贵州省贵阳市2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测 数学

贵州省六盘水市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

一、单选题

1．样本数据2，8，13，13，20的众数为（）

A．2B．8C．13D．20

2．已知集合AxZ2x3，B2,1,0,2,3，则AB（）

A．1,2B．1,0,2

C．1,0,1,2D．2,1,0,1,2,3

1

3．已知复数z2i，则（）

z2

A．iB．iC．1D．1

4．下列图象中，有可能表示指数函数的是（）

A．B．

C．D．

11

5．已知aln，3，clog32，则a，b，c的大小关系为（）

3be

A．acbB．cabC．abcD．bca

6．已知角的终边经过点P4,3，则下列选项正确的是（）

33

A．sinB．cos

45

34

C．tan2πD．cosπ

45

7．已知三棱锥PABC，PA,PB,PC两两垂直，PA2，PB3，PC5，则三棱锥PABC外接球

的表面积为（）

A．10πB．20πC．25πD．40π

8．已知边长为1的正方形ABCD，动点P在以点A为圆心且与BD相切的圆上.若APABAD，则

的最大值为（）

21

A．2B．1C．D．

22

二、多选题

9．下列选项为真命题的是（）

A．若cb，ba，则ca

cc

B．若abc0，则

ab

C．若ab0，则ab

D．若ab，cd，则acbd

10．若a，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题的是（）

A．若a//b，b，则a//

B．若a，a//b，则b

C．若a，b，则a//b

D．若a//，b，则a//b

11．已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2ac，AD2DC，BDsinABCasinC，

△ABD的面积为S1，ABC的面积为S2.则下列选项正确的是（）

23

A．SSB．BDbC．b3aD．ac

1322

三、填空题

12．写出命题“xR，x30”的否定：.

x

13．若函数fxaa1在1,2上的最大值是最小值的2倍，则flog25.

x31,x0

14．已知函数fx，gxfxfx，则函数gx的零点个数为.

x,x0

四、解答题

15．已知向量a2,3，b3,1.

(1)求a及ab的值；

(2)若ab//2ab，求的值.

16．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.

(1)证明：BC平面PAC；

(2)若PA2AC，求二面角PBCA的平面角的正弦值.

17．已知函数fx2cos2x23sinxcosx.

(1)求函数fx的最小正周期；

π

(2)当x0,时，求函数fx的最大值和最小值；

2

(3)若函数gxfx1为奇函数，求的最小值.

18．为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，

举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均

为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数；

(3)若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分

222

别为：m，x，s1；n，y，s2.记总的样本平均数为，样本方差为s，则

122

s2ms2xns2y.已知在60,70的平均数是65，方差是6，在70,80的平均数

mn12

是75，方差是3，求这两组样本的总平均数z和总方差s2.

a

19．若定义域为0,的函数fx满足fxf0，则称函数fx为“a型”弱对称函数.

x

xm

(1)若函数fxlnx为“1型”弱对称函数，求m的值；

x1

(2)若函数fx为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点x1，x2，x3，求x1x2x3的值；

101

(3)若函数fx为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点xii1,2,,101，当xi对任意满足条件

i1

的函数fx恒成立，求的最大值.

题号12345678910

答案CBBDADABBCDBC

题号11

答案ABD

1．C

根据众数的定义求解.

【详解】这组数据中出现次数最多的是13，所以众数是13.

故选：C.

2．B

根据集合的交集运算求解.

【详解】因为AxZ2x31,0,1,2，

所以AB1,0,2.

故选：B.

3．B

根据复数的除法运算求解.

11i

【详解】由z2i，则i.

z2ii2

故选：B.

4．D

可根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项.

【详解】指数函数的一般形式为yax（a0且a1），其具有以下性质：

定义域为R，值域为0,

当a1时，函数在R上单调递增；当0a1时，函数在R上单调递减.

图象恒过点0,1.

观察图像可知，D有可能是指数函数图象.

故选：D

5．A

利用相应函数的单调性判断a,b,c与0，1的大小，即可得解.

1

【详解】因为ylnx在0,上单调递增，所以alnln10，

3

x1

由在上单调递增，则0，

yeRbe3e1

由ylog3x在0,上单调递增，所以0log31log32log331，即0c1，

所以bca.

故选：A.

6．D

根据三角函数定义结合诱导公式逐一计算判断.

【详解】因为角的终边经过点P4,3，则rOP1695，

3

对于A，sin，故A错误；

5

4

对于B，cos，故B错误；

5

33

对于C，tan2πtan，故C错误；

44

4

对于D，cosπcos，故D正确.

5

故选：D.

7．A

由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可．

【详解】因PA,PB,PC两两垂直，

故三棱锥PABC的外接球即是以PA2，PB3，PC5，为棱长的长方体的外接球，

2

故球的半径为23510，则球的表面积为10

4π10π.

222

故选：A.

8．B

1

以点A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，设Px,y，则x2y2，利用向量坐标运算可得x,y，

2

利用基本不等式运算得解.

【详解】以点A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，

2

则B1,0，D0,1，以A为圆心与BD相切的圆的半径为，

2

1

设Px,y，则x2y2，由APABAD，

2

x,y,00,,，则x,y，

2211

xy2xy21，当且仅当xy时，取等号，

22

所以的最大值为1.

故选：B.

9．BCD

对A，举反例说明；对B，利用作差比较法和不等式性质求解判断；对C，根据不等式性质判断；对D，根

据不等式性质判断.

【详解】对于A，取a5,b0,c2，满足cb,ba，但ca，故A错误；

11ba

对于B，若ab0，则ba0,ab0，所以0，

abab

11cc

即，又c0，故，故B正确；

abab

对于C，因为ab0，所以ab，故C正确；

对于D，因为cd，所以cd，又ab，则acbd，故D正确.

故选：BCD.

10．BC

根据空间中线线、线面位置关系逐一判断.

【详解】对于A，若a//b，b，则a//或a，故A错误；

对于B，若a,a//b，则b，故B正确；

对于C，若a,b，则a//b，故C正确；

对于D，若a//，b，则a与b可能平行或异面，故D错误.

故选：BC.

11．ABD

2csinC

对A，由题可得AD2DCb，由三角形面积公式得解；对B，在ABC中，由正弦定理，

3bsinABC

a2b2c2

结合条件运算得解；对CD，在ABC，△BCD中，分别由余弦定理，得cosC，

2ab

b2

a2b2

c3c

cosC9，得a或ac，讨论当a时不合题意，运算得解.

b33

2a2

3

2

【详解】对于A，AD2DC，AD2DCb，

3

SAD2

12

所以，即S1S2，故A正确；

S2AC33

csinCBDsinC

对于B，由正弦定理，得，又，

bsinABCasinABC

cBDacb2

所以，即BDb，故B正确；

babb

a2b2c2

对于C，D，在ABC中，由余弦定理，cosC，

2ab

22

2b22b2

ab222ab

abc

在△BCD中，cosC9，则9，

bb

2a2ab2a

33

21122

化简整理得2abc0，又b2ac，所以6a211ac3c20，

3

c3

解得a或ac，

32

cc2c3

当a时，b2ac，则abcc，不合题意；

3333

32226

当ac时，baca，则ba，故C错误，D正确.

233

故选：ABD.

12．xR,x30

利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．

【详解】命题“xR,x30”的否定为“xR,x30”.

故答案为：xR,x30.

13．5

根据对数函数的单调性，可求得a2，再结合对数运算即可求解.

【详解】因为a1，所以函数fxax在1,2单调递增，

所以其最小值为f1a，最大值为f2a2，

因为最大值是最小值的2倍，所以a22a，解得a2或a0（舍），

因此fx2x，

log25

则flog2525.

故答案为：5.

14．3

分x0，x0和x0讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数.

【详解】当x0时，g02f00，所以0是gx的零点，

当x0时，gxx31xx3x1，

因为yx3,yx1均在0,上单调递增，所以gx在0,上单调递增，

又g010，g110，则g0g10，

所以gx在0,上有且仅有1个零点，

3

当x0时，gxxx1x3x1，易知gx在,0上单调递减，

又g110,g010，则g1g00，

所以gx在,0上有且仅有1个零点，

综上，gx的零点个数为3.

故答案为：3.

15．(1)13，3

1

(2)

2

（1）根据向量模长公式及数量积的坐标运算求解；

（2）由向量线性运算的坐标表示结合两向量平行的坐标关系求解.

rrr

2

【详解】（1）由题，a22313，ab23313.

rrrr

（2）因为ab2,33,123,3，2ab22,33,11,7，

rrrr1

由ab//2ab，则23731，解得.

2

1

所以的值为.

2

16．(1)证明见解析

25

(2)

5

（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得；

（2）由（1）知BCPC，又BCAC，所以PCA就是二面角PBCA的平面角，由几何关系求

出即可.

【详解】（1）因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.

因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径，所以BCAC.

又因为PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.

（2）由（1）知BC平面PAC，因为PC平面PAC，所以BCPC.

又因为BCAC，所以PCA就是二面角PBCA的平面角.

设ACa，因为PA2AC，所以PA2a.

在RtPAC中，根据勾股定理PCPA2AC2(2a)2a25a.

PA2a25

根据正弦函数的定义，sinPCA.

PC5a5

25

所以二面角PBCA的平面角的正弦值为.

5

17．(1)π

，

(2)fxmax3fxmin0

π

(3)

12

（1）利用三角恒等变换化简fx，利用周期公式求解；

πππ2π

（2）由x0,，求出2x,，利用余弦函数的单调性求解；

2333

5πkπ

（3）由gx为奇函数，得kZ，进而求得答案.

122

2π

【详解】（1）因为fx2cosx23sinxcosxcos2x3sin2x12cos2x1，

3

2π

所以fx的最小正周期Tπ.

2

πππ2π

（2）当x0,时，则2x,，

2333

ππ

所以当2x0，即x时，fx3，

36max

π2ππ

当2x，即x时，fx0.

332min

ππ

（3）gxfx12cos2x2cos2x2，

33

ππ

若gx为奇函数，则2kπ，kZ，

32

5πkπ

解得kZ，

122

5ππ

当k0时，，当k1时，，

1212

π

所以的最小值为.

12

18．(1)0.030

(2)86

(3)z71，s228.2

（1）根据频率分布直方图中所有矩形块面积和为1，列式计算得解；

（2）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果；

（3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解.

【详解】（1）由(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)´10=1，解得a0.030.

（2）由题，成绩在40,80的频率为0.0050.0100.0200.030100.65，

在40,90的频率为0.650.250.9，

所以样本成绩的80%分位数在80,90内，设样本成绩的80%分位数为m，

则0.65m800.0250.8，解得m86，

所以样本成绩的80%分位数为86.

（3）60,70频率为0.2，样本量m20，70,80的频率为0.3，样本量n30，

23

所以两组样本的总体平均数z657571，

55

2232141

两组样本的总方差s2665713757128.2.

555

19．(1)1

(2)8

(3)4545

1

【详解】（1）因为fx为“1型”弱对称函数，所以fxf0，

x

1

m

xm1

lnxlnx0