新教材人教a版选择性必修第一册111空间向量及其线性运算学案

第一早

空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

核心知识目标核心素养目标

1.经历由平囿向量

推广到空间向量的

过程，了解空间向量

的概念.在空间向量概念的形成中和进行线性运算的过

2.经历由平面向量程中,经历由具体到抽象、由图形语言到符号语

的运算及其法则推言的表达过程,发展学生的直观想象、数学抽象

广到空间向量的过和数学运算素养.

程.

3.掌握空间向量的

线性运算.

途匆承探究♦素.秦启一迪.

@情境导入

小明从学校回家,需先从学校大门口骑上自行车向北行驶1000m,

再向东行驶1500m,最后乘电梯上升15m到5楼的住处.在这个过

程中，小明从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合

成（如图所示）.

南j的

南_________J

探究：(1)以上三个位移是同一个平面内的向量吗?

(2)如何刻画小明同学行驶的位移？

答案：(1)不是.(2)借助于空间向量的运算.

®知识探究

(1)定义

在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.

⑵长度或模

空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.

⑶表示方法

几何

表不空间向量用有向线段表示

法

字母用字母表示,如图,此向量的起点是A,终点是B,可记作a,也可

表小以记作易,其模记为囿或161

B

法

A

(4)几类特殊的空间向量

①零向量:规定长度为0的向量叫做零向量,记为0.

②单位向量:模为1的向量叫做单位向量.

③相反向量:与向量a长度相等而方1向型反的向量叫做a的相反向量,

记为一a.

④粕等向量:方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间，同向且

等长的有向线段表示同一向量或相等向量.

⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在直线

互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.

［问题1］平面向量与空间向量有什么区别和联系？

答案：（1）区别:平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的

是三维空间的向量.

⑵联系:空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、

相等向量和共线（平行）向量的概念都与平面向量相同.

（1）空间向量的加法、减法、数乘运算的定义

把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法（图

1）以及数乘运算（图2）:

①a+b=0A+48=0B;

②a-b二&一民心;

③当X>0时，入a=AOA=PQ;

当人<0时，入a二人后二赢；

当人二0时,Xa=0.

/AA

0VN

图1图2

⑵运算律

空间向量的线性运算满足以下运算律(其中入，ueR)：

交换律:a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c),入(pa)=(Xy)a;

分再己律：(入+u)a=卜a+>a,入(a+b)=入a+入b.

(3)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.

［问题2］入£R,向量aWO,则向量入a的方向、模与向量a的方向、

模之间分别有什么关系？

答案：(1)入〉0时，向量入a的方向与向量a的方向相同，入<0时，向量

入a的方向与向量a的方向相反，入二0时，入a为0,方向是任意的.

(2)1a的模为|Xa|=|X|•|a|,即向量a的模的|X|倍.

⑴空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(bWO),a〃b

的充要条件是存在实数入，使a=Xb.

⑵直线的方向向量

如图,0是直线1上一点,在直线1上取非零向量a,则对于直线1上任

意一点P,存在实数入，使得办二J上.

把与向量a平行的非零向量称为直线1的方向向量(direction

vector).这样,直线1上任意一点都可以由直线1上的一点和它的方

向向量表示，也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

(3)共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段04所在的直线0A与直线1平行或

重合,那么称向量a平行于直线1.如果直线0A平行于平面a或在平

面。内，那么称向量a平行于平面a.平行于同一个平面的向量,叫做

共面向量(coplanarvectors).

⑷向量共面的充要条件

如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是

存在唯二的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

［问题3-1］空间中三点A,B,P,如果对空间中任意一点0,满足向量关

系式后=人入，u£R,当入，u满足什么等式时,A,B,P三点

共线？当入，u为什么值时•，点P为AB的中点？

答案：⑴当…二1时,A,B,P三点共线.

⑵当入:口］时,P为AB的中点.

［问题3-2］三个向量共面,是否表示这三个向量的有向线段所在的直

线一定共面？

答案:不一定.若三个向量共面,则表示这三个向量的有向线段可以平

移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能.

［问题3-3］对空间任意四点P,M,A,B.

(1)如果痛P=x扇1+y薪(x,yeR),P,M,A,B四点是否共面？

(2)对空间任意一点0,0P=0M+xMA+yMB(x,y£R),则P,M,A,B四点

是否共面？

（3）对空间任意一点0,OP=xOM+yOA+zOB,x+y+z=1,则P,M,A,B四点

是否共面？

答案：（1）共面.（2）共面.（3）共面.

©小试分手

-ABCD中，。4「北+辰•化简后的结果是.

答案：血

2.如图所示，已知长方体ABCD-ABCD,化简下列向量的表达式.

(1)4%-届二;

⑵=;

,1-*1T1T

^-AD+-AB--AA=

2221---------

答案:⑴4入⑵征⑶

3.如图,在正方体ABCD-A.B.C.D,中,M,N分别为AB,Bu4kADf4^表示

向量疝V,则MN=.

答案:16+工加工力1

2221

出课堂探究二素养培育―.........

。探究点一空间向量的概念

［例1］给出下列命题：

①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同;

②在正方体ABCD-ABCD中，必有前二4工\;

③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;

④只有零向量的模为0.

其中真命题的个数是()

(A)l(B)2(C)3(D)4

解析:①真命题.根据向量相等的定义,两个相等的向量若起点相同，

终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同.

②真命题.根据正方体的性质，在正方体ABCD-ABCD中，向量成与

4石的方向相同,模也相等,必有易二/，i.

③真命题.相等向量满足传递规律.

④真命题.根据零向量的定义可知.故选D.

|重方法总结

处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关素

(1)两个要素

判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素，即大小写声

向,两者缺一不可7

⑵两个关系

①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等，则它们的长度相豕

但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等面值

要不充分条件.

②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”

“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的?

变式训练1:给出下列命题：

①若|a|=0,则a=0;②若a=0,贝卜a=0;③|-a|二|a|,其中正确命题的序

号是.

解析:①错误,若Ia|=0,则a=0;②正确.③正确.

答案:②③

《探究点二空间向量的线性运算

[例2](2020•山东淄博一中高二检测)如图所示,在平行六面体ABCD

-ABCD中,设分广包易二b,AD=cfM,N,P分别是AAbBC,CD的中点,

试用a,b,c表示以下各向量.

(1)/；(2)诂+后「

解：(1)因为P是CR的中点，

所以6二4二1+/11+D；P=a+G+三=a+c+三AB=a+c+-b.

222

⑵因为M是AAi的中点，

所以诂二忌+前多;A+正亭+(a+c+3)=|a+1b+c.

又证1二证+乩三BC+AAiAD-^AAi+a.

所以MP+NQ=(|a+1b+c)+(a+!c)=|a+|b+|c.

g方法总结

(1)空间向量的线性运算技巧

①巧用相反向量：向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、

减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.

②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减

法运算时.，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量

的自由平移获得更准确的结果.

⑵化简空间向量的常用思路

①分组:合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化

简.

②多边形法则:在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和,还可利

用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求

和.

③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路（即沿儿

何体的边选择途径）.

⑶与空间向量的线性运算相关的结论

①在平行六面体ABCD-ABCD中"心艮市碗口4、口

②若G为4ABC的重心,则G+品+B=0.

③若0为空间中任意一点,则

（i）点P是线段AB中点的充要条件是办《（后卜6?）.

（ii）若G为4ABC的重心,则日理日旧0曲日川

变式训练2:如图,在长方体ABCD-ABCD中，下列各式中运算结果为

向量8入的是（）

①04也TiA）-m

②（盛+瓯）-0人

®{AD-AB）-DDX\

④（“\T；A）+血.

（A）①②⑻②③（C）③④（D）①©

解析:①G4ii-4；A）—6二房=;

TTTTTTTfT

②（BC+BB。-D*C亡BC+BB]+C[D]=BC]+C]D尸BD];

③（G-几）-应\二访-DBI=BB-B%I=B；DWB^i;

—>—>TTTTTTTTT

-

④（B1O1711A）-^DD1-B1D1^AA1^DD1-B1D1^BB^DD1-BD1+DD1中

5Dp

故选A.

/探究点三向量共线的判断与应用

[例3]（2021•湖南衡阳高二联考）如图所示，在正方体ABCD-A.B.C.D.

中,E在AD上,且4；E=2应）i，F在体对角线A.C上,且4；F二|启求

证:E,F,B三点共线.

证明：设48=a,4D=b,AA^c.

因为/；E=2E、，/；1局，

3

所以AEWaDiMiFWaiC,

oo

T77

所以&E二三/。二~，

oo

4；F=(AC-AA^^{AB^AD-AAy)=

55

-a+-b--c,

555

所以俞二4；F—A；E二三a-±b—三c』(a--b-c).

11515553

-TT22

XFB=F24+/lA+/lB=--b-c+a=a--b-c,

1133

所以小上肩,所以余〃扇.

5

又EF与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线.

g方法总结

⑴判断或证明a,b共线，即找实数x,使得b=xa(aW0),在这里要充分

运用空间向量的运算法则,结合空间图形，化简转化为a,b的关系式，

得到b二xa(aNO)的形式,从而得到b〃a.

⑵证明(或判断)A,B,C三点共线时，只需证明存在实数入(或［),使

版口品网扇曰;］命|)即可,也可用“对空间任意一点0,有

而同江4|+(1-•儿|”来证明三点共线.

变式训练3:已知。是平面内任意一点，a是任意角，则下列等式一定

可以判断A,B,C三点共线的是()

TTT

(A)OC=sinaOA+cosaOB

(B)OC=sin2aOA+cos2aOB

(C)OC=sina04-cosaOB

(D)OC=sin2a(M-cos2aOB

解析:日?二x&+y茄中，

当x+y=l时,A,B,C三点共线.

因为sin2a+cos2a=1,

所以选项B可以判定A,B,C三点共线.故选B.

。探究点四共面向量的判定与应用

[例4]（2021•江西南昌高二检测）如图所示，在正方体所CD-ABCD

中,M,N,P,Q分别为AD,DC,AAbCG的中点,求证:M,N,P,Q四点共面.

证明：令D[4i=a,£\Ci=b,£\D=c.

因为M,N,P,Q均为棱的中点，

-»TT11

所以MN二DiN-Di

22

TT-^11

MP=M4i+4iP」a+±c,

1122

11Tli1

MQ=MD+DC+CQ=--a+b+-c.

111122

设而二人痴+u诵

贝lj」a+b+%二人(-b--a)+u(-a+-c)—(u-X)a+-入b+-uc,

222222222

|(|1-入)=-1,

所以｛|x=i,解得忆:

I21^1=P

所以丽二2嬴+诂，

所以向量丽,MN,海共面.

又向量丽,赢,而过同一点M,

所以M,N,P,Q四点共面.

g方法总结

利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示，恰当

应用向量共面的充要条件.向量共面的充要条件的实质是:共面的四

点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量.

变式训练4:(2021•浙江嘉兴期末节选)如图，已知矩形ABCD和矩形

ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上,且

11TTT

BM=iBD,AN-AE.求证：向量MN,CD,DE共面.

33

证明：因为点M在BD上，且BM4BD,

所以诂=DB^-DA+-AB.

333

同理得众工法.

33

所以

TTTT1-1—T1-1一2T1一2T

MN=MB+BA+AN=(-DA+-AB)+84+(-AD+-DE)-BA+-DE」CD+

3333333

1T

-DE.

3

又cB与法不共线，

所以根据向量共面的充要条件可知向量嬴,CD,法共面.

©课堂达标

1.向量a,b互为相反向量，已知|b|二3,则下列结论正确的是(D)

(A)a=b(B)a+b为实数0

(C)a与b方向相同(D)|a|=3

2.设有四边形ABCD,0为空间任意一点，且AO+OB=DO+OC,则四边形

ABCD是（B）

（A）空间四边形（B）平行四边形

（C）等腰梯形（D）矩形

解析：因为命+办三6,DO+OC=DC