【解答】解：A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≥1}，

所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．

故选：B．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，交集的运算，是基础题．

2．（4分）已知命题p：x（0，+∞），ex≥x+1，则￢p为（）

A．x（0，+∞），e∃x≤∈x+1B．x（0，+∞），ex＜x+1

C．∃x∈（0，+∞），ex≤x+1D．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1

【分∀析∈】结合特称量词命题的否定即可求解．∀∈

【解答】解：命题p：x（0，+∞），ex≥x+1，

则￢p为：x（0，+∞∃）∈，ex＜x+1．

故选：D．∀∈

【点评】本题主要考查了特称量词命题的否定，属于基础题．

3．（4分）在的展开式中，x的系数为（）

25

A．40(�−�)B．10C．﹣40D．﹣10

【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系

数．

5﹣rrr5﹣2r

【解答】解：的展开式的通项为Tr+1•x（）＝（﹣2）•x，

5��

2525

令5﹣2r＝1可(得�−r＝�)2，此时x的系数为4=4�0．−��

2

�5=

故选：A．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．

4．（4分）已知函数f（x）＝cosx+1，则（）

�

�′(6)=

A．B．C．D．

1133

−−

【分析2】先对f（x）求导，2再令x，即可求解．22

�

【解答】解：因为函数f（x）＝co=sx6+1，所以f′（x）＝﹣sinx，

所以sin．

��1

�′()=−=−

故选：A6．62

【点评】本题考查基本初等函数的导数，属于基础题．

5．（4分）已知a，bR，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）

∈

A．＜B．|a|＞|b|C．ac2＞bc2D．ea＞eb

11

【分�析】�结合不等式的性质检验选项ABC，结合函数单调性检验选项D．

【解答】解：因为a＞b，

当a＝1，b＝﹣1时，AB显然错误；

当c＝0时，C显然错误；

因为y＝ex在R上单调递增，

所以ea＞eb，D正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．

6．（4分）五一黄金周，某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计，数据如表：

景点景点1景点2景点3景点4景点5景点6

游客数量

游客人数（万）80.347.656.230.777.265.3

现从这6个景点中任取3个，则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为（）

A．B．C．D．

1133

【分1析0】根据题意，利用排5列数公式计算“这6个5景点中任取3个”和“10选出的3个景点中恰有2个景

点的游客人数突破50万人”的取法数目，由古典概型公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，这6个景点中任取3个，有20种选法，

3

6个景点中，游客人数突破50万人的有4个，若选出�的6=3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万

人，有12种选法，

21

�4�2=

故这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率P．

123

故选：C．=20=5

【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．

7．（4分）甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为，乙独立解出的概率为，则在这道题被

23

解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为（）34

A．B．C．D．

6532

【分1析1】由独立事件同时发11生的概率乘法公式和条11件概率公式，计算可1得1所求值．

【解答】解：这道题被解出的概率为1﹣（1）（1），

2311

−−=

甲、乙同时解出这道题的概率为，3412

231

×=

342

则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为1．

26

11=

11

故选：A．12

【点评】本题考查独立事件同时发生的概率和条件概率，考查运算能力，属于基础题．

8．（4分）设函数f（x）的定义域为[a，b]，则“f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a）”

是“f（x）在区间[a，b]上单调递增”的（）

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【分析】结合函数的性质检验充分必要性即可求解．

【解答】解：若f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a），此时f（x）在区间[a，b]上

不一定单调，充分性不成立；

但当f（x）在区间[a，b]上单调递增时，f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a），必要

性成立．

故选：C．

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．

9．（4分）设函数f（x）＝log3x的导函数为f′（x），则下列关系式正确的是（）

A．f′（1）＜f（2）﹣f（1）＜f′（2）

B．f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）

C．f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）

D．f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）

【分析】根据题意，求出函数的导数，由此可得f′（1）、f′（2）的值，由对数的运算性质与f（2）

﹣f（1）比较大小，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝log3x，其导数f′（x），

1

=

则f′（1），f′（2），���3

11

==

f（2）﹣f（1）��＝3log32﹣log31＝2�l�o3g32，

��21

1

=��3=

由于1＜＜2，则有f′（2）＜f（2）﹣f（��12）��＜3f′（1）．

1

故选：B．��2

【点评】本题考查导数的计算，涉及对数的性质，属于基础题．

10．（4分）设A、B为两个集合，定义AB＝{（x，y）|xA且yB}，将AB称为“集合A与B的笛卡

尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结⊗论正确的是（∈）∈⊗

①AB＝BA；

②A⊗（B∪⊗C）＝（AB）∪（AC）；

③（⊗AB）C＝A⊗（BC）；⊗

④若集⊗合A中⊗有m个⊗元素⊗，若集合B中有n个元素，则集合AB中有m•n个元素．

A．①②B．②③C．③④⊗D．②④

【分析】根据新定义“笛卡尔积”，对①可以举实例判定根据定义逐一分析每个结论即可．

【解答】解：分析①，根据新定义有，设A＝{1}，B＝{2}，根据定义AB＝{（x，y）|xA，yB}，

则AB＝{（1，2）}，而BA＝{（x，y）|xB，yA}＝{（2，1）}，⊗∈∈

显然⊗AB≠BA，所以①错误⊗．∈∈

分析②⊗，⊗

对于任意的（x，y）A（BUC），根据定义可知xA且y（BUC），

即yB或者yC．若∈y⊗B，则（x，y）AB；∈∈

∈∈∈∈⊗

若yC，则（x，y）AC．所以（x，y）（AB）U（AC），

即A∈（BUC）（A∈⊗B）U（AC）．∈⊗⊗

反之，⊗对于任意的⊆（x，⊗y）（A⊗B）U（AC），

则（x，y）AB或者（x，∈y）⊗AC；⊗

若（x，y）∈A⊗B，则xA且y∈B；⊗若（x，y）AC，

则xA且y∈C⊗．所以x€∈A且y∈（B∪C），即（∈x，⊗y）A（BUC），

所以∈（AB∈）U（AC）A（∈BUC）．∈⊗

综上，A⊗（BUC）⊗＝（A⊆⊗B）U（AC），②正确．

分析③，⊗⊗⊗

设A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}，先看（AB）C，AB＝{（1，2）}，

那么（AB）C＝{（（1，2），3）}．再⊗看A⊗（B⊗C），

BC＝⊗{（2，⊗3）}，那么A（BC）＝{（⊗1，（⊗2，3））}．

显⊗然（AB）C≠A（B⊗C），⊗所以③错误．

分析④，⊗⊗⊗⊗

已知集合A中有m个元素，集合B中有n个元素．

对于AB＝{（x，y）|xA，yB}，从A中取一个元素x有m种取法，

从B中⊗取一个元素y有n∈种取法∈．根据分步计数原理得，

AB中元素的个数为mn个，所以④正确．

故⊗选：D．

【点评】本题主要考查对新定义“笛卡尔积”的理解和运用，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）设离散型随机变量X的分布列如表，则“1≤X≤2”的概率为．

2

X0123

Pa

11

【分析】先3由分布列的性质4求出a的值，再求“1≤X≤2”的概率．

【解答】解：由分布列可得1，解得a，

115

+�+==

所以“1≤X≤2”的概率为P3（X＝1）4+P（X＝2）12．

2

=

故答案为：．3

2

3

【点评】本题考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．

12．（5分）当x＞0时，函数f（x）的最小值为2．

2

�+3

【分析】由已知结合基本不等式即=可求�解．3

【解答】解：x＞0时，函数f（x）x2，

2

�+333

==+≥2�⋅=3

当且仅当x，即x时取等号．���

3

故答案为：=2�．=3

【点评】本题主3要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．

13．（5分）在的展开式中，若所有项的二项式系数和为32，则n＝5；其展开式中所有项

1�

的系数和为(2�2+43�)．（用数字作答）

【分析】①由二项式系数和2n＝32，即可得到n的值；

②令x＝1，即可求得展开式中所有项的系数之和．

【解答】解：①依题意，2n＝32，解得n＝5；

②令x＝1，得（2+1）5＝243，即展开式中所有项的系数之和为243．

故答案为：5；243．

【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．

14．（5分）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，

每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有216种．（用数字作答）

【分析】先分配教师，再分配学生，进而求解．

【解答】解：先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给

站恰好分配1名教师，有6种情况，

3

再分配学生，将4名学生分�3配=到3个补给站，且每个补给站至少1名学生，所以分组方式是“2，1，1”，

有36种情况，

23

最后�4，�3教=师和学生的分配是独立事件，总安排方法数为6×36＝216．

故答案为：216．

【点评】本题考查排列组合的应用，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．

15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax，则下列结论中所有正确结论的序号是①③④．

①当a＝2时，x（0，+∞），f（x）≥﹣e恒成立；

②aR，使得函∀数∈f（x）有两个零点；

∃∈

③aR，函数f（x）总有一个极值点；

④∀若函∈数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则a（﹣∞，1]．

【分析】对于①：当a＝2时，f（x）＝xlnx﹣2x，求∈导分析单调性，最值，即可判断①是否正确；

对于②：令f（x）＝0，得xlnx﹣ax＝0，x＞0，分析根的个数，即可判断②是否正确；

对于③：求导分析单调性，极值，即可判断③是否正确；

对于④：根据题意可得，在（1，+∞）上，f′（x）≥0，即在（1，+∞）上，lnx+1≥a恒成立，进而

可判断④是否正确．

【解答】解：对于①：当a＝2时，f（x）＝xlnx﹣2x，

f′（x）＝lnx+x•2＝lnx﹣1，

1

−

令f′（x）＝0，得�x＝e，

所以在（0，e）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

在（e，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以当x＝e时，f（x）取得极小值f（e）＝﹣e，

所以x（0，+∞），f（x）≥﹣e恒成立；故①正确；

对于②∀∈：令f（x）＝0，得xlnx﹣ax＝0，x＞0，

所以lnx＝a只有一个根，

所以函数f（x）只有一个零点，

所以不存在aR，使得函数f（x）有两个零点，故②错误；

∈

对于③：f′（x）＝lnx+x•a＝lnx+1﹣a，

1

a﹣1−

令f′（x）＝0，得x＝e�，

﹣

所以在（0，ea1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

﹣

在（ea1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

﹣

所以函数在x＝ea1处取得极小值，无极大值，

所以函数f（x）总有一个极值点，故③正确；

对于④：若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则在（1，+∞）上，f′（x）≥0，

所以在（1，+∞）上，lnx+1﹣a≥0恒成立，

即在（1，+∞）上，lnx+1≥a恒成立，

当x（1，+∞）时，（lnx+1）min＝1，

所以∈a≤1，

所以a的取值范围为（﹣∞，1]，故④正确．

故选：①③④．

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（14分）1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版

和对知识产权的保护．某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况，从全校学生中采用分层抽样的方

法抽取了20名学生，统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图（单位：本）．

假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．

（1）根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率；

（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10

本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）在样本中，男生阅读量的方差为，女生阅读量的方差为．写出方差与的大小关系．（结论

2222

不要求证明）�1�2�1�2

【分析】（1）通过观察茎叶图，结合古典概型概率公式计算即可；

（2）分别求出男生和女生阅读量超过10本的概率，列出X的可能取值，分别求出对应的概率，再求

解分布列与数学期望；

（3）通过方差的意义，作比较即可．

【解答】解：（1）通过茎叶图可知，男生中阅读量超过10本的有6人，女生中阅读量超过10本的3

人，

所以这20名学生一学年内的阅读量超过10本的概率为，

6+39

=

故根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过1200本的2概0率为．

9

（2）用频率估计概率，可得男生中阅读量超过10本的概率为，20

61

=

女生中阅读量超过10本的概率为，122

3

8

所以X的可能取值为0，1，2，

则P（X＝0），

155

=×=

P（X＝1）2816，

15131

=×+×=

P（X＝2）282．82

133

所以X的分=布2列×为8：=16

X012

P

513

所以E（X）＝01162．216

5137

（3）＞．×16+×2+×16=8

22

通过观�1察茎�2叶图可知，男生的数据相对更分散，女生的数据相对更集中，

根据方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据越分散，方差越大，

所以＞．

22

【点评�1】�本2题考查离散型随机变量分布列与数学期望、用样本估计整体、方差的性质等，属于中档题．

17．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex．

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

【分析】（1）结合切线方程性质求解．

（2）求导，结合导函数判断单调区间和极值．

【解答】解：（1）对f（x）求导，f'（x）＝（x2+2x﹣3）ex．

将x＝0代入f'（x），可得f'（0）＝（02+2×0﹣3）e0＝﹣3，

可得切线方程为y﹣（﹣3）＝﹣3（x﹣0），即y＝﹣3x﹣3．

（2）由前面已求得f'（x）＝（x2+2x﹣3）ex＝（x+3）（x﹣1）ex．

令f'（x）＝0，即（x+3）（x﹣1）ex＝0，所以（x+3）（x﹣1）＝0，解得x＝﹣3或x＝1．

当x＜﹣3时，x+3＜0，x﹣1＜0，ex＞0，所以f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增．

当﹣3＜x＜1时，x+3＞0，x﹣1＜0，ex＞0，所以f'（x）＜0，函数f（x）在（﹣3，1）上单调递减．

当x＞1时，x+3＞0，x﹣1＞0，ex＞0，所以f'（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．

所以f（x）在x＝﹣3处取得极大值，f（﹣3）；f（x）在x＝1处取得极小值，

2−36

=((−3)−3)�=3

f（1）＝（12﹣3）e1＝﹣2e．�

【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．

18．（15分）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变

革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所

示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90，100]范围的人数，

求X的分布列；

（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80，100]范围的人数，求

Y的分布列．

【分析】（1）由频率和为1，列式求出a的值；

（2）利用超几何分布求概率，可得分布列；

（3）利用二项分布求概率，可得分布列．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可得（0.016+0.024+a+0.020+0.010）×10＝1，解得a＝0.03．

（2）因为评分在（80，90]的频率为0.02×10＝0.2，抽取的人数为50×0.2＝10，

评分在[90，100]的频率为0.01×10＝0.1，抽取的人数为50×0.1＝5，

所以X的可能取值为0，1，2，

则P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．

2112

�103�10�510�52

=2=2==2=

所以X的分布列�为157�1521�1521

X012

P

3102

（3）因为评分在[80，100]的频率为70.2+0.1＝0.3，用频率2估1计概率，21

则全校学生评分在[80，100]的频率为0.3，

所以Y的可能取值为0，1，2，且Y～B（2，0.3），

所以P（Y＝0）0.72＝0.49，P（Y＝1）0.3×0.7＝0.42，P（Y＝2）0.32＝0.09，

012

所以Y的分布列=为�2×=�2×=�2×

Y012

P0.490.420.09

【点评】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列，二项分布与超几何分布求概率等，

综合性较强，属于中档题．

19．（12分）6.18年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距1000公里处的乙地，

司机工资为每小时96元，装卸费为800元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为V公

里/小时（注V≥50公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为0.002V升/公里，燃油价格为每升8元．假

设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本．

（1）当运输的总费用不超过3360元时，求汽车行驶速度的范围；

（2）若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？

【分析】（1）通过建立总费用函数并求解不等式即可；

（2）利用基本不等式计算即可得出．

【解答】解：（1）已知司机工资为每小时96元，行驶时间为小时，

1000

所以司机工资为元．装卸费为800元，�

1000

燃油成本为单位距96离×燃油�消耗×距离×燃油价格，即0.002V×1000×8元，

则运输总费用，

1000

�=96×+800+0.002�×1000×8

化简可得�，（V≥50），

96000

�=+16�+800

由y≤3360，可得�，

96000

+16�+800≤3360

移项得到�，即，

9600096000

+16�≤3360−2800+16�≤2560

两边同时乘以�V得到96000+16V≤2560V，�

移项化为标准二次函数形式16V2﹣2560V+96000≤0，

两边同时除以16得V2﹣160V+6000≤0，

因式分解得（V﹣60）（V﹣100）≤0，则有或，

�−60≤0�−60≥0

第一种情况，即，无解�，−100≥0�−100≤0

�−60≤0�≤60

第二种情况�−100≥0，即�≥100，结合V≥50，可得V[60，100]；

�−60≥0�≥60

∈

（2）对于函�数−100≤0�≤100（V≥50），

96000

根据基本不等式�=�+16（�a+＞800，0b＞0，当且仅当a＝b时等号成立），

�+�≥2��

在这里，b＝16V，则，

960009600096000

�=�=+16�+800≥2×16�+800

先计算��2560，�

96000

2×16�=296000×16=21536000=

则y≥2560+8�00＝3360，当且仅当时，等号成立，解方程，

9600096000

22=16�=16�

即16V＝96000，V＝6000，解得�（公里/小�时），V≥50，符合条件．

【点评】本题考查根据实际问题选�择=函1数0类60型=，2属0于1中5≈档7题7．.46

20．（15分）已知函数f（x）（a≥0）．

���

=

（1）若函数f（x）在（1，f（�+1�））处的切线与直线yx平行，求a的值；

1

（2）当a＝0时，证明f（x）≤x﹣1；=2

（3）若函数f（x）在区间（0，e2）上单调递增，求a的取值范围．

【分析】（1）依题意，得f′（1），解之可得a的值；

11

==

（2）要证x﹣1，即证x＞0，x21﹣+x�﹣ln2x≥0恒成立，通过构造函数，结合求导分析，可证得结论

���

≤∀

成立；�

（3）由题意，当x（0，e2）时，f′（x）≥0恒成立，通过分离参数a，构造函数及求导分析，可得

a的取值范围．∈

【解答】解：（1）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f′（x）（x＞0），

1

�(�+�)−����+�−����

=2=2

∴f′（1）(�+�)�(�+a�＝)1；

1+�11

2

==1+�=2⇒

∴f（x）(1经+�检)验，适合题意；

���

=

（2）证明：1+当�a＝0时，f（x）（x＞0），

���

=�