新高考专用2023年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练专题3-10导数与数列导数与概率统计教师版

专题3-L0导数与数列，导数与概率统计

丝③拉点敦型归他

题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题

【典例分析】

例题1.(2022噎:国•高三专题练习)已知正项数列｛4｝满足劭=0,*-=2(〃+1),〃€N.

“"+2<

(1)求证:

111

(2)求证：一+—++—<ln〃

%%可

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(1)

<％-=2(〃+11(/7GN),

，a；=0+2+4+…+2〃=〃(〃+I),

(2)

1------I1

a,=Jn(n+1),一〈一，

“Vann

111111

—+—++—<—+-++—

a2%%23n

下面证明：lnx<x-\(x>\).

令/(x)=lnx-x+l(x>I),1,11]f'(x)=--1=<0(x>I),

xx

因此/(X)在(l,+°o)上单调递减，所以/(X)v/(1)=0,g|JInx-A-+1<O(A>1),

/.ln.v<x-l(x>l),/.ln->l-x(x^l),/.In—^—>1---,

xn-\nn

T7….2,3.n..2.3.n11I

又.Ina=ln-+In—++ln------,..In-+ln-++ln------->—+-++—,

12〃-112〃―123n

,II11I1

/,In/z>-+-+.+—>—+—+,・•+—

23na2an

例题2.(2022•福建•三明一中高三阶段练习)已知函数/(X)」，：：).

(D证明：函数/(x)的图象与直线丁=工只有一个公共点.

(2)证明：对任意的〃eN",2+：+：+…+±?>ln(〃+l).

49n~

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(1)

要证函数/(力的图象与直线y="只有一个交点，只需证方程/(x)=x只有一个根,

即证ln(x+l)=x只有一个根,即In(x+1)一/一4=0只有•个根.

x+1

g(x)=\n(x+1)-x2-x.XG(-1,-HX)),则g[x)=^—―2x-]=F(2X+3)

x+]x+1

.,.当xe(-l,o)时,g<6>0；当X£(0,+oo)时，g〈x)<0：

「.g(x)在(TO)上单调递增，在(O,+8)上单调递减，.•.g(x)a=g(0)=0.

・・,g(x)<o恒成立，当且仅当x=0时，g(x)=o,.••方程g(x)=o只有一个根，

即函数/（外的图象与直线只有•个公共点.

(2)

由(1)知：g(x)=ln(x+l)-x2-x<0恒成立，

即In(x+l)Wx2+x恒成立(在x=0时等号成立).

.[111111口n1〃+।〃+1

,/neN，In—+1<—+—,即In-----<——,

\n)n-nnn~

In2<4,Ini<4

1l2222332

234...l224〃+l

ln+ln+ln++ln21<+r+++o

123nI22232IV

234.x3<2+"+…+〃+l

In—X—X—X

123n)49n

,/c34〃+l_34n+\,

ln(n+l)<2+—+—+--------—,n即n2+—+—+■■■+—>Inz(z74-1).

v749n249n2v7

【提分秘籍】

常见的放缩不等式如下：

①"N1+X，当且仅当犬=()时取等号；

②,2夕，当且仅当工=1时取等号：

③当x20时，ev>l+x+-x2,当且仅当x=0时取等号；

2

④当x>0时，lnx«x—l当且仅当x=l时取等号：

⑤当犬>一1时，ln(x+l)Wx

⑥£匚工皿工工人一1«1-不当且仅当工=1时取等号；

x

【变式演练】

1.(2022•广西•高三阶段练习(理))己知函数/(”=a(xT)71nx(a£R).

(I)当0<x«l时，/(x)40恒成立，求实数。的取值范围；

⑵设〃cN‘，求证：……

1234n)2

【答案】(1)〃31

(2)证明见解析

(1)

f(X)的定义域为(O,+8),//(x)=a-(l+lnx)=-lnx+tf-l,

令一lnx+a-1=0,解得*=e"T

当x«0,e“T),/(x)递增；

当xe(e“T,+co),/'(X)<0,/'(%)递减，

当a.l时，因为人..］，则“X)在(05上单调递增,

所以/")”/⑴=0恒成立，

当&<1时,因为尸«0,1),则/(%)在区间(0,b)单调递增,

在区间(e“T,l)单调递减.

又/(，1)>〃1)=。，与“斗。恒成立相矛盾.

综上，实数〃的取值范围为

(2)

由(1)知当a=l时，x-I-xlnx^0(0<x^l)

即lnx>—=1-1

XX

令x=L则In—21-〃

nn

.,,f111,1,1,I,1

月trTt以In］一,—•—In-FIn—+In-F+In-

(234n)234n

刊—2)+”3)+…+(~)="一5皿=中

4J

2.(2022•福建省龙岩第一中学高二阶段练习)已知函数/(x)=ln(x+a)-x2-x在工=0处

取得极值

⑴求函数/(X)的单调性:

(2)证明：对于任意的正整数〃，不等式2+=+金+…+巴口>出(〃+1)都成立.

49犷

【答案】(1)增区间是减区间是(0,+8)

(2)证明见解析

(1)

r(X)=/9-2x-l,•・・X=0为/(A-)的极值点

.../"⑼,-1=0=4=1

/./(x)=ln(x+l)-x2-x

­/r(力击令r(力>o=x<o

X(T。)(O,-K»)

/'(x)+—

/'(%)a、

\的增区间是(TO),减区间是(0,+。)；

(2)

由(1)知当xw(o,+oo)时，y(x)</(o)=o,即111"+1)</+工

.1_.(\、(1y1_.fn+o〃+1

令x=一,则hi|—F1I<I—IH—,即nIn<~

n1〃J)nknJn~

3〃+l23n+\(23〃+l)/、

「.2+—+…+—>In—+ln—+---+ln------=In-x—x…x------=In(n+1),

4n212n(12n)v7

即++>In(/7+1)

3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数八>)=lnx-ax+l在x=2处的切线斜率为一

2,

(D求实数a的值及函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)=-+2h+*,对V%w(0,+8),三无，w(—8,0)使得f(%)Wg(M)成立，求

X

F实数a的取值范围：

小、In2,In3,,\nn2n2-/?-1/、.、…

(3)证明：—H---1--七<---；­(/?£N,〃22).

2-3-tr4(n+1)

【答案】(l)a=l,增区间为(04)，单调递减区间为(1,—)

(2)A:>1

(3)证明见解析

(1)

由已知得f(x)=--a,(2)=J—a=—解得a=l.

X22

于是/(x)=--l=—,

当xe(0,1)时，/(M>0,F(x)为增函数,当X£(L+8)时，」(力<0,F(x)为减函数,

即f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

(2)

由⑴知必£(0,4-oo),f(M)WF(D=0,即£(即)的最大值为0,

由题意知：对VX/W(0,+°°),mx代(―°°,0)使得成立，只需f(x)saxWw(x)“”.

・.・以x)=>+2"+&=%+«+2%=_(_x+_L)+2%w-14k+2k,(X=—4等号成立)

XX-X

，只需一24+2AN0,解得

⑶

・Lnnw-nlnZIn3Inn2n2-n-\,

证明：要证明了~+予~++7~<4(〃+l)(〃wN,〃2力.

21n221n32h/72n2-n-\

只需证为一+-^-+—^<-------

2(〃+1)

口干「In2?In3?In/?2n2

只需证三-+《『++—^<

ir2(〃+1)

由(1)当xc(l,+8)时,f(x)<0,F(x)为减函数，/U)=lnx—x+1WO,即In运x

-1,

，当〃22时，

n'n'n'n

22

rriqln2In32Inn)+(「［+工)+11、

所以——+^^+++Za1—LQ)

2232n-33+1

=〃T」+-L=2〃2-〃T

271+12(〃+1)

In2In3Inn2n2-n-\

.•—~+■1<---------------

2，3,，广4(/i+1)

4.(2022•湖南张家界•高二期末)已知函数/(x)=lnx-or+l,其中aeR.

⑴当〃=1时，求函数/(1的单调区间;

(2)①若/("工0恒成立，求。的最小值；

②证明：1+!+?+…+,>ln(〃+l),其中〃《NJ

23n

【答案】(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为。,田)

(2)①1；②证明见解析

(1)

由已知条件得“x)=lnxr+l,其中/(幻的定义域为(0,侪)，

则73」-1=匕

XX

当xe(O,l)时，人)>0,当八时，/Z(A)<0,

综上所述可知：/（X）的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+8）；

⑵

①由/（x）=lnx-ax:+l«0恒成立，即4211四恒成立,

令g（x）Jn：+l（x>。）,则g，（x）=-竽,

当xe(0,l)时，g[x)>0,当时，g'(x)<0,

.••g。）在（0,1）上单调递增，（1,y）上单调递减,

g（x）g、=8⑴=1，。2g（x）z=1

，。的最小值为1.

②由①知：x-\>\nx,x=l时取“二”

令x=R得kmR

nn

23“123n

=皿23的x3=s,

123n

当〃cN”时，1+—।—+…4->ln(/z+1).

23n

7.(2022•全国•高三专题练习)设函数/(x)=ln(l+x),g")=〃士6R).

1I.X

⑴若函数〃（力=/（力-8&）在定义域内单调递减，求〃的取值范围;

+。■卜/（为自然对数的底数）.

(2)设〃eN",证明:i+41e

+5ir

【答案】（1）；，+8

（2）证明见解析

⑴

解：函数力（X）的定义域为（T+8），

Rh(x)=f(x)-g(x)=ln[\+x]-dlX+2x,

1•人

(2x+2)(l+x)-(x2+2x)(1+x)-«-(X2+2x+2)

则力4

(1+丁)—(")

由于力（力在（-1,+^）内单调递减，则W0对工«-1,+8）恒成立,

即（1+另-4・（』+2x+2）«0对xe（-l,+8）恒成立，

1+X

从而则-------厂

、炉+2x+2/IIU1X1+X+—!―2

I1+X/max

故”的取值范用为；，+8）

（2）

证明：取。=（，由第（1）问可知妆同在（。,依）为单调递减函数,

从而力（工）＜力⑼=0：

则In(1+x)＜；彳：2”对戈w(0,+8)成立,

k

令x=F1k=1,2,...,??),

1a3

4〃何+i)4

n

故（T）（m+卦人

题型二：导数与概率统计

【典例分析】

例题1.（2022•江苏南通•高二期末）某大型养鸡场流行一一种传染病，鸡的感染率为

（1）若〃=0.9,从中随机取出2只鸡，记取到病鸡的只数为4,求4的概率分布及数学期望;

（2）对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡♦方案如下：按每M&wN*）只鸡一

组分组，并把同组的“只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组&只鸡逐只

化验•设每只鸡的化验次数为随机变量"，当且仅当24A48时，〃的数学期望石何）＜1,求

〃的取值范围

【答案】（1）分布列见解析，L8

■

（2）1-9­%1-8«.

(1)

依题意，J的所有可能取值为0,1,2.

且P(g=0)=Cx0.9°x0.12=0.01,尸(g=l)=C；x0.9x0.1=0.18,

"(R=2)=C；x0.92x0.1°=0.81,

所以4的概率分布表为

012

P0.010.180.81

所以£(4)=0x0.01+1x018+2x081=1.8；

(2)

设q=i-p.

若同一组的攵只鸡无感染，则〃=，；否则，〃二十1.

kK

所以巾=/=■,+=，)=1_八

所以用〃)可+9+山—

又当且仅当2KAW8,丘N*时，E(77)<I,即

K

所以当且仅当2dK8且氏wN*时，詈>-1叫(*),

S/(x)=—+M，则/")=上萼，令/，(力=0,得工=e.

*v入

所以/(X)在(Le)上单调递增，f(x)在®+8)上单调递减.

由(*)知，/(2)>0,/(1)<0,/(8)>0,/(9)<0,

所以•^+ln4>0,IngWO,^-^+ln^>0,-^+ln^<0,

289

In8।,ln9

所以一一—<inc/<一一—,

所以ln8《clngWlng-'，

iir-1

解得8^<4,9一3,所以〃的取值范围是1-99,1-骁•

例题2.(2022•山东-曹县一中高二阶段练习)垃圾分类，是指按一定标准将垃圾分类储

存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃

圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.

为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系

统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，口常全天候开启3套环

境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1

套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，旦后启动的这2

套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标,也立即检查污染处理系统.设每个时间段(以

1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为〃(Ov〃vl),且各个时间段每套

系统监测出排放超标情况相互独立.

(D当〃=:时，求某个时间段需要检杳污染处理系统的概率；

(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时(不启动则不产生运行费用)，除运行费用

外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的

环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.

【答案】⑴露

OI

(2)不会超过预算，理由见解析.

(1)

设某个时间段在开启3套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为4

则P(A)=C犷(l-〃)+C；//=C|X>|+C《)=g

设某个时间段需要开启另外2套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为

则P(4)=C；p(i—p)[iTi—p)[=C；])=!?.

72041

所以某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为不+—=

818?

(2)

设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元,

则1的所有可能取值为6C,100.

且P（X=1。0）=C；p（l，P（X=6O）=1-C>（1-/?）2.

2,2

£(X)=60[l-C^(l-/?)]+100C3p(l-p)=60+l20p(l-/?)\

令g(P)=P(l-P『，〃£(。,1)，

贝iJg'(〃)=O-2〃(1-〃)=(3〃-.

当时，g(〃)单调递增，

当时，g[p)<0,g(p)单调递减，

所以g(〃)的最大值为=(.

所以实施此方案的最高费用为6+9000(60+120乂01()7=76(万元).

因为76V80,所以不会超过预算.

【提分秘籍】

构造函数，利用导函数求最值

【变式演练】

1.(2022•全国・高一)根据社会人口学研究发现，一个家庭有1个孩子的概率模型为:

X1230

a

概率aa(l-P)a(l-p)2

P

其中a>0,0<P<l.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为g且相互独立，事件A表

示一个家庭有i个孩子1=0,123),事件〃表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭

恰有一个男孩，则该家庭男孩多.)

⑴若〃=：,求夕，并根据全概率公式P(8)=£P(8|A)P(AJ,求P⑻；

2r=0

(2)为了调控未来人口结构，其中参数〃受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、

医疗福利的增加等).

①若希望P(X=2)增大，如何调控夕的值？

②是否存在夕的值使得E(X)=|,请说明理由.

4/、2

【答案】(1)。=/，P(B)=(;

(2)①增加”的取值；②不存在，理由见解析.

(1)

由题意得：4+a+a(l-p)+a(l-〃)2=2a+a+:a+:a=§a=l,

p244

4

所以a=不，

P(5|A)=吗尸但4)="界P(用AJ=G©+C(%

由全概率公式，得P(8)=£P(8|A)P(AJ

a(l-p)

邪+>+ga(J〃)，又P=g，则p⑺二U

(2)

①由4+a+a(1—〃)+a(l_p)2=],—+—

PaP

记/(〃)=〃2-3吗+3,o<P<i,则r(〃)=2/；y一]

记g(〃)=2P3-3/r一1,则/(〃)=6/?2-6/?=6p(/?-l)<0,

故g(〃)在(。，1)单调递减・

•・・g（O）=T,・・・g（〃）vo,.・・r（同VO,f（"）在（0,1）单调递减.

因此增加"的取值，§会减小，。增大，即P（X=2）增大.

51|

②假设存在〃使E（X）=-r+2a+3a（l—p）=q,又一=p?-3〃+—+3,

P3ap

将上述两式相乘，得'+5—p=W—5p+j-+5,

p33〃

化简得，5〃3-6〃2+2=0,

设力（〃）=5〃'-6〃2+2,则//（/“=匕犷-12〃=3〃（5〃-4）,

则MP）在（。5单调递减，在俘1）单调递增，MP）的最小值为卷）=/〉0，

・•・不存在P。使得〃（〃。）=0.

2.（2022•全国-高三专题练习）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已

知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部

奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自

赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲羸的概率为夕（OVpVl）,乙赢的概

率为1-0，且每场比赛相互独立.

（1）当〃=g时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量匕求/的分布列；

（2）当〃时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙嬴了2场，此时比赛因意外

终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；

（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事件，我们可以认

4

为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生.若本次比赛〃之二，且在已进行的3场

比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说

明理由.

【答案】（1）分布列见解析；（2）600（）元；（3）不可能发生，理由见解析.

【详解】（1）V的可能取值为4,5,6,7

P（r=4）=（-）4x2=-

p（r=5）=c；（l）5x2=l

24

尸（y=6）=《（；）6x2=^

P（y=7）=cj4）7x2=A

216

的分布列为

Y4567

\_55

P

841616

112

(2)5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为5+(今2=；：继续比赛乙胜的概率为

(收,

3

.二甲获得奖金金额为了匕乂8000=6000(7E)

—+-

44

(3)设继续进行X场比赛乙赢得全部奖金，X可能取值为3,4.

P(X=3)=(l-p)3；P(X=4)=C；(l-p)3.〃

设乙赢得全部奖金为事件A,则P(A)=P(X=3)+P(X=4)=(l-p)3(l+3p)

设/(〃)=(1一〃)'(1+3〃)，则/'(〃)=一12〃(1一〃)2,由.•./(〃)<()

「•/(P)在g1)单调递减，.・・/(〃[=/©=与=00272<0.05

53625

・••认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.

3.(2022•福建-厦门双十中学高三阶段练习)一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫

苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有，«〃eN)份血液样本每份样本取到的可能

性均等有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验“次；(2)混合检验将其中攵(AeN

且攵22）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这A份的血液全无抗

体，因而这4份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这4份血液究

竟哪几份有抗体就要对这A份再逐份检验,此时这4份血液的检验总次数为田1次假设在接

受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的

概率均为〃（Ovpvl）.

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好

经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中攵（AwN.且222）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总

次数为。，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为身.若后（。）=£值），求P关于k

的函数关系式〃=/伏），并证明

【答案】⑴6：⑵〃=/任）=1_@）（丘叱,八2）：证明见解析.

【详解】解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A,

所以P网=*/必=得

3

所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为1.

（2）由已知得

么的所有可能取值为1，攵+1.

所以尸值=1）=（1—〃）'，P俗=&+1）=1-。―〃）"，

所以E©）=（l-p）*+（左+[=攵+1-左（1-〃），

若石（劲=七（刍），则RT+1—〃（1-〃）工

所以&（1-〃）'=1,（1一〃）'=）,

所以1_〃=（£）工，即〃=|_（£|工，

所以〃关于A的函数关系式为〃=/(2)=1-(kN2且丘N*)

证明：令，=(：『(八2且AwN)

”…1,1\nk

所以ln，=71n：=一——,

kkk

令g(x)=」W(xN2),

inx-1

W=^-'

所以g'(x)=O得x=e,

所以xw(2,e),/(x)<0,g(x)单调递减,

xe(e,-Ko),g(x)>0,g(x)单调递增

所以g(xL=g(e)=一，所以学之一?

因为4N2且AeN",

所以加,广，即

所以〃=H£)D.

4.(2022•全国-高三专题练习)某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现

有〃(〃eN)份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验〃次.

方式二：混合检验，将其中加(〃eN*且〃?22)份血液样本分别取样混合在一起检验.若

检验结果为阴性，这加份血液样本全为阴性，因而这，〃份血液样本只要检验一次就够了；

若检验结果为阳性，为r明确这阳份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这，"份血液样本

再逐份检验，此时这小份血液样本的检验次数总共为，〃+i.

假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样

本是阳性结果的概率为〃(0<〃<1).现取其中k(AwN*且人2)份血液样本，记采用逐份检

验方式，需要检验的总次数为。，采用混合检验方式，需要检验的总次数为$.

(1)若石©)=石信)，试求〃关于k的函数关系式〃=/(%)；

(2)若〃与干扰素计量，相关，其中不天,…，王(〃之2)是不同的正整数，且百=1,

V〃eN*(〃22)都有/-£工=再三成立.

MXiXi+\石一X\

①求证：数列｛%｝是等比数列；

②当〃=]一，=时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检

验方式的检验总次数的期望值更少，求攵的最大值.

参考数据：ln4«1.3863,ln566094.

I

【答案】(I)/仕)=1_己『；(2)①证明见详解：②4.

【详解】⑴由已知，a=k,P依=k)=l,得七«)=&：

$的可能取值为I，k+1，

由题意P©=l)=(l-〃)30(乙=k+1)=1-。一〃)",

所以E©)=(l-p)*+(E)[l-(l-p)*卜氏+一("〃)，

又上(鲂=后催),即左=2+1/1-浮，则)=(1—",所以P=1/邛，

k\k)

£

即〃关于攵的函数关系式为〃=/(&)="([;

1，

石二巷7；

(2)①证明：当〃=2时,=1,所以立•=/,令夕=区=〃，则夕w1；

XZ考一X；

因为耳=1，所以下面证明对任意的正整数〃,

(i)当〃=1,2时，显然成立；

(ii)假设〃=左伙22)时，勺二31成十:

由V塞5

当〃=A+1时,

所以％

由(i)(ii)可知，/=e亍(〃€*)，即数列｛z｝是等比数歹U;

②由①知，〃=1一而=1一壶，

因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验

总次数的期望值更少,即双劲＞七(劲,

所以々＞攵+1-&(1一〃)“，则一〃)"=(=e，

I-*k

所以In上cine3,即InA>7；

k3

Y

设g(x)=lnx-Q,x>(),

J

1，/、]13-x

则rlg(X)=__-=—»

x33x

当x>3时，g'(x)<0,则g(x)=lnx-?单调递减；

当0<x<3时，g'(x)>。，则g(x)=lnx—；单调递增；

所以g(x)a=g⑶=皿3-1>0；

45

乂(4)=In4--«1.3863-1.3333>0.^(5)=In5--«1.6094-1.6667<0,

33

所以使g(x)>0的最大整数x的取值为4,

即心>,时，2的最大值为4；

综上，A的最大值为4.

二匚量新近考敢俎保

1.(2022•河北邯郸•模拟预测)设函数/(R)=f+ln(x+l)

⑴求曲线y=在(0.0)处的切线方程；

(2)证明：当〃WN*且〃..2时，In(H+l)>i+^-+-.+^l.

827n

【答案】(1))'=x

(2)证明见解析

⑴

显然，且/(x)=3/+±,故r(O)=l

故切线方程为)」0=r⑼(x—0),即y=x

(2)

令g(x)=f+ln(x+1)-f,

，/、c2c13xy+x2-2x+\3x3+(x-l)-

g'*)=3f―2-A+——=-------------=-----——「

')x+\x+1x+1

当x..O时，g,A)>0,g(x)单调递增

故g(x)..g(O)=O,

即当x..O时，ln(x+l)+d-x2..。

1f1A11

令X=一,得In1+—H—r7>0

nvn)nn"

即In(〃+1)-1n〃>J-。=

由此可得，ln2-lnl>l-l=O

In3-In2>-V—!r=",

1_r?-l

ln(z74-l)-ln/?>-y

7=­

将以上〃个式子相加，得ln(〃+l)>：+工+…ACN"且九.2

o27n

2.(2022,全国,高三专题练习)证明：Bx(x，x...x1<<拒］.

【答案】证明见解析

【详解】证明:2

2n2〃+1

I352H-I2452n

—X—X—-----------<-X-X-X...X-------------

2462n3572/7+l

1352，L1、2Z1352〃-1、，24In、I

-X—X—------)<(-x-x-x...x------)x(-x-x...x------)=------

2462H2462n352n+l2〃+l

I35

—X—X—

246

令/(x)=0sinx一4，xe(0.^y]

w开..TV2

三一<—,­•cos.t>cos—=——，

3442

f\x)=41cos.v-1>0

/.f(A)=V2sinx-x/t-上递增，.・・/*)>/(0)=0,所以&sinx>x,又因为

扃〈岛二冬二任T&sm扃

综上：洛寺…'碧〈岳

k(x—I)

3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx-一--+1.

x

(1)求函数的极值;

(2)(i)当x>l时，/(心>。恒成立，求正整数女的最大值;

(ii)证明：(1+1x2)(1+2x3)...[1+??(/?+1)]>

【答案】(1)答案见解析

(2)(D3；(ii)证明见解析

(1)

f(x)=，x>0,

厂

当4W0时，f(公>0,函数在(0,十8)上单调递增，没有极值;

当A>0时，由/(x)>0得尤>〃，由r(幻V0得OVxVA,

所以F(x)在(0,k)上单调递减，在Qk,+8)上单调递增，此时函数F(x)的极小值

fCk)=Ink-状2,没有极大值；

(2)

(i)当x>l时，/(x)>0恒成立，即只要f(x)min>0即可，

由(1)女>()时，F(x)在(0,k)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

(a)若AW1时，f(x)在(1,+8)上单调递增，fix)=1满足题意；

(b)当心>1时，f(x)在(0,k)上单调递减，在(儿+8)上单调递增，f(x)min=f

(k)=lnk-A+2>0,

令g(x)=Inx-x+2,则g'(x)=^~-<0,

x

所以g(X)在(1,+8)上单调递减，

且g(2)=7/?2>0,g(3)=7/?3-1>0,g(4)=/M-2<0,

所以存在刈£(3,4)使得g(刈)=0,

则g(x)户2>0的解集为(1,xo),

综上〃的取值范围(・8,左),其中心£(3,4),

所以正整数A的最大值3；

(ii)证明：要证0+lx2)(l+2x3)L(1+〃X(〃+1))>/F)

两边取对数，即证ln[(l+lx2)(l+2x3)L(1+〃x(〃+l))]>2〃—'

也即证ln(l+lx2)+ln(l+2x3)+L+ln[l+〃x(〃+1)]>2〃--

由(i)知lnx>里二1一1,

x

33(33A

令*=1+〃(/升1),则/〃[〃(山1)+1]>2--7--7；-;>2—----r=2--------

所以

2/111T111

ln(l+1x2)+ln(l+2x3)+L+ln[l+〃x(〃+1)>27z-31——+-----+L+---------

(223nn+1J

=2”包

«+1

所以(1+1X2)(1+2X3)…口+〃(/升1)]>e心总).

4.（2022•全国•高三专题练习）己知函数/（刈=也之

X

⑴求/（X）在点（1J⑴）处的切线方程;

（2）已知函数&3=1-1-/（力（。＞0）在区间（1,例）上不存在极值点，求”的取值范围;

⑶证明：2+++；J>ln(〃+1)

neN\

【答案】⑴x-y-i=。

⑵(0,1]

(3)证明见解析.

(1)

,I、Inxi-x-lnx

由小人T可得尸（土」^l-lnx

所以/（X）在点（1J⑴）处的切线斜率为z=〃l）=号"=1，

因为/（1）=¥=0,所以切点为（1,0），

所以“X）在点（1J（1））处的切线方程为广X-1即

（2）

且⑺3定义域为（0,+8）,

XX

2x-l--Jx-(x2-x-«lnx)

JC+a\nx-a

，(x)=~P

若8(6=1-1-0*(%)(。>0)在区间(1,”)上不存在极值点,

则g，(x)=Y+"：厂”20或g，(x)=Y+坐…<0恒成立，

令〃(x)=f+aInx—〃，则〃(x)N0或x)<0对于xe(1,+x))恒成立,

因为人'(x)=2x+g>0恒成立，所以力(司=9+黜门-4在(L+oo)上单调递增，

X

所以MxL>"i)=~，

若力(另20恒成立，则1一“20,所以0<。41符合题意；

因为力340对于x«l,*o)不可能恒成立，

所以0<心1时，g，(x)=/+a：丁-％0恒成立,此时在区间(1.m)上不存在极值点,

所以”的取值范围为(05

(3)

设"7(x)=lnx-W+x,定义域为(0,2),

，/\Ic,-2x2+X4-1-(2x+l)(x-l)

贝ri1ll=一—2x+l=----------=-----------L

XXX

由i?i(x)>0可得0VXv1：由加(x)<0可得X>1,

所以〃?(x)=ln工一V+x在(0,1)上单调递增，在(1.y)上单调递减，

所以〃?(x)a=/〃⑴=0,所以〃7(x)=In汇-Y+xW0即InxWW-x,

A〃+Irn,l,〃+1J〃+1丫7/4-1〃+1

令工=——，则In——<——-----.

〃n\nJnn~

所以上Hzln(〃+l)-ln〃.

LL+l2+13+1〃+l.ir11/\.

所以---F---+---F+—；—>In2-fIn1+In3-In2++In(〃+1)-In〃，

r2-3-fr'

口nc2+13+1〃+1/、

即2+-^-+^-++

5.（2。22.全国,高三专题练习）已知函数=SeR）

（1）试讨论八刈的单调性;

人.48124〃/«、

(2)求证：——+——+——+…+------<〃(〃+5).

小ln2In3In4ln(n+l)

【答案】(1)答案见解析：(2)证明见解析.

【详解】解：(1)因为/")=lnx—名斗，