数学不等式练习题梳理(含答案)汇编高考

不等式版快

目问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题1

问题二：线性规划中的参数问题............................24

问题三：利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题....49

问题一：含参数的不等式列恒成立、恰成立、能成立问题

纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问

题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际

教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学一生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目.分

析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至

于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的

探讨.

1不等式恒成立问题

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综

合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、

分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了

积极的作用.近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、

导数知识密不可分.

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分

离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法.下面我就以近几年高考试题为例加以剖析.

1.1函数性质法

一、一次函数——单调性法

给定一次函数y=/(£)=or+〃(awO),若y=/(x)在内恒有/'(x)>0,则

根据函数的图像（线段）（如右下图）可得上述结论等价于⑴|。八＞0心。或⑵a<0,

>0.

/(〃?)>0,

可合并定成

/(〃)>()♦

/⑻<0,

同理，若在洌内恒有内(x)vO,则有•

例1.若不等式2工一1＞加(，一1)对满足一24〃702的所有〃2都成立，求工的范围.

【分析】我们可以用改变主元的办法，将〃?视为主变元，即将元不等式化为：

"z(x"—1)—(2x—1)<0来求解.

【解析】我们可以用改变主元的办法，将〃？视为主变元，即将元不等式化为：

m(x2-1)-(2x-1)<0,令="2(炉—1)一(2工一1),则一2工机42时，f(m)<0

吐2)<0,J—2(厂—1)—(2.V—1)<0

恒成立，，只需《；,解这个不等式组得x钝范围

〔/⑵<。

2(X2-1)-(2X-1)<0

1+疔

是

22

【点评】有些问题，如果采取反客为主(即改变主元)的策略，可产生意想不到的效果.

二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解

有以下几种基本类型:

类型1:设/(x)=ad+Zzr+c(〃wO).

(1)/(x)＞0在xwR上恒成立且A＜。；(2)/(x)〈。在xwR上恒成立

o4<0且△<0.

类型2:设/(x)=ax2+bx+c(〃00).

(1)当。＞0时，/(x)上恒成立

bb

------<aa<-------

2a或J2a"或卜9⑸

f(a)>0A<01/(/?)>0.

fM<0在xG[a,£]上恒成立<=>?

+_[7(。)>0,

(2)当。<0时，/'(外>0祗£[。,切上恒成立01

ff

b<__b_<N__b_g

/。)<0於£口,川上恒成立。・2a<°或2々一"或，2a>'

,/(«)>0〔AvO〔/(0<。

例2.已知不等式/m，+4〃比-4<0对任意实数x恒成立.则〃7取值范围是()

A.(—1,0)BC.(-CO,-1)U(0,+CO)D.1,0]

【分析】由不等式如2+4g-4<0对任意.实数元恒成立，知〃?=0或

0,

■m<

16/7?2+16/7?<O.

由此能求出机的取值范围.

..,「<0,

【解析】•••不等式加T2+4/nr-4<0对任意实数八.•.〃?=()或-“八解

16nz2+16m<0.

得一IvmfO.

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，

注意合理地进行等价转化.

例3.已知函数/(戈)=2〃疗-2(4-6)x+l,g(x)=〃ir,若对于任一实数xr,f(x)

与g(x)的值至少有一个为正数，则实数〃？的取值范围是

()

A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(—,())

【分析】/3)与以工)的函数类型，直接受参数〃?的影响，，首先要对参数进行分类

讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题.

【解析】当相=0时，/(戈)=-8/+1>0在(一8,：)上恒成立，而g*)=0在R上恒

8

成立，显然不满足题意(如图2)；当相<。时，g(x)在R上递减且g(x)=〃a>。只在

(-8,0)上恒成立，而/(")是一个开口向下且恒过定点(0,1)的二次函数，显然不满足题意

(2)讨论函数/(x)的单调区间；

(3)若对任意工>0,不等式/(x)N-2/恒成立求c的取值范围.

2

【分析】/*)2-2^恒成立_即f(x)min>-2c,要解决此题关键是求/(幻01m.

x>0.

【解析】(1)(2)略.

(3)由(2)知，/(工)在x=l处取得极小值/(l)=-3—c,此极小值也是最小值.要

使/(x)N-2c2(x>0)恒成立，只需一3-。之一2c2.印2c2-c-3N0,从而

(2c-3)(c+l)>0.解得c2T或二.c的取值范围为(―8,—l]U《,+8).

例5.(08天津文21)设函数/。)=犬+0?+2/+"xwR),其中〃力£尺.

(Ill)若对于任意的a4一2,2],不等式力在上恒成立，求力的取值范

围.(节选)

【分析】即/(©max«l，€[-2,2],xe[-1,1],要解决此题关键是求

例6.(09年全国卷II文21)设函数/。)=(/一。+//+4办+24。，其中常数。>1.

(II)若当工之0时，/(幻>。恒成立，求。的取值范围.(节选)

【分析】利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出。的范围.

【解析】(II)由⑴知，当xNO时，/1)在x=2。或x=0处取得最小值.

/(2a)=-(2a)3-(14-a)(2a)2+4a•2a+24a=~—ay+4a2+24。,/(0)=24a,贝！由题

33

a>1。>L

意得•/(2o)>0,即一3a(a+3)3_6)>0,解得1va<6..,.々£(1,6).

0°)>”层>0.

【点评】以上三题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数

的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程

的根不一定是极值点.

1.2分离参数法——极端化原则

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问.题转化为求

主元函数的最值，进而求出参数范围.利用分离参数法来确定不等式/(M4)之0(xeD.

力为实参数)恒成立中参数4的取值范围的基本步骤：

(1)将参数与变量分离,即化为g(4Nf(x)(或g(4)W/(x))恒成立的形式；

(2)求/(x)在XEO上的最大(或最小)值；

⑶解不等式g⑷之FCOg(或g㈤耳向)，得〉的取值范围.

适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出.

例7.(2013新课标卷I理11)已知函数=|+2""«0,若|八必才以则

ln(x+l),x>()

〃的取值范围是

A.(-a),0]8.(9/]C.[-2,l]Z).[-2,0]

x<0

【解析】小(讣同g…,

••2且

x-2x>ax

/>()x<0

八，由12可得aNx-2,则〃N-2,排除A,B,当〃二1时，易

ln(x+l)>arx-2x>ax

证ln(x+l)<x对x>0恒成立，故。二1不适合，排除C,故选D.

【点评】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题.

例8.(07年山东卷文15)当xw(l,2)时，不等式9+"优+4<0恒成立，则加的取值

范围是_.

Y-+4X。+44

【解析】当工£(1,2)F寸，由*2+nvc+4<0得mv---------.令/(A)=--------=x4--,

XXX

则易知/")在(1,2)上是减函数，・•・XG[1,2]时/U)„m=/(1)=5,则

r2+4

(-------焉>一5・・・〃”・

x

例9.(09年山东卷文21)已知函数/(幻=：。/+法2+工+3,其中

(1)当4为满足什么条件时，/(幻取得极值？

(2)已知。>0,且/。)在区间(0,1]上单调递增，试用。表示出力的取值范围.

【分析】此题虽有三个变量x,。，b,而x的范围已知，最终要用。表示出的取值

范围，・•・可以将〃看成一个已知数，对x和〃进行离参

「2、

例10.(2010天津高考理16)设函数=对任意xw不+8,

/(二]—4〃z2/(x)W/a—l)+4/(〃?)恒成立，则实数，"的取值范围是.

Y23

【解析】依据题意得二一1一4病，-1)2-1+4(62-1)在+8)上恒

m2

13233

定成立，即--W<-——+1在XGP,-K»)上恒成立.当x=-时函数

tn~x~x22

32515

丁二一二7-一+1取得最小值一；，A--4//z2<--,即(3〃/+1)(4〃/-3)之()，解得

x~x3m~3

m<----或m>——.

22

1.3主参换位——反客为主法

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数

与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主

元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的

分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效

果.

例11.(07辽宁卷文科22)已知函数/Cr)=F-9x2coso+48xcos力+18sin?c,

g(x)=f(x),且对任意的实数f均有g(l+8Sf)N0,^(3+sinr)<0.

(I)求函数/(x)的解析式；

(11)若对任意的〃?£[-26,6],恒有/(x)2d一如_"，求式的取值范围.

【解析】(I)g(x)=f'(x)=3X2-I8xcosa+48cos/7,VrG7?,0<1+cosr<2,

2<3+sinr<4,而g(l+cosz)之0,g(3+sin/)K0恒成立.则由二次函数性质得

8⑵0,解得cosa=l,cos,sincr=0/./(x)=x3-9x2+24x.

1^(4)<02

(II)f(x)>x2-tnx-\1<=>nix-9x2+24x+11>0,令

/?(〃?)=tnx-9x2+24x+11,则/(x)之x2-wtr-11gph(rn)>0.由于mw[-26,6J,

/?(-26)=-26x-9?+24x+11>0—15

则有4.解得一；<x«1..•x的取值范围为

/?(6)=6X-9X2+24X+11>03

例12.(08安徽文科20)已知函数/。)=三/一；/+3+])]+[,其中。为实数

JJ

(H)已知不等式/'(1)>/一1一。+1对任意。£(0,十8)都成立，求实数X的取值范

围.(节选)

【分析】己知参数〃的范围，要求自变量工的范围，转换主参元工和。的位置，构造以

〃为自变量式作为参数的一次函数g(a)，转换成W。£(0,+8),g(a)>0恒成立再求解.

【解析】由题设，知"以2-31+(。+1)>/-x-Q+i对Va£((),+8)都成立，即

a(x2+2)-x2-2x>0Vaw(0,+8)都成立.设g(白)=(/+2)。一/一2x(aeR).

则g(。)是一个以〃为自变量的一次函数.一/+2>。恒成立，则对VxeR.g(a)为R

上的单调递增函数..••对V〃€(0,+8),g(〃)>0恒成立的充分必要条件是g(0)之0,

-X2-2X>0,/.-2<x<0,于是x的取值范围是{x|-2Wx〈0}.

1.4数形结合——直观求解法

若所给不等式进行合理的变形化为/。)之g(x)(或)(x)Wg(x))后，能非常容易地

画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题

这种方法更显方便、快捷.

例13.(07安徽理科3)若对任意xwR,不等式|x|2办恒成立，则实数〃的取值范围是

()

(A)a<-\(B)\a\<\(C)\a\<l(D)a>\

【解析】对不等式|式mor恒成立，则由一次函数性质及图像知一IWaKl

即用K1

函数＞=3/和y=k）g.x的图像，观察两函数图像，当X£（0,g）时，若。＞1函数

），=k）g〃x的图像显然在函数y=3f图像的下方，，不成立；当。＜〃＜1,时，由图可知,

y=log“x的图像必须过点或在这个点的上方，则logagN：

27

1>6；>—

27

综上得：1＞。N

27

例15.若不等式log“x＞sinlx（a＞0且。w1）对于任意xe（0,字都成立，求。的取

值范围.

7T

【解析】作出函数冲力⑵的图像’由题意知在go,-］上，函数y

的图像总在函数)，=sin2x的图像的上方，「・Ovavl.作直线x二;，与和

y=sin2x的图像分别交于A、B两点，为保证y=log,,x在区间(0,上的图像在

y=sin2式图像的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方，•二当x二;时，

4

log“f>sin(2xf)=l=log/,又得;.

444

yk

x

图7

1.5消元转化法

例16.已知f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，且f(l)=l,若

〃八〃w+〃工0时""""〃)>0,若/(x)<t2-2〃+1对于所有的恒

m+n

成立，求实数t的取值范围.

【解析】本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，

容易证明f(x)是定义在［」,1］上的增函数,故f(x)在［-1,1］上的最大值为f(l)=l,则

f(x)<t2-2at+\对于所有的恒成立o1V/一2<〃+।对于所有的

aw［-U］恒成立，即2心-〃W0对于所有的恒成立，令双〃)=2S-/，只要

«g(T)<°.Y-2或/>2或r=0.

U(D<0

【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,

从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决.

上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型

各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，

这也正体现了数学中的“统一美”.

2不等式能成立问题的处理方法

若在区间。上存在实数无使不等式/(力>2成立，则等价于在区间D±.

f(x)>k;

J\/max

若在区间。上存在实数X使不等式/(X)〈攵成立，则等价于在区间。上的

/(比9・

注意不等式能成立问题(即不等式有解问题)与恒成立问题的区别.从集合观点看，含

参不等式

(〃力>%)在区间。上恒成立

=D=<k(<=>£>C[,v|/(.v)>Ar)>&)，而含参不等式

/(x)<>Q在区间。上能成立。至少存在一个实数工使不等式

/(x)<M/(x)〉A)成立

oD"N/(x)<*｝。0=〃x)mm<A(o/(X)VA｝工0o>k).

例17.若关于x的不等式』-at-aw-3的解集不是空集，则实数。的取值范围

是•

【解析】设/("=/一四一。.则关于X的不等式』-公-。《-3的解集不是空集

2

O/(X)<-3在R上能成立O7min。)K-3,即7min("=«-3解得(区*

或。之2

例18.已知函数/(x)=lnx-』ax2-2x(。工0)存在单调递戒区间.，求"的取值范围

2

【解析:1.・.函数八可存在单调递减区间，.•./(力=2_-行-2=-竺二主二<0在(0,+8)有

XX

12、八/、12rH/、12flV1ZB

解.即4>勺一:('£((\#0))能成立,设〃(x)=F一一•由〃(x)=F_—=1__]_1得,

X2XX1X\xJ

%in(x)=T・于是，a>T,由题设。工0,的取值范围是(T,0)U(0,+8).

3不等式恰好成立问题的处理方法

+2_x+a

例19.已知〃X)=---------当X£[l,十功"(工)的值域是[0,y),试求实数。的

X

值.

【解析】是一个恰成立问题，这相当于/(X)=-+2"+”20的解集是Xe[L-).

当时，由于4之1时，/(%)=亡+卜+&+-+223,,与其值域是[0,+x)矛盾,

XX

当，<0时，/a)=x'+2x+〃=x+g+2是,内)上的增函数，.上“X)的最小值为，f⑴,

XX

令〃l)=3+q=0=a=-3

例20.

已知/(x)=//+工，g(x)=ln(x+l)-。，

⑴若存在xc[0,2],使得/a)=g(x),求实数。的取值范围；

⑵若存在X£[0,2],使得/(x)>g(x),求实数。的取值范围；

⑶若对任意XE[0.2]，恒有/(x)>g*),求实数〃的取值范围；

⑷若对任意内,12E[0，2],恒有/(%)>g(X2)，求实数。的取值范围；

⑸若对任意区£@2],存在田£[0,2],使得。(x)>g(X2),求实数。的取值范围；

⑹若对任意々£[0,2L存在王£[0,2],使得,f(M)=g(9),求实数。的取值范围；

⑺若存在为,々£【°，2],使得/(内)>以M)，求实数。的取值范围；

⑻若存在X，%£[0,2],使得/(为)=g(w),求实数。的取值范围.

高中数学教师解题研究QQ群545423319一题多问

⑴解析：由,f(x)=g(x)可得g/+xTn(x+l)=a,存在xw[0,2],使得

/(x)=g。)，即方程;/+x-M(X+1)=。在[0,2]上有解.

乙

1-1-

设/?*)=[/+x-in(x+l),则方程+尤-in(x+D=。在[0,2]上有解的条件是

22

a为万。)值域中的元素，所以〃的取值范围就是〃Cr)的值域

1r"+2丫

因为xw[0,2]时"(外=x+l--------=-——>0,所以h(x)在[0,2]上是增函数，由此

X+lX+1

可求得力(X)的值域是。4—M3],所以实数。的取值范围是。4-ln3].

⑵解析：据题意：若存在XG[0,2],使得/(x)>g(幻，即h(x)>a有解,故h

由(1)知hIlldA(x)=4-ln3,于是得av4-ln3

⑶解析：对任意xw[0,2],恒有"x)>g(x),即■£[(),2]时人⑴>。恒成立,即

a(X)min>a,由⑵可知a<0.

⑷解析:由题中条件可得f(x)的值域A=[(X4],g(x)的值域B=H7,ln3—a],

若对任意芭,马£。2]，恒有/(X1)>g(X2)，即f(X)min>g(X)max，即()>M3-a,

所以4>In3.

⑸解析：对任意电£[0,21，若存在%£[0,2],使得〃西)〉以为)，即

/(©max>g*)max，由⑷可知即4>In3—。，所以。>-4+1。3.

⑹解析•：对任意々£[0,2]，若存在王£[0,2],使得/(2)=g(X2)，则BqA,所以

—。N0

«即-4+In3KaK()

In3-^<4

⑺解析：若存在9，.7<=[0,2],使得/(.再)>g(%2),则/(X)max>g(Dmin，即4>一〃，

所以a>T.

⑻解析：若存在不々使得/a)=g(X2)，则A1BW0.••.O+3W3..••实数。的

取值围是(-8,0].

高中数学教师解题研究QQ群545423319一题多问

突破强化训练

(-)选择题

1.【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】若存在正数不使2、(x-a)<l成立，则〃的

取值范围是()

A.(-co,+oo)B.(-2,+oo)C.(0,+co)D.(-1,+co)

【答案】D

【解析】由2%x—a)<l写x—即。〉犬+工，即存在正数x使。>x+g成立即

2XX2X

可，/?(A-)=X-^-(X>0),所以只要。因为〃(幻为增函数，所以当X>0时，

〃(幻>力(0)=0—1二-1,所以。>一1,即。的取值范围是(-1,+8),故选D.

2°

2.[2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】设。<0,(3f+4)(2x+〃)20在(白力)上

恒成立，则〃-。的最大值为()

11V3x/2

A.-B.—.C.-----D.-----

3232

【答案】A

【解析】当时，(3f+a)(2x+b)N0在(qb)上恒成立，可转化为

2

Vx€(ai):2x+h<0:Vx€(a5<-3x,所以〃工-3/，所以所以

b-a<^当时，(3f+a)(2x+b)之0在上恒成立，当％=°时，

(3V+a)(2x+b)=ab<0,不符合题意；当〃<。/时，由题意知xe(《0),(3f+a)2xN0恒成立,

1

所以3r+口£0,所以-1a<0,所以•综上所述，力一。的最大值为故应选人

33

3.设集合A=｛乂Y+2x-3>()｝,集合B=国x2-2cvc-l<0M>0卜若A"B中恰含有一

个整数，则实数。的取值范围是()

3}3士、3

A.B.C.-,+ooD.(1,+aO)

4

【答案】B.

【解析】人=卜|丁+2工一3>。｝=｛川方>1或”一3｝,因为函数^一/0)-》2-2分一1的

对称轴为工=。〉0,/(0)=-1<0,根据对称性可知要使8中恰含有一个整数，则这

4-4r/-l<034

个整数解为2,所以有"2)40J⑶>0且/⑶>0,即〈，.二一Wa<一,选

9-6t/-l>043

B.

2、r<0

4.设函数।"一八，若对任意给定的)，£(2,3),都存在唯一的xwR,满足

log2.rr.r>0

/(/*))=2/),2+ay,则正实数。的最小值是()

力-B.-C.2D.4

42

【答案】/.

【解析】首先写出册刈表达式，当x40时，八"。)=1。氏(2、)=x；当OvxWl时，

x

f(f(x))=2^=x;当x>l时，/(/(x))=log2(log2x),考虑到题目说的要求x的唯一性，

即当取某个y值时，虫刈的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段

内.因此我们要先求出瓢功在每段区间的值域.当xWO时，/(/(x))<0;当OvxWl时，

0<f(f(x))<1；当天>1时，f(f(x))GR.从中可发现，上面两段区间的值包含在最后一段

区间内，换一句话就是说假如烦功取在小于等于1的范围内的任何一个值，则必有两个X

与之对应.因此，考虑到X的唯一性，则只有使得烦刈>1,因此题目转化为当y>2时，恒有

2a2y因此令g(y)=2a2y2+纱_1,题目转化为y>2时，恒有p0»0,又gM=(2ay-l)

(ay+1),为了要使其大于0,则取或纱<-1,考虑到题目要求B的正实数，贝ljayv-l

不考虑.因此他>g=>〃>，-,在y大于2的情况下恒成立.因此a>]oa>(，-)2=!.

22y2y2y4

所以a的最小正实数为1(因为y本身取不到2,因此d可以取：).

44

Z??—a~

5.函数/(〃)=(3〃2-1)。+。-2机，当加€[0,1]时，0(/(。)工1恒成立，则-------的最

ab

大值是()

【答案】B.

【解析】设力(M=(3"2)冽-4+方，则依题意04网0)4L04*1)41,代入可得:

0<b-a<t042a+6-241,画出可行域，构造点(々力)与原点连线的斜率可得1&勺=，44；而

a

之£=-9+±=」+乙易知函数《)=」+£为区间［L4］上的增函数，故〃⑺

abbatt4

6.集合S={(x,y,z)|x、y\zwN*、且xvyvz、y<z<x.z<xvy恰有一个成立},

若(x,y,z)eS且(z,w,x)GS,则下列选项正确的是()

(A)(y,ztw)eS,(x,y,w)^S(B)(y,z,w)ES,(x,y,w)wS

(C)(y,z,w)「S,(x,y,w)wS(D)(y,z,卬)史S,(x,y,w)昼S

【答案】B

【解析】

试题分析：从集合S的定义，卜j,z)eS可三个不等式，(z,w,”eS也可得三个不等式，组合之后可知

五,y,z,w满足不等关系x<z且工vz<w,或汗<y<z且w<x,或yvz<才且z<州<x,或

z<x<yQ_z<w<x,这样可能有y<z<w或或y<z<w<x<y>于是(x,y,w)2S不

一定成立，(〉,z,w)2S也不一定成立，故A,C,D都不能选，只能选B.

考点：不等关系.

7.【湖南湘中名校2014届高三上学期第一次大联考数学8］已知

2

/(x)=x,<g(x)=fi-l-m,若对任意的％w|-L3］,存在当40,2］,使

/(占)2&(X2),则实数m的取值范围是()

A.m>—B.m>\C.m>0D.m>2

4

【答案】A

【解析】

试题分析:由公4-1,4/。）=/.所以/（砧以0,9].当公，-1,3]时要使〃々）之8（切成立即要

e[0,2]使得（孑X也成立即如NW）二m二4.故选A.本题难点

g(x2)<0存在x2€[0,2]上成立.存在x

4

是即有恒成立问题又有存在成立问题.认真区分好这两个含义是关将不等式的问题转化为函数的最颠

题也是解题的关键.

考点：1.不等式的问题转化为函数的最颤题.2.关于恒成立的及存在成立的问题.3.关于指数函数的不等

式.

（-）填空题

8.【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知x>0,y>0,若互+区：>〃/+2"?

恒成立，则实数机的取值范围是________.

【答案】（-4,2）

【解析】因为x>0,y>0,所以上>0,直>0,^+―>2=8（当且仅当

X）'XyYxy

2v8x

—=—,即y=2x>0时取“=”），所以加*+2加<8,即（加-2）（6+4）<0,解得

X.V

-4〈根<2;故填（一4,2）.

9.[2016届浙江省富阳市二中高三上学期第二次质量检测】若正实数满足

女+2y+4=4xy,且不等式（x+2y）/+2〃+2盯一3420恒成立，则实数。的取值范围

是____________•

【答案】（-oo,3]U[1,+oo）

2

【解析】由已知可得（4个-4）/+24+2盯一3420,即2-，（2/+1）N4/-2。+34恒

成立，即町N2。2"："恒成立,又4V=工+2丁+422\区石+4解得/药2枪即

I1

2

不，22,所以222〃二"："解得"工―3或

2a~+12

10.若函数/(X)=1+3不对任意的mG1-2,2],-2)+/(x)<0恒成立则

XG

【答案】卜唱.

【解析】由题意，/(%)是奇函数且为单调递增为数，qiJ/(Wx-2)<-/(x)=/(-x),由递增函数的性质

^mx-2<-x,所以原题等价于加x-2〈一x在?we[-2：2]上恒成立，构造函数f(次)=xw+x-2,由题

意有“"I='解得-2<xv?解题志路：⑴根据给定的函数确定函数的性质,可以将

f(2)=2x+x-2<03

X的关系从/(X)中脱离出来，最好不能带入原函数；(2)当考查恒成立问题时，并且告知我们两个参数，

如知道的是桁的范围，我们就以“为主元.

11.若函数/'(x)=log5/axI3)((7>。且ar1),满足对任意实数不、巧，当々>内之与

时，/U1)-/(X2)<(),则实数4的取值范围为.

【答案】(1,273).

【解析】由对任意实数不入2，当々>凡之3时，/(为)一/。2)<0，得到/(X)

在g，+8)上是增函数，而)，=/一依+3在咛,+8)上是增函数，所以有：

a>1ci>1厂

J、厂.〈厂L，,〃£(1，2\/3)

[△=c广-12<()[-2y/3<a<2y/3

12若对满足条件%+)，+8=町，的正实数x,)，都有(x+y)2-a(x+)，)+l»0恒成立，则实

数a的取值范围为.

【答案】4W(—8,孚J.

O

2

【解析】设x+y=r,则/+8=个"苫工)2=1，・・・/-41-3220,・」28或

(舍)，不等式化为：/一S+120(Z>8)竺，A«e(-oo,—].

t88

13对于在区间[3,句上有意义的两个函数〃2(X)与〃(/),如果对于区间⑶句中的任意X均

W|m(x)-7?(x)|<1,见称机(x)与〃(外在⑶句上是“密切函数”，[a,切称为'密切

区间”，若函数m(x)=X2-3x+4与〃(x)=2x—3在区间口，句上是“密切函数”，则

人一。的，最大值为__________二.

【答案】1•

【解析】由|〃z(x)-〃(%)|=|丁一5x+7区1得，-1<X2-5X+7<I,这个不等式的解集为

[2,3],由题意得[。力]=[2,3],所以〃一。的最大值为3-2=1

解答题

14已知函数f(x)=xlnx,c(x)=-x2+ax-3.

⑴求函数f(x)在也t+2](t>0)上的最小值.

⑵对一切xe(o,+8>2f(x)2g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

⑶求证:对一切x£。+8)都有Xlnx>—

exe

【解析】(l)f(x)=lnx+l,当x£(0：)时f(x)〈O,f(x)单调递减，当x£&8)时了(x)>O,f(x)单调递

增.

①Ovtvt+2个无解;②0<tv±t+2,即Ovtv；时,f(x)x二电二j啰Wtvt+2,即时,f(x)在

上单调递增,f(x)mm二的二tint;

<t<-.

所以f(X)mm=<*,*

(tlhLtNj.

(2)2xlnx\-x'+ax-3,则a^21nxtx4-.

X

设118)=21皿3K&>0).则h'(x)Jx+3：x1」

xX2

x€(o,l),h'(x)<0,h(x)单调严'配

X0(l,+8),h'(X)X单调迷噌.

所以h(x).“=bl：)=4因为对一切xE(Os+8),

2f(x)'g(x)恒成立，所以aWh(x),“=4・

⑶由⑴可知f(x)=xlnx；xe(o,+oo))的最小.值是-\当且仅当x=：时取到.设

m(x)二£-玄*£(0,+8)),贝IJn'(x)=^.

易得m（x）max二m⑴二当且仅当x=l时取到,

2

15已知二次函数/（x）=ar+x,若对于任意x}.x2eR，恒有

芭</（内）+/（々）成立，不等式/（力<。的解集为A.

2)

⑴求集合A；

⑵设集合B=卜卜+4|<a},若集合B是集合A的子集，求a的取值范围.

【答案】（1）-\oj;⑵«G(0,-2+>/5]

【解析】（1）由2/（"旦）《/（%）+/（々），得〃>0,然后解含参数的二次不等式；

（2）将集合8计算出来，然后在数轴上表示两个集合的相对位置，研究当BqA时，两个

集合端点的位置关系（注意考虑端点是否能重合）.

试题解析：4工0,\/再,毛^及由/（再）+/（W）一2</{9答1=:々（不一巧）2之0恒成立于斤以4>0

（1）由=6?+x=oxj卜0：方程+x=o的两根分别为一Lo,且一L<0,所以/（X）<0

的解集为A=j1,o）

（2）由卜+4|<a（a>0），得3=（-。-4,。一4）,因为集合8是集合人的子集：所以4-440：且一。一4>-—

化简得。2+4。-1&0：解得0<〃&-2+布,故。€（0厂2+有1

9

16.已知实数。>0,力>0,且片+/=一，若。+/7K"z恒成立.

2

（1）求实数m的最小值；

（2）若2|工一1|十次2。+8对任意的〃力恒成立，求实数x的取值范围.

【答案】（1）3;（2）或